河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第六章第1节圆的基本性质

第六章圆第一节圆的基本性质【课标要求】☆理解圆、弧、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念．☆探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．☆理解圆的内接四边形的性质，了解三角形的内心和外心．【教材对接】人教：九上第二十四章P79～91，P99～100；冀教：九上第二十八章P146～166；北师：九下第三章P65，P67～88，P97～99.圆的有关概念及性质圆定义1：平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定义2：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一端点所形成的图形就是圆弦圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦直径过圆心的弦叫做这个圆的直径．直径是圆内最长的弦弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，能够完全重合的两条弧叫做等弧圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角等圆能够完全重合的两个圆叫做等圆圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心圆的旋转不变性圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等【基础练1】(1)下列说法错误的是(B)A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧(2)如图，AB是⊙O的直径，eq\x\to(BC)＝eq\x\to(CD)＝eq\x\to(DE)，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是(B)A.52°B．57°C．66°D．78°垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧推论平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧【方法点拨】垂径定理及其推论的应用(1)应用垂径定理推论时，一定要注意被平分的弦不是直径．(2)在圆中计算线段长度时，常需考虑垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求解．其中“半径、弦的一半、弦心距”三者的长度满足勾股定理．(3)确定圆中未知圆心的位置时，常根据垂径定理的推论确定圆心在某一条直线或线段上，再根据垂径定理求解相关的量．(4)求圆内两条平行弦间的距离时，需注意两条平行弦可以在圆心的同侧或异侧．【基础练2】(2021·衡水模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝BP＝8，则⊙O的直径为(A)A.10B．8C．5D．3圆周角定理及其推论圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1同弧(或等弧)所对的圆周角相等推论2直径(或半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角【方法点拨】圆周角定理及其推论的应用(1)在圆中，遇到90°的圆周角就找其所对弦(直径)；遇到直径，就要想到它所对的圆周角是90°.(2)常见辅助线的作法：在求弧所对圆周角度数时，有时可过弧的一端点引直径，将弧所对圆周角转化到直角三角形中求解．(3)已知圆内一条弦和其对应的圆心角，求对应的圆周角时需注意圆周角可以在弦的两侧．【基础练3】(1)(2021·石家庄新华区模拟)如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C，D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为(B)A．30°B．45°C．60°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）题图]))(2)(2021·衡水模拟)如图，OA，OB是⊙O的半径，C是eq\x\to(AB)上一点，连接AC，BC.若∠AOB＝128°，则∠ACB的大小为(B)A．126°B．116°C．108°D．106°(3)(2021·承德一模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，则∠DCE的度数是(A)A．60°B.120°C．90°D．无法确定三角形的内心与外心任意一个三角形都有其外接圆和内切圆．三角形外接圆与内切圆的性质如下表．外接圆内切圆图示圆心圆心是三角形的外心，是三条边的垂直平分线的交点圆心是三角形的内心，是三条角平分线的交点性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形的三条边的距离相等角度关系∠BOC＝2∠A，∠OBC＝∠OCB∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A判断方法从三角形中任意选两条边，作它们的中垂线，其交点即为三角形的外心从三角形中任意选两个角，作它们的角平分线，其交点即为三角形的内心【温馨提示】(1)三角形的内心一定在三角形的内部．任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任何一个圆都有无数个外切三角形；(2)锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部．三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形有无数个．【基础练4】(1)已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠C＝80°，则∠D的度数是(C)A．80°B．100°C．80°或100°D．不能确定(2)(2021·河北模拟)如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4.则△DBC的面积是(B)A.4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2D．4eq\a\vs4\al(垂径定理及应用)【例1】如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE∶OC＝1∶3，则AB的长为(D)A.2eq\r(2)cmB．4eq\r(2)cmC．6eq\r(2)cmD．8eq\r(2)cm【解题思路】连接OB.由题意，得∠OEB＝90°，OC＝OB＝6cm.由OE∶OC＝1∶3，可求出OE＝2cm.在Rt△BEO中，由勾股定理可得BE＝eq\r(OB2－OE2)＝4eq\r(2)cm，再由垂径定理可得AB的长．【方法点拨】(1)找准相应线段的长：半径、弦长、弦心距；(2)利用垂径定理构造直角三角形：弦的一半、弦心距分别作为直角边，半径作为斜边；(3)利用勾股定理解决问题．1．(2021·承德一模)如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是(C)A．3≤OP≤5B．4＜OP＜5C．4≤OP≤5D．3＜OP＜5eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))2．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于点E，EM＝8，则圆的半径为eq\f(17,4)．3．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝10－2eq\r(3)．eq\a\vs4\al(圆的内接四边形)【例2】(2021·吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为(D)A.30°B．45°C．50°D．65°【解题思路】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠D＝180°.∵∠B＝120°，∴∠D＝180°－∠B＝60°.∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D.4．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.,(1)求证：BD＝CD；(2)若⊙O的半径为3，求BC的长．(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝105°，∴∠C＝180°－105°＝75°.∵∠DBC＝75°，∴∠DBC＝∠C.∴BD＝CD；(2)解：连接OB，OC.∵∠DBC＝∠C＝75°，∴∠BDC＝180°－75°－75°＝30°.∴∠BOC＝2∠BDC＝60°.∴△BOC为等边三角形．∴BC＝OB＝3.对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，未注意分类讨论【例1】半径等于eq\r(3)的⊙O中，弦AB长度为3，则弦AB所对的圆周角度数为()A．30°B．60°或120°C．60°D．30°或150°【错解分析】本题考查了圆周角与弦的关系，同弦所对的圆周角有两种情况，一种是在优弧上，另一种是在劣弧上，做题时易因考虑不全面导致漏解．【正确解答】B1．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为(C)A．1B．7C．1或7D．3或42．已知CD是⊙O的直径，A是⊙O上的任意一点，过点D的弦DE平行于半径OA，连接AC，若∠CDE的度数是50°，则∠ACD的度数是25°或65°．eq\a\vs4\al(混淆三角形的内心与外心)【例2】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是()A.△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ABF的内心D．△ABF的外心【错解分析】本题容易混淆内心与外心的概念．连接OB，OC.由等腰三角形的性质可证AO是BC的垂直平分线，从而得OB＝OC，根据折叠的性质以及三角形内角和定理得∠FCO＝40°，∠ACB＝65°，进而得∠OAC＝∠OCA＝25°，则OA＝OC＝OB，即可进行判断．【正确解答】B3．已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠BAD＝22°，则∠C的度数为(D)A．52°B．58°C．62°D．68°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4题图）))4．如图，O，I分别是△ABC的外心和内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC，则下列说法中错误的是(C)A．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与弦DC重合B．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．△ADC沿直线AD折叠，则弦DC一定能与弦DB重合D．若BC经过外心O，沿直线BI折叠△ABI，则点A落在弦BC上圆周角定理及其推论(5年1考)1．(2020·河北中考)有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值三角形的外心及圆内接三角形(5年1考)2．(201