河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第二章第3节分式方程及应用

第三节分式方程及应用【课标要求】☆会解分式方程．☆能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．☆能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.【教材对接】人教：九上第二十一章P1～26；冀教：八上第十二章P18～25；北师：九上第二章P30～58.分式方程及其解法1．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．2．解分式方程的一般步骤(1)去分母：将方程两边都乘最简公分母，把它化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)检验．(在分式方程求解过程中有可能产生增根，所以解分式方程必须有这一步)【温馨提示】找最简公分母的方法：(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．3．解分式方程的检验方法(1)利用方程的解的概念进行检验；(2)将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原方程的根；若为0，就为增根，必须舍去；(3)增根：当分母的值为0时，分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根．【方法点拨】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念．分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．【基础练1】(1)解分式方程eq\f(2x,x－2)＝1－eq\f(1,2－x)，去分母后得到的方程正确的是(D)A.－2x＝1－(2－x)B．－2x＝(2－x)＋1C.2x＝(x－2)－1D．2x＝(x－2)＋1(2)(2021·河北中考样题)代数式eq\f(3,x－1)与代数式eq\f(2,x－3)的值相等，则x＝7．4．已知分式方程有增根求字母系数的步骤(1)确定原分式方程的公分母；(2)令公分母为0，求出x的值；(3)将原分式方程转化为整式方程；(4)将步骤(2)中的值代入整式方程中求出系数的值．【基础练2】若关于x的分式方程eq\f(x－2,x－5)＝eq\f(m,x－5)有增根，则m的值是(D)A.－5B．5C．2D．3分式方程的应用5．列分式方程解应用题的六个步骤(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)验：“双重”验根；(①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意)(6)答：写出答案．6．分式方程解实际应用题的基本模型及关系式(1)行程问题基本关系式：时间＝eq\f(路程,速度)常见应用题中的等量关系：eq\f(同一路程,慢者速度)－eq\f(同一路程,快者速度)＝时间差(2)工程问题基本关系式：工作时间＝eq\f(工作总量,工作效率)常见应用题中的等量关系：eq\f(甲工作总量,甲工作效率)－eq\f(乙工作总量,乙工作效率)＝时间差eq\f(已做工作量,原工作效率)＋eq\f(剩余工作量,改善后工作效率)＝工作时间(注：当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工作总量为1)(3)购买问题基本关系式：数量＝eq\f(总价,单价)或单价＝eq\f(总价,数量)常见应用题中的等量关系：eq\f(甲（第一次）总价,甲（第一次）单价)－eq\f(乙（第二次）总价,乙（第二次）单价)＝数量差【温馨提示】列分式方程解应用题时，要验根后作答，不仅要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重”验根．【基础练3】A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为(A)A.eq\f(180,x)－eq\f(180,（1＋50%）x)＝1B．eq\f(180,（1＋50%）x)－eq\f(180,x)＝1C.eq\f(180,x)－eq\f(180,（1－50%）x)＝1D．eq\f(180,（1－50%）x)－eq\f(180,x)＝1eq\a\vs4\al(分式方程的解法)【例1】小明解方程eq\f(1,x)－eq\f(x－2,x)＝1的过程如图所示．解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.①去括号，得1－x－2＝1.②合并同类项，得－x－1＝1.③移项，得－x＝2.④解得x＝－2.⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．【解题思路】本题考查了分式方程的解法，注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；(2)去分母时切勿漏乘；(3)解分式方程一定要验根．【解答】解：小明的解法有三处错误．步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥缺少检验．正确解法如下：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.去括号，得1－x＋2＝x.移项，得－x－x＝－1－2.合并同类项，得－2x＝－3.系数化为1，得x＝eq\f(3,2).检验：当x＝eq\f(3,2)时，x≠0，∴x＝eq\f(3,2)是原分式方程的解．1．解分式方程eq\f(2,x＋1)＋eq\f(3,x－1)＝eq\f(6,x2－1)，分以下四步，其中错误的一步是(D)A.方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)B.方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6C.解这个整式方程，得x＝1D.原方程的解为x＝12．(2021·衡水模拟)对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5,x)，\f(2,x)))＝eq\f(6,x)－2的解为(B)A.eq\f(1,2)B．2C．eq\f(1,2)或2D．1或－23．已知点A，B在数轴上所对应的数分别为eq\f(m,x－7)，eq\f(x－8,7－x)，且A，B两点关于原点对称．(1)当m＝2时，求x的值；(2)若不存在满足条件的x值，求m的值．解：(1)根据题意，得eq\f(m,x－7)＋eq\f(x－8,7－x)＝0.把m＝2代入上式，得eq\f(2,x－7)＋eq\f(x－8,7－x)＝0，去分母，得2－(x－8)＝0.解得x＝10.经检验，x＝10是原分式方程的解；(2)eq\f(m,x－7)＋eq\f(x－8,7－x)＝0.去分母，得m－(x－8)＝0.已知不存在满足条件x的值，则x＝7.把x＝7代入m－(x－8)＝0，得m－(7－8)＝0.解得m＝－1.eq\a\vs4\al(含参数的分式方程)【例2】若关于x的分式方程eq\f(x,x＋3)－2m＝eq\f(m,x＋3)无解，则m的值为eq\f(1,2)或－3．【解题思路】本题主要考查了解分式方程，先通过解分式方程求得关于x的代数式，再根据分式方程无解得到关于m的方程，解方程求m的值即可．4．已知关于x的分式方程eq\f(x,x－3)－4＝eq\f(k,3－x)的解为非正数，则k的取值范围是(A)A.k≤－12B．k≥－12C．k＞－12D．k＜－125．(2021·石家庄新华区模拟)x＝－1是方程eq\f(1,x－2)＝eq\f(2,x＋a)的解，a的值为－5．6．若关于x的分式方程eq\f(2,x－4)＝3＋eq\f(m,4－x)没有增根，则m的值可以为1(只要满足m≠－2即可)(填写一个即可)．eq\a\vs4\al(分式方程的应用)【例3】为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元．(1)分别求出甲、乙两车每趟的运费；(2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需运多少趟？(3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x，y均为正整数．当x＝10时，y＝________；当y＝10时，x＝________．【解题思路】(1)根据“若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，乙车每趟运费比甲车少200元”，列出方程组，即可解答；(2)设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a趟，由题意列出分式方程，即可解答；(3)根据题意可得eq\f(x,18)＋eq\f(y,36)＝1，代入x，y的值即可解答．【解答】解：(1)设甲、乙两车每趟的运费分别为m元、n元．由题意，答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元；(2)设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a趟．,由题意，得12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,2a)))＝1.解得a＝18.经检验，a＝18是原方程的解．答：若单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟；(3)16；137．(2021·石家庄校级模拟)随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为(D)A.eq\f(3000,x)＝eq\f(4200,x－40)B．eq\f(3000,x)＋40＝eq\f(4200,x)C.eq\f(4200,x)＝eq\f(3000,x)－40D．eq\f(3000,x)＝eq\f(4200,x＋40)8．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为(D)A.197元B．198元C．199元D．200元列分式方程(5年未考)1．(2016·河北中考)在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(B)