河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第一章第5节因式分解与分式

第五节因式分解与分式【课标要求】☆能用提公因式法、公式法进行因式分解．☆了解分式和最简分式的概念．☆能利用分式的基本性质进行约分和通分．☆能进行简单的分式加、减、乘、除法运算．【教材对接】人教：八上第十四、十五章P114～148；冀教：七下第十一章P141～156，八上第十二章P2～17；北师：八下第四、五章P91～124.因式分解及其基本方法1．因式分解：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解与整式乘法的关系3．提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．【温馨提示】公因式的确定(1)系数：取各项系数的最大公约数；(2)字母：取各项相同的字母；(3)指数：取各项相同字母的最低次数．4．运用公式法(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．【方法点拨】因式分解的一般步骤【基础练1】(1)(2021·吉林中考)因式分解：m2－2m＝m(m－2)．(2)(2021·东营中考)因式分解：4a2b－4ab＋b＝b(2a－1)2．分式的有关概念5．分式：一般地，我们把形如eq\f(A,B)的代数式叫做分式，其中，A，B都是整式，且B含有字母．A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．6．与分式有关的“五个条件”(1)分式eq\f(A,B)没有意义时，B＝0；(2)分式eq\f(A,B)有意义时，B≠0；(3)分式eq\f(A,B)的值为零时，A＝0且B≠0；(4)分式eq\f(A,B)的值为正时，A，B同号，(5)分式eq\f(A,B)的值为负时，A，B异号，7．最简分式：分子和分母没有公因式的分式．【基础练2】(1)下列式子eq\f(1,a)，eq\f(m－n,5)，eq\f(a,2π)，eq\f(x3y,x2)，eq\f(1,x)＋3，分式的个数为(B)A.2个B．3个C．4个D．5个(2)若eq\f(x－2,x2)为负数，则x的取值范围是x＜2且x≠0．(3)化简：eq\f(0.25a－0.2b,0.1a＋0.3b)＝eq\f(5a－4b,2a＋6b)．分式的基本性质及运用8．分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M).其中，M是不等于0的整式．9．约分与通分(1)约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式．【方法点拨】确定最大公因式的方法(1)分子、分母能因式分解的先因式分解；(2)取分子、分母中相同因式的最低次幂(数字因式取最大公约数).(2)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式的值相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母.【方法点拨】确定最简公分母的方法(1)先观察各分母，能因式分解的先因式分解；(2)取各分母公有因式的最高次幂(数字因式取最小公倍数)；(3)对于只在一个分母中含有的因式，则连同它的指数作为最简公分母的因式．【基础练3】(1)(2021·邢台模拟)若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是(A)A.eq\f(（x＋y）2,x2)B．eq\f(xy,x＋y)C.eq\f(x＋2,y＋2)D．eq\f(x－2,y－2)(2)eq\f(5xy,20y2)，eq\f(x－y,（y－x）2)，eq\f(a2－b2,a2＋ab)，eq\f(m2－3m＋2,m2－m)约分的最大公因式分别是5y，x－y，a＋b，m－1；(3)eq\f(3,4a2b)，eq\f(6,6b2c)的最简公分母为12a2b2c；eq\f(1,x2－x)，eq\f(－1,x2－2x＋1)通分的结果为eq\f(x－1,x（x－1）2)，eq\f(－x,x（x－1）2)．分式的运算10．分式的加减运算法则：同分母的两个分式相加(减)，分母不变，把分子相加(减)；异分母的两个分式相加(减)，先通分，化为同分母的分式，再相加(减)，即eq\f(A,B)±eq\f(C,B)＝eq\f(A±C,B)；eq\f(A,B)＋eq\f(D,C)＝eq\f(AC＋BD,BC)．11．分式的乘除运算法则：分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq\f(A,B)·eq\f(C,D)＝eq\f(A·C,B·D)；eq\f(A,B)÷eq\f(C,D)＝eq\f(A,B)·eq\f(D,C)＝eq\f(A·D,B·C).12．分式乘方的运算法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,B)))eq\s\up12(n)＝eq\f(An,Bn)(n为整数)．13．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算括号里面的．分式运算的结果要化成整式或最简分式．【温馨提示】分式化简及求值的一般步骤(1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称去括号；(2)若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面式子的分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称除法变乘法；(3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算；(4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；(5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式的分母不为0).【基础练4】(2021·石家庄模拟)有一道题：化简eq\f(x2,x－1)□eq\f(x,x2－2x＋1)＝x2－x，则□中的运算符号是(D)A.＋B．－C．×D．÷eq\a\vs4\al(因式分解及应用)【例1】(2021·恩施州中考)分解因式：a－ax2＝a(1＋x)(1－x)．【解题思路】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式．【方法点拨】有公因式的先提公因式，然后再考虑套公式，最后注意要分解到不能再分解为止．【例2】(2020·唐山二模)若a＋b＝－1，ab＝－6，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为－6．【解题思路】根据提公因式法和完全平方公式可以将所求式子因式分解，然后根据已知条件即可求得所求式子的值．1．下列从左到右的变形，是因式分解的是(D)A.(3－x)(3＋x)＝9－x2B.(y＋1)(y－3)＝(3－y)(y＋1)C.4yz－2y2z＋z＝2y(2z－zy)＋zD.－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)22．当n为自然数时，(n＋1)2－(n－3)2一定能(D)A.被5整除B．被6整除C.被7整除D．被8整除3．(2021·菏泽中考)因式分解：－a3＋2a2－a＝－a(a－1)2．4．(2021·荆门中考)把多项式x3＋2x2－3x因式分解，结果为x(x＋3)(x－1)．5．(2021·十堰中考)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝36．6．体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：甲班：全班同学“引体向上”总次数为n2；乙班：全班同学“引体向上”总次数为50n－625.(注：两班人数均超过30人)请比较一下两班学生“引体向上”总次数，甲班的次数多，多(n－25)2次．eq\a\vs4\al(分式的有关概念及其基本性质)【例3】(2021·雅安中考)若分式eq\f(|x|－1,x－1)的值等于0，则x的值为(A)A.－1B．0C．1D．±1【解题思路】根据分式值为零的条件“分子为零且分母不为零”求解即可．7．下列关于分式的判断，正确的是(B)A.当x＝2时，eq\f(x＋1,x－2)的值为零B．无论x为何值，eq\f(3,x2＋1)的值总为正数C.无论x为何值，eq\f(3,x＋1)不可能得整数值D.当x≠3时，eq\f(x－3,x)有意义8．下列各式从左到右的变形正确的是(D)A.eq\f(x＋y,x＋y)＝0B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,a＋b)C.eq\f(2（b＋c）,a＋3（b＋c）)＝eq\f(2,a＋3)D．eq\f(x－y,x2＋y2－2xy)＝eq\f(1,x－y)eq\a\vs4\al(分式化简及求值)【例4】先化简，再求值：(xy2＋x2y)·eq\f(x,x2＋2xy＋y2)÷eq\f(x2y,x2－y2)，其中x＝(π－1)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)，y＝eq\r(2)tan45°－eq\r(8).【解题思路】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x与y的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝xy(x＋y)·eq\f(x,（x＋y）2)·eq\f(（x＋y）（x－y）,x2y)＝x－y.当x＝1－3＝－2，y＝eq\r(2)×1－2eq\r(2)＝－eq\r(2)时，原式＝－2＋eq\r(2).9．已知eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(1,3)，则eq\f(ab,a－b)的值是(A)A.－3B．－eq\f(1,3)C．3D．eq\f(1,3)10．(2021·河北模拟)已知A＝－6x＋b(b为常数)，B＝x＋1，则下列说法正确的是(D)A.当x＝－1时，eq\f(B,A)的值为0B.当x＝0时，eq\f(A,B)无意义C.当b＝6时，分式eq\f(A,B)＝－6D.当b＝－6，x≠－1时，分式eq\f(A－B,B)＝－711．(2021·随州中考)先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x＋1)))÷eq\f(x2－4,2x＋2)，其中x＝1.解：原式＝eq\f(x＋1＋1,x＋1)·eq\f(2（x＋1）,（x＋2）（x－2）)＝eq\f(x＋2,x＋1)·eq\f(2（x＋1）,（x＋2）（x－2）)＝eq\f(2,x－2).当x＝1时，原式＝eq\f(2,1－2)＝－2.12．(2021·广州中考)已知A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)－\f(n,m)))·eq\f(\r(3)mn,m－n).(1)化简A；(2)若m＋n－2eq\r(3)＝0，求A的值．解：(1)A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,mn)－\f(n2,mn)))·eq\f(\r(3)mn,m－n)＝eq\f(（m＋n）（m－n）,mn)·eq\f(\r(3)mn,m－n)＝eq\r(3)(m＋n)；(2)∵m＋n－2eq\r(3)＝0，∴m＋n＝2eq\r(3).∴A＝eq\r(3)(m＋n)＝eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.13．(2021·沧州青县模拟)嘉嘉准备完成题目：化简：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,x＋1)))÷eq\f(x,x2－1).发现“▲”处被墨水污染了，看不清楚．(1)琪琪给嘉嘉提供了一个信息：当x＝2时，求值的结果是1，请你帮嘉嘉求出“▲”代表的是几？(2)琪琪又给出了正确的化简结果是x－1，请验证(1)中所求“▲”是否正确．解：(1)将x＝2代入eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,x＋1)))÷eq\f(x,x2－1)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,2＋1)))÷eq\f(2,22－1)＝1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,3)))÷eq\f(2,3)＝1.▲＝1×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)＝1.∴“▲”代表的是1；(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(▲－\f(1,x＋1)))÷eq\f(x,x2－1)＝x－1，∴▲－eq\f(1,x＋1)＝(x－1)×eq\f(x,x2－1)＝eq\f(x,x＋1).∴▲＝eq\f(x,x＋1)＋eq\f(1,x＋1)＝1.∴(1)中答案正确．分式运算时未注意正确运用运算法则及符号的变化，以及求值时忽略了要选取使分式有意义的值【例】先化简，再求值：eq\f(4,x2－4x＋4)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－2)－x－2))，其中|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1).【错解分析】本题考查了因式分解的方法和分式的四则运算，严格按照运算法则和方法进行运算是解题的关键，注意符号的确定，不要随意地变动正负号．最后求值时，要注意使原式有意义，即所代值不能使原式的分母或除式为0.【正确解答】解：原式＝eq\f(4,（x－2）2)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－2)－\f(（x＋2）（x－2）,x－2)))＝eq\f(4,（x－2）2)÷eq\f(x2－（x2－4）,x－2)＝eq\f(4,（x－2）2)·eq\f(x－2,4)＝eq\f(1,x－2).∵|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝2，x－2≠0，∴x只能为－2.当x＝－2时，原式＝eq\f(1,－2－2)＝－eq\f(1,4).1．在化简分式eq\f(x－3,x2－1)＋eq\f(3,1－x)的过程中，开始出现错误的步骤是(B)A．eq\f(x－3,x2－1)－eq\f(3（x＋1）,（x＋1）（x－1）)B．eq\f(x－3－3x＋1,（x－1）（x＋1）)C.eq\f(－2x－2,（x＋1）（x－1）)D．－eq\f(2,x－1)2．若a满足a2＝1，则分式eq\f(a2－a,a2－2a＋1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a－1)－2))的值为(B)A．－1B．－eq\f(1,3)C．0D．eq\f(1,3)3．(2021·石家庄模拟)先化简，再计算：eq\f(m2＋m,m2－2m＋1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m－1)－\f(1,m)))，其中m满足使关于x的二次三项式x2－(m－1)x＋1是完全平方式．解：原式＝eq\f(m（m＋1）,（m－1）2)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2m,m（m－1）)－\f(m－1,m（m－1）)))＝eq\f(m（m＋1）,（m－1）2)÷eq\f(m＋1,m（m－1）)＝eq\f(m（m＋1）,（m－1）2)·eq\f(m（m－1）,m＋1)＝eq\f(m2,m－1).∵m满足使关于x的二次三项式x2－(m－1)x＋1是完全平方式，且m≠±1，∴m－1＝±2.∴m1＝3，m2＝－1(不合题意，舍去).当m＝3时，原式＝eq\f(9,3－1)＝eq\f(9,2).因式分解及应用(5年3考)1．(2020·河北中考)对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是(C)A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解2．(2020·河北中考)若eq\f(（92－1）（112－1）,k)＝8×10×12，则k等于(B)A.12B．10C．8D．63．(2021·河北中考)现