专题08 整式中规律性探索的三种考法（解析版）（北师大版）

专题08整式中规律探索的三种考法类型一、数字类规律探索问题例1．将一列有理数，2，3，4，，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数____，2022应排在A、B、C、D、E中____的位置．正确的选项是（）

A．，A B．30，D C．29，B D．，A【答案】A【分析】观察不难发现，每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，再求出，“峰6”中C位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用除以5，根据商和余数的情况确定所在峰中的位置即可．【详解】解：由题意得，每个峰排列5个数，排列的奇数为负数，偶数为正数∵每个峰需要5个数，∴，，∴“峰6”中C位置的数的是，∵，∴2022应排在A、B、C、D、E中A的位置，故选：A．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每个峰有5个数是解题的关键，难点在于峰上的数的排列是从2开始．例2．一组按规律排列的式子：，，，那么第个式子是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律．【详解】解：分子为，其指数为2，5，8，11，…其规律为，分母为，其指数为1，2，3，4，…其规律为，分数符号为，，，，，其规律为，所以第个式子．故选：C．【点睛】此题考查了探索规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．【变式训练1】找规律：观察算式；；；；…(1)按规律填空；．(2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程）【答案】(1)3025；(2)1622600【分析】（1）根据题干中算式总结出公式：，根据规律计算即可；（2）根据规律用前50项减前10项即可；【详解】（1）该列数的规律是：，，，故答案为：3025，；（2）；【点睛】本题考查了数字的变化规律，总结归纳出规律并应用规律是解题的关键．【变式训练2】观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．(1)猜想并写出______．(2)计算下列各式的计算结果：．(3)探究并计算：．【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】（1）根据已知等式做出猜想，再计算即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）仿照（2）将：原式转换成，即可轻易算出结果．【详解】（1）解：猜想：，∴；（2）；（3）【点睛】本题考查了数字的变换规律问题，解题的关键是能够总结出规律等式并应用于求和运算．【变式训练3】对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是．【答案】【分析】通过计算，发现，...，据此即可求解．【详解】解：∵，，...∴，且，...∴故答案为：【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到．类型二、图表类规律探索问题例1．为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6．

（1）按图示规律，第一个图案的长度，第二个图案的长度．（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数与走廊的长度之间的关系．【答案】【分析】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长，第二个图案边长；（2）由（1）得出则第n个图案边长为．【详解】解：（1）第一个图案的长度，第二个图案的长度；故答案为：，；（2）解：观察可得：第一个图案中有花纹的地面砖有1块，第二个图案中有花纹的地面砖有2块，……，故第n个图案中有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长，第二个图案边长，则第n个图案边长为；所以带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度之间的关系为；故答案为：．【点睛】本题主要考查了平面图形的有规律变化，以及列代数式等，解题的关键是分析、归纳出其中的规律．例2．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若（为正整数），则的值为．

【答案】【分析】先根据已知图形得出，代入到方程中，再将左边利用所得规律化简即可．【详解】解：由图形知，，，．可转化为：，，，．故答案为：4043．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律是解题关键．【变式训练1】观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有个★．【答案】19【分析】先根据图形得到规律第个图形有个★，再当时，代入即可求得答案．【详解】解：根据图形可得：第1个图形有个★，第2个图形有个★，第3个图形有个★，第4个图形有个★，……第个图形有个★，第6个图形中有个★，故答案为：19．【点睛】本题主要考查了整式—图形规律类，根据图形找到规律第个图形有个★，是解题的关键．【变式训练2】观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：；；；；(1)规律观察：；(2)推算概括：用含n的式子表示出的值；(3)拓展应用：求的值．【答案】(1)15；(2)；(3)5050【分析】（1）根据所给的式子进行分析即可得出结果；（2）结合（1）进行求解即可；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：，，，，；故答案为：15；（2）由（1）得：；（3）．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律，并灵活运用．【变式训练1】我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n的式子表示第n个图的钢管总数．【分析思路】图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第n个图形钢管总数）．【解决问题】(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．，___________．(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律：___________，___________，___________，___________．(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数为___________．【答案】(1)；(2)，，，；(3)．【分析】（1）根据所给的式子的形式进行解答即可；（2）结合图形的特点，对图形进行分割，从而可求得相应的图形中钢管的总数；（3）根据（1）（2）进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：；（2）如图，；；；，故答案为：，，，；（3）∵；；；，..．∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．【变式训练2】用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：(1)第5个图案有张黑色小正方形纸片；(2)第n个图案有张黑色小正方形纸片；(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？【答案】(1)16；(2)；(3)20【分析】（1）观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；（2）根据（1）中的规律，用字母表示即可；（3）根据（2）的规律，得出，解之得出n的值即可作出判断．【详解】（1）∵第1个图形中黑色纸片的数量，第2个图形中黑色纸片的数量，第3个图形中黑色纸片的数量，……，∴第5个图片中黑色纸片的数量为，故答案为：16；（2）由（1）知，第n个图案中黑色纸片的数量为，故答案为：；（3）设第n个图案中共有81张纸片，由，解得：，即第20个图案中共有81张纸片．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有张黑色纸片．类型二、程序类问题例．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2023次输出的结果是．

【答案】4【分析】由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，……，可知三次为一个循环，由，进而可得第2023次输出的结果．【详解】解：由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，……，∴可知三次为一个循环，∵，∴第2023次输出的结果是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，规律探究．解题的关键在于根据推导一般性规律．【变式训练1】按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C【分析】分三种情况讨论，当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为再列方程，解方程即可得到答案．【详解】解：当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为，当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为．综上：开始输入的n值可能是5或26或131．故选：C．【点睛】本题考查的是程序框图的含义，一元一次方程的解法，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键．【变式训练2】按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（）A．x＝3，y＝1 B．x＝2，y＝2 C．x＝2，y＝3 D．x＝0，y＝1.5【答案】A【分析】把各项中的x与y的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．【详解】A、把x＝3，y＝1代入运算程序中得：输出结果为9+2＝11，符合题意；B、把x＝2，y＝2代入运算程序中得：4﹣4＝0，不符合题意；C、把x＝2，y＝3代入运算程序中得：4﹣6＝﹣2，不符合题意；D、把x＝0，y＝1.5代入运算程序得：0﹣3＝﹣3，不符合题意，故选：A．【点睛】此题考查计算机的程序计算，能正确理解程序图的计算过程及要求是解题的关键.【变式训练3】按图示的程序计算，若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为67，则x的值是（）A．2或7 B．2或22 C．2或22或7 D．2或12或22【答案】C【分析】根据运算程序列出方程求得相应的x值，直到x不是正整数为止即可解答．【详解】解：∵最后输出的结果为67，∴3x+1=67，解得：x=22；当3x+1=22时，解得：x=7；当3x+1=7时，解得：x=2；当3x+1=2时，解得：x=，∵开始输入的x为正整数，∴x=不合题意．∴x的值可能为：2或7或22．故选：C．【点睛】本题主要考查了运算程序、一元一次方程的应用等知识点，根据运算程序正确列出关于x的一元一次方程是解题的关键．课后训练1．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为其中是使为奇数的正整数，并且运算可以重复进行，例如，取，则：若，则第次“运算”的结果是()

A． B． C． D．【答案】B【分析】分别计算出前次“运算”的结果即可得到规律，根据规律求解即可．【详解】解：当时，第1次“F运算”的结果是，第次“运算”的结果是，第次“运算”的结果是，第次“运算”的结果是，第次“运算”的结果是，第次“运算”的结果是，…∴可知每次运算为一个循环，运算的结果为，，，，，循环出现，∵，∴第次“运算”的结果与第次“F运算”的结果相同，即为，故选B．【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确进行计算找到数字间的规律是解题的关键．2．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（

）

A． B．2 C． D．【答案】C【分析】计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可．【详解】解：∵第次输出的结果为，第次输出的结果为，∴第次输出的结果为，第次输出的结果为，∴输出结果以、、为一个循环组依次循环，∵，∴第2023次输出的结果为，故选：C．【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．3．将正整数1至1050按一定规律排列如图所示，从表中任取一个的方框，方框中九个数的和可能是（

）．12345678910111213141516171819202122232425262728…A．2025 B．2018 C．2016 D．2007【答案】D【分析】组成方框的九个数不能从第六列、第七列开始，故因此确定且，然后依据数据规律逐一分析适合题意的答案即可．【详解】观察表格中的数据可知，能组成3方框的a值需满足：且，这里k为正整数（即从第六列、第七列开始的方框不存在）．方框中九个数的和，故九个数之和必须满足是9的倍数，将变形得：，对于A选项，由于，a属于型，故A错误；对于B选项，由于不是9的倍数，故B错误；对于C选项，由于，属于型，故C错误；对于D选项，由于，不属于型，故D正确．组成的方框为，九个数之和为2007．故选：D．【点睛】本题考查了规律型的数字变化类，根据题意恰当地表示出九个数的代数式并结合方框所处的位置分析是解题的关键．4．如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第9个图形的菱形个数为（

）A．73 B．81 C．91 D．109【答案】C【分析】根据图形，将每个图形分为上下两部分，分别数出每个图形两部分中菱形的个数，总结出数量变化的一般规律即可．【详解】解：由图可知：第一个图形：上面由3个菱形，下面有0个菱形，第二个图形：上面有6个菱形，下面有1个菱形，第三个图形：上面有10个菱形，下面有3个菱形，第四个图形：上面有15个菱形，下面有6个菱形，……第n个图形：上面有个菱形，下面有个菱形，∴第9个图形的菱形个数为：．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律．5．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第7个五边形数是（）A．62 B．70 C．84 D．108【答案】B【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第2个五边形数为，第3个五边形数为，第4个五边形数为，即每个五边形数是从1开始，后面的数都比前面一个数大3的几个数的和，且数的个数等于序号数，则第7个五边形数为．【详解】解：∵第1个五边形数为1，第2个五边形数为，第3个五边形数为，第4个五边形数为，∴第5个五边形数为，第6个五边形数为，第7个五边形数为．故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．6．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中共有正方形的个数是（

）

A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【分析】根据图形，可以得到正方形个数的变化特点，从而可以得到图⑤中正方形的个数．【详解】解：由图可得，第①个图形中正方形的个数为：，第②个图形中正方形的个数为：，第③个图形中正方形的个数为：，…则第⑤个图形中正方形的个数为：，故选：C．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现正方形个数的变化特点，求出图⑤中正方形的个数．7．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规