河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第一章第3节二次根式

第三节二次根式【课标要求】☆了解二次根式、最简二次根式的概念．☆了解二次根式加、减、乘除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．☆能用有理数估计一个无理数的大致范围．【教材对接】人教：八下第十六章P1～20；冀教：八上第十五章P89～106；北师：八上第二章P41～48.二次根式的相关概念1．二次根式：一般地，我们把形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，而eq\r(a)有意义的条件是a≥0．2．最简二次根式：一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式．(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【基础练1】(1)把eq\r(\f(1,32))化成最简二次根式为(C)A．32eq\r(32)B．eq\f(1,32)eq\r(2)C．eq\f(1,8)eq\r(2)D．eq\f(1,4)eq\r(2)(2)若代数式eq\r(a－5)＋|b－1|＋c2＋a在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为(B)A．0B．5C．4D．－5(3)若二次根式eq\r(3a＋5)是最简二次根式，则最小的正整数a＝2．二次根式的性质3．(1)eq\r(a)≥0(a≥0).(双重非负性)(2)(eq\r(a))2＝a(a≥0).(3)eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0），,0（a＝0），,－a（a＜0）.))(4)eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0).【基础练2】(2021·河北中考样题)如图，在数轴上所表示的x的取值范围中，有意义的二次根式是(B)A.eq\r(x－3)B．eq\r(x＋3)C．eq\f(1,\r(x－3))D．eq\f(1,\r(x＋3))二次根式的运算4．(1)加减运算：在进行加减运算时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式的项进行合并．(2)二次根式的乘法：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0).(3)二次根式的除法：eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0).(4)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的(或先去括号)．【温馨提示】二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须进行化简．【基础练3】(1)已知eq\r(20n)是整数，则满足条件的最小正整数n等于(D)A．2B．3C．4D．5(2)已知x＝eq\f(3,2)，化简eq\r(（x－2）2)＋|x－5|的结果是4．二次根式的估算5．估计二次根式在哪两个整数之间(1)先对二次根式平方，如(eq\r(6))2＝6；(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；(3)对这两个整数开方，如eq\r(4)＝2，eq\r(9)＝3；(4)确定这个根式在这两个连续整数之间，如2＜eq\r(6)＜3；(5)较小的整数即为这个根式的整数部分，小数部分为这个根式与其整数部分的差，如eq\r(6)的整数部分为2，小数部分为eq\r(6)－2；(6)要确定eq\r(a)±b(a≥0)的值在哪两个整数之间，只需在(4)的结果上根据不等式性质，在不等号两边分别加上或减去b，如3＜eq\r(6)＋1＜4，1＜eq\r(6)－1＜2.6．确定二次根式离哪个整数较近(1)先确定二次根式在哪两个整数之间，如2<eq\r(6)<3；(2)求这两个整数的平均数，(2＋3)÷2＝2.5；(3)对平均数和二次根式进行平方：若二次根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，如2.52＝6.25>(eq\r(6))2，eq\r(6)离2较近；(4)记住常见的二次根式的近似值，可以直接进行估值或比较大小，如eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，黄金分割数eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618.【基础练4】(1)估计eq\r(13)＋1的值在(C)A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间(2)a，b是两个连续整数，若a<eq\r(11)<b，则a＋b＝7，且eq\r(11)离整数3最近．eq\a\vs4\al(二次根式的概念与性质)【例1】下列说法正确的是(C)A．若eq\r(a2)＝a，则a可取一切实数B．当a≥eq\f(3,4)时，eq\r(3－4a)才有意义C．若a＜0，b＞0，则eq\r(a2b)＝－aeq\r(b)D．5的平方根是eq\r(5)【解题思路】A.若eq\r(a2)＝a，则a≥0，故说法错误；B.当3－4a≥0，即a≤eq\f(3,4)时，eq\r(3－4a)才有意义，故说法错误；C.若a＜0，b＞0，则eq\r(a2)＝|a|＝－a，故eq\r(a2b)＝－aeq\r(b)，故说法正确；D.5的平方根是±eq\r(5)，故说法错误．1．(2021·黄石中考)函数y＝eq\f(1,\r(x＋1))＋(x－2)0的自变量x的取值范围是(C)A．x≥－1B．x＞2C．x＞－1且x≠2D．x≠－1且x≠22．(2021·杭州中考)下列计算正确的是(A)A．eq\r(22)＝2B．eq\r(（－2）2)＝－2C．eq\r(22)＝±2D．eq\r(（－2）2)＝±23．下列式子一定成立的是(B)A．eq\r(（a2－2）2)＝a2－2B．eq\r(（a2＋2）2)＝a2＋2C．eq\r(（a＋1）（a＋2）)＝eq\r(a＋1)×eq\r(a＋2)D．eq\r(\f(2a,3b))＝eq\f(\r(2a),\r(3b))eq\a\vs4\al(二次根式的估算与运算)【例2】如图，在数轴上标注了四段范围，则表示－eq\r(10)的点落在(C)A．段①B．段②C．段③D．段④【解题思路】分别利用已知数据的平方得出eq\r(10)最接近的数据即可得出答案．【例3】在数轴上，把表示eq\r(12)的点移动eq\r(3)个单位长度后到达点P，则点P表示的数为(C)A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(3)或3eq\r(3)D．3eq\r(2)＋eq\r(3)【解题思路】分两种情况讨论，即把表示eq\r(12)的点向右移动eq\r(3)个单位长度和把表示eq\r(12)的点向左移动eq\r(3)个单位长度，由此计算得出答案．4．(2021·河北中考样题)下列无理数中，与4最接近的是(C)A．eq\r(11)B．eq\r(13)C．eq\r(17)D．eq\r(19)5．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1，0，1，2，则表示数2－eq\r(5)的点P应落在(B)A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上6．下列运算中正确的是(B)A．eq\r(3)＋eq\r(4)＝eq\r(5)B．(4eq\r(2)＋3eq\r(6))×eq\r(2)＝8＋6eq\r(3)C．eq\r(3)÷eq\r(\f(1,3))＝1D．(eq\r(6)＋eq\r(7))(eq\r(6)－eq\r(7))＝17．计算eq\r(5)×eq\r(15)－eq\r(12)的结果是3eq\r(3)．eq\a\vs4\al(与规律有关的计算)【例4】将一组数：eq\r(2)，2，eq\r(6)，2eq\r(2)，eq\r(10)，…，2eq\r(51)按下列方式排列：eq\r(2)2eq\r(6)2eq\r(2)eq\r(10)2eq\r(3)eq\r(14)43eq\r(2)2eq\r(5)eq\r(22)2eq\r(6)eq\r(26)2eq\r(7)eq\r(30)4eq\r(2)eq\r(34)6……若3eq\r(2)的位置记为(2，3)，2eq\r(7)的位置记为(3，2)，则这组数中最大的有理数的位置记为(17，2)．【解题思路】∵2eq\r(51)＝eq\r(204)，∴这组数中最大的有理数是eq\r(196)＝14.设196是这组数中的第n个数，则2n＝196，解得n＝98.观察发现，每6个数排成一行．又∵98÷6＝16……2，∴eq\r(196)是第17行的第2个数，由此即可得出这组数中最大的有理数的位置．8．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如，eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(3＋2×1×\r(2))＝eq\r(12＋（\r(2)）2＋2×1×\r(2))＝eq\r(（1＋\r(2)）2)＝|1＋eq\r(2)|＝1＋eq\r(2).,解决问题：(1)模仿上例的过程填空：eq\r(14＋6\r(5))＝eq\r(14＋2×3×\r(5))＝____________＝____________＝____________＝____________；(2)根据上述思路，试将下列各式化简：①eq\r(28－10\r(3))；②eq\r(1＋\f(\r(3),2)).解：(1)eq\r(32＋（\r(5)）2＋2×3×\r(5))；eq\r(（3＋\r(5)）2)；|3＋eq\r(5)|；3＋eq\r(5)；(2)①原式＝eq\r(52＋（\r(3)）2－2×5×\r(3))＝eq\r(（5－\r(3)）2)＝|5－eq\r(3)|＝5－eq\r(3)；②原式＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋2×\f(1,2)×\f(\r(3),2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2).二次根式的性质及运算(5年3考)1．(2021·河北中考)与eq\r(32－22－12)结果相同的是(A)A．3－2＋1B．3＋2－1C．3＋2＋1D．3－2－12．(2020·河北中考)已知：eq\r(18)－eq\r(2)＝aeq\r(2)－eq\r(2)＝beq\r(2)，则ab＝6．3．(2018·河北中考)计算：eq\r(\f(－12,－3))＝2．4．(2021·石家庄一模)下列