函数的单调性

德阳马会五中高一数学组问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：

以上数据表明，记忆量是时间的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯曲线”。时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1思考1:

当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？

减小！

通过这个试验，你打算今后如何对待刚学过的知识?思考2:

“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的。对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123艾宾浩斯曲线

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

1、你能说出这三个图象各自的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？画出函数f(x)=x的图象，观察其变化规律：

1、从左至右图象上升还是下降

?

2、在区间

________上，随着x的增大，f(x)的值随着

______．(-∞,+∞)增大上升1、在区间

____上，f(x)的值随着x的增大而

______．2、在区间

_____上，f(x)的值随着x的增大而

_____．

(-∞,0][0,+∞)增大减小画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：

如何利用函数解析式f(x)=x2来描述图象这种变化规律?

函数f(x)在给定区间上为增函数。Oxy如何用x与f(x)来描述上升的图像？如何用x与f(x)来描述下降的图像？

函数f(x)在给定区间上为减函数。Oxy一、函数单调性定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

1．增函数一、函数单调性定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．

2．减函数

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

二、函数单调区间定义

练习：分别画出下列函数的图象，并根据它们的图象指出其单调区间。（1）y=2x+1（2）y=(x-1)2-1（3）y=

（4）y=2yxoy(1)y=2x+1xo2)y=(x-1)2-112-1yOx增区间为增区间为减区间为减区间为(4)y=2无单调性Oyx

1、函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，是函数的一个局部性质；特别提醒：

2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分别是增函数和减函数.判断：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上是增函数吗?yxO12f(1)f(2)例如：y=x在整个定义域(-∞,+∞)

上单调递增;y=x2在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]单调递减.思考？★反比例函数y=的定义域是什么？★它在定义域上的单调性怎样？

★请结合图象说出一次函数与二次函数的单调区间.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在(-∞,+∞)上是减函数在(-∞,+∞)上是增函数一次函数y=kx+b(k≠0)yox当k<0时,yox当k>0时,yox当a>0时,yox当a<0时,例1下图是定义在闭区间[-5,6]上的函数的图象,根据图象说出的单调区间,以及在每一区间上,是增函数还是减函数.-5-3136oxy解：根据函数图象可知[-2,1),[3,6]上是增函数。函数单调区间有[-5，-2),[-2，1),[1,3),[3，6],其中在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题。例2：证明函数在R上是单调减函数．证：在R上任意取两个值，且，∵∴

∴

即∴在R上是单调减函数．取值作差变形定号判断则解题感悟一、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1、任取x1，x2∈D，且x1<x2；2、作差f(x1)－f(x2)；3、变形（通常是因式分解和配方）；4、定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5、下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．二、通常判断函数单调区间的方法是：1、图像法；2、定义法．例3证明函数上是减函数.课堂小结：

3.函数的单调性的证明方法—定义法（五步）。

①取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2；

②作差:f(x1)－f(x2)；

③变形:

④定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；

⑤