大学数学如何求极限

PAGEPAGE4高数求极限的方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限和都存在，则函数，当时也存在且①②又若，则在时也存在，且有利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1：求解：原式=⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用来求极限的扩展形为：令，当或时，则有或例2：解：令t=.则sinx=sin(t)=sint,且当时故例3：求解：原式=②利用来求极限的另一种形式为.事实上，令所以例4:求的极限解：原式=利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。⒊利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作定理2②：设函数在内有定义，且有定理4④：若函数f(x)和函数g(x)满足：①==0。②在点的某空心邻域内两者都可导，且③=A。（A可为实数，也可为或）则==A。注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。例8：求解：容易检验f(x)=1+与g(x)=在的邻域里满足定理的条件①和②，又因==-故由洛比达法则求得，==在此类题目中，如果仍是型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限是否存在。当然，这是和在的某邻域内必须满足上述定理的条件。例9：求解：利用（），则得原式===在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例，例10：求解：这是型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令当时有，于是有=(2)型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理5⑤：若函数f(x)和函数g(x)满足：①==②在点的某空心邻域内两者都可导，且③=A，（A可为实数，也可为或）。则==A。此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。例11：求解：由定理4得，注1：若不存在，并不能说明不存在。注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。下面这个简单的极限=1虽然是型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则：=就会因右式的极限不存在而推出原式的极限不存在这个错误的结论。(3)其它类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为型和型的不定式极限。例12：求解：这是一个型的不定式极限，作恒等变形=，将它转化为型的不定式极限，并用洛比达法则得到===例13：求解：这是一个型的不定式极限，作恒等变形=其指数部分的极限是型的不定式极限，可先求得==从而得=例14:求（k为常数）解：这是一个型的不定式极限，按上例变形的方法，先求型的极限，==然后得到=（）当=0时上面的结果仍成立。例15:求解：这是一个型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（型）==1于是有=⒎利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。例16：求解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，（取n=4）cosx=1-++()=1-+cosx-=-()因而求得=⒏利用微分中值定理和积分中值定理求极限例17：求的极限解：由微分中值定理得，（介于与之间）原式=例18：求的极限解：由微分中值定理得，（介于与之间）原式=⒐利用定积分求极限例19：求解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数发在区间上的一个积分和。（这里所取的是等分分割，（），所以当然，也可把J看作在上的定积分，同样有总结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且