4.3.3 余角和补角（分层作业）【解析版】

基础训练1．若，则它的补角的余角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】先求出的补角，再求出其余角即可．解：，它的补角为，．故选：C【点睛】本题考查的是余角和补角，熟知余角和补角的定义是解题的关键2．如图，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】用，即可求解．【详解】解：∵，，∴，故选：D【点睛】本题考查了求一个角的余角，角度的计算，熟练掌握角度是计算是解题的关键．3．如图，将一个直角三角形纸片的直角顶点放在直线上的点处，固定直线，当纸片绕着点在直线上方旋转时，与的度数会发生改变，则与（

）A．是对顶角 B．互为余角 C．互为邻补角 D．互为补角【答案】B【分析】如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，由此即可得到答案．【详解】解：，，与互为余角，与的两边不互为反向延长线，与不是对顶角．故选：B．【点睛】本题考查余角，关键是掌握余角的定义．4．如图，已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可得，根据同角的余角相等可得．【详解】解：，，，，故选：D．【点睛】本题考查余角的有关计算，解题的关键是掌握同角或等角的余角相等．5．如图，直线与直线相交于点O，若平分，平分，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算，再根据即可求解．【详解】解：平分，，平分，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，解题的关键是熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系．6．已知是锐角，与互补，与互余，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由补角和余角的概念可得，，进一步即可求出答案．【详解】解：∵是锐角，与互补，与互余，∴，，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角的定义，属于基础题目，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．7．如图，点O在直线上，，若，则的补角的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用同角（等角）的补角相等，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵和互为邻补角，∴的补角的大小为，故选：B．【点睛】本题考查了垂线以及余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．8．已知，则的补角等于．【答案】【分析】根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解．【详解】解：∵，∴的补角．故答案为：．【点睛】本题考查了补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．9．若一个角的余角的倍比这个角的补角多，则这个角的度数为．【答案】【分析】根据余角的和等于，补角的和等于，用这个角表示出它的余角与补角，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设这个角是，则它的余角是，补角是，根据题意得，解得：．故这个角的度数为．故答案为：．【点睛】本题考查了余角和补角的知识，掌握余角的和等于，互补的两角之和为是关键．10．如下图所示，的度数是，的余角的度数是．

【答案】【分析】先根据图形得出，再根据“相加为的两个角互余”得出的余角的度数即可．【详解】解：由图可得：，∴的余角度数，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了量角器的识别，角度的和差关系，余角的定义，解题的关键是掌握相加为的两个角互余．11．已知与互余，与互补，若，则．【答案】/【分析】先根据余角的定义求出，再根据补角的定义求出即可．【详解】解：∵，与互余，∴，∵与互补，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求一个角的余角和求一个角的补角，解题的关键在于熟知度数之和为90度的两个角互余余角，度数之和为180度的两个角互为补角．12．如图，，于点，点、、在一条直线上，则．

【答案】/40度【分析】根据平角定义先求出的度数，再根据垂直定义求出，从而求出的度数．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂线，角的和差计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．13．一副三角尺按如图方式摆放，的度数是度数的倍，则的度数为度．

【答案】【分析】由题意可知，可得，且，即可求出的度数．【详解】解：由题意知，，∴，解得；故答案为：．【点睛】本题考查了与三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用．解题的关键是找出角度之间的数量关系．14．如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是．【答案】78°【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵AE，DB是正南和正北方向，∴BD∥AE，∵B处在A处的南偏西42°方向，∴∠BAE＝∠DBA＝42°，∵C处在A处的南偏东30°方向，∴∠EAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，又∵C处在B处的北偏东72°方向，∴∠DBC＝72°，∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．故答案为：78°．【点睛】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．15．一个角的余角比这个角的补角的还小，求这个角的余角及这个角的补角．【答案】余角为，补角为°【分析】设这个角为，则这个角的余角为，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，由题意得，，解得：，∴这个角是，∴这个角的余角为，补角为．【点睛】本题考查了求一个角的余角与补角，一元一次方程的应用，熟练掌握余角与补角的定义是解题的关键．16．如图，，若，求的度数．

【答案】的度数为【分析】先由求出的度数，再由进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，的度数为．【点睛】本题考查了余角以及角度的计算，准确的进行计算是解题的关键．17．如图，，是的平分线，C、O，D在同一条直线上．若，求的度数．

【答案】【分析】利用角平分线的性质以及余角和补角计算即可；【详解】解：因为是的平分线，且，所以．又因为，所以，所以．【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，找到各角之间的关系是解题关键．18．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．（1）射线OC的方向是；（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．【答案】(1)北偏东70°；(2)∠AOE＝90°【分析】（1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向；（2）根据，，得出，进而求出的度数，根据射线平分，即可求出再利用求出答案即可．【详解】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，∵∠AOB＝∠AOC，∴∠AOC＝55°，∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，∴OC的方向是北偏东70°；故答案为：北偏东70°；

（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，∴∠BOC＝110°．又∵射线OD是OB的反向延长线，∴∠BOD＝180°．∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，∴∠COE＝35°．∵∠AOC＝55°．∴∠AOE＝90°．【点睛】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．19．如图，已知点为直线上一点，，，平分．

(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解；（2）根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解．【详解】（1）解：，，，，，，平分，，；（2）与互余，，，，平分，，．【点睛】本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键．能力提升20．如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东50方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角∠BAC为100，则此时乙位于A地的()A．南偏东30 B．南偏东50 C．北偏西30 D．北偏西50【答案】A【分析】直接根据题意得出各角度数，进而结合方向角表示方法得出答案．【详解】解：如图所示：由题意得：∠1=50，BAC=100∴∠2=180°-∠1-BAC=180°-50-100=30故乙位于A地的南偏东30．故选：A．【点睛】此题主要考查了方向角，正确掌握方向角的表示方法是解题关键．21．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，下列各组角一定能互补的是（

）A．∠BCD和∠ACF B．∠ACD和∠ACFC．∠ACB和∠DCB D．∠BCF和∠ACF【答案】A【分析】因为是直角三角板，所以∠ACB和∠DCF都等于90°，所以利用角的和差把选项中的角能转化成∠ACB+∠DCF即为正确答案.【详解】∵∠BCD+∠ACF=∠BCD+∠ACD+∠DCF=∠ACB+∠DCF=90°+90°=180°,∴选A【点睛】本题中出现一副三角板，我们需注意到三角板中的直角，又提出问题为互补，所以我们应将相应的角，利用角的和差等量变化成直角，若能即为正确答案.22．如图，是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个．其中结论正确的序号有（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②【答案】B【分析】①根据平分，，，以及平角是，求出，即可得出结论；②求出，即可得出结论；③根据，即可得出结论．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴设，则，∵，∴，∴，解得：，∴，故①错误；∵，，∴，则，∴射线平分，故②正确；∵，∴，∴图中与互余的角有2个，故③正确；综上，正确的是②③；故选B．【点睛】本题考查几何图形中角的计算．余角的定义，理清角之间的和差关系，是解题的关键．23．如图，直线与相交于点，平分，平分，，那么．

【答案】【分析】根据补角的定义及角平分线的定义，再根据余角的定义及角平分线的定义得到．【详解】解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，角平分线的定义，理解角平分线的定义是解题的关键．24．在直线上取一点，过点作射线，使得，当，则的度数是．【答案】或/或【分析】考虑到点D、点E可能在直线AB的一侧，也可能在直线的两侧，分两种情况讨论．【详解】当点D、点E位于直线的同一侧时，如下图．由得，，∴．当点D、点E位于直线的异侧时，如下图．．∴．故答案为：或．【点睛】本题考查了余角、补角的概念，解题的关键理解余角、补角的定义．25．如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）

【答案】1或13或25【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；分情况讨论：①当平分时，

∵，∴，即：，∴，∴；②平分时，

则：，∴，∴；③当平分时：

则：，∴，∴点旋转的角度为：，∴；综上：的值为：1或13或25．故答案为：1或13或25．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．26．如图，点O是直线上一点，平分，在直线另一侧以O为顶点作．

(1)若，那么__________﹔与的关系是__________；(2)与有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)，互余(2)，见解析【分析】（1）先根据平角的意义，得，再由条件可知，可求得答案；（2）先证得，，再利用平角的定义证得，即可证．【详解】（1）解：点O在直线上，，又，，若，则；故填：，互余．（2）解：理由：点O是直线上一点，平分，，∴，即：．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平角的定义，掌握角平分线和平角定义是解题的关键．拔高拓展27．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6