专题1.12 三角形的初步知识章末十六大题型总结(培优篇)(浙教版)(原卷版)_第1页
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文档简介

专题1.12三角形的初步知识章末十六大题型总结(培优篇)【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1确定第三边的取值范围】 1【题型2三角形的三边关系的应用】 2【题型3利用三角形的中线求长度】 2【题型4三角形的高与面积有关的计算】 3【题型5三角形的稳定性】 4【题型6三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】 6【题型7三角形的内角和与外角有关的计算】 6【题型8多边形内角和、外角和有关的计算】 8【题型9多边形截角、少(多)算一个角问题】 9【题型10多边形外角和的实际应用】 10【题型11利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】 11【题型12利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】 13【题型13利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】 14【题型14全等三角形在网格中的运用】 15【题型15全等三角形在新定义中的运用】 16【题型16全等三角形的实际应用】 18【题型1确定第三边的取值范围】【例1】(2023春·江苏无锡·八年级统考期末)一个三角形的3边长分别是xcm、3x-3cm,x+2cm,它的周长不超过39cm.则x的取值范围是(

)A.53<x<5 B.5<x≤8 C.53【变式1-1】(2023春·江苏盐城·八年级统考期中)已知a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足b-2+(c-3)2=0,且a为方程a-5=1【变式1-2】(2023春·河南郑州·八年级郑州中学校联考期中)有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根,任选其中三根首尾相接围成三角形,可以围成不同形状的三角形的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3【变式1-3】(2023春·河南周口·八年级统考期末)三角形的三边长分别为2,2x-1,5,则x的取值范围是.【题型2三角形的三边关系的应用】【例2】(2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考期末)如图,用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝的距离之最大值为(

)A.6 B.7 C.8 D.9【变式2-1】(2023春·山东济南·八年级统考期末)小明家和小亮家到学校的直线距离分别是5km和3km,那么小明到小亮家的直线距离不可能是()A.1km B.2km C.3km D.8km【变式2-2】(2023秋·新疆和田·八年级统考期末)已经有两根木条,长分别是2cm和6cm,现要用3根木条组成三角形,还要从下面4根木条中选一根,可以是(

)A.4cm B.7cm C.8cm D.9cm【变式2-3】(2023春·北京西城·八年级统考期末)以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系,东门A和景点B的坐标分别是(6,0)和(4,4).如图1,甲的游览路线是:O→B→A,其折线段的路程总长记为l1.如图2,景点C和D分别在线段OB,BA上,乙的游览路线是:O→C→D→A,其折线段的路程总长记为l2.如图3,景点E和G分别在线段OB,BA上,景点F在线段OA上,丙的游览路线是:O→E→F→G→A,其折线段的路程总长记为l3.下列l1,l2

A.l1=l2=l3 B.l1<l【题型3利用三角形的中线求长度】【例3】(2023春·云南·八年级云南师大附中校考期末)已知,已知ΔABC的周长为33cm,AD是BC边上的中线,AB=3(1)如图,当AC=10cm时,求BD的长.(2)若AC=12cm,能否求出DC的长?为什么?【变式3-1】(2023秋·全国·八年级期中)在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ADC的周长比△ABD的周长多3,AB与AC的和为13,则AC的长为()A.7 B.8 C.9 D.10【变式3-2】(2023秋·山东德州·八年级校考期中)如图,△ABC的周长为24cm,AD,BE分别是BC,AC边上的中线,AD,BE相交于点O,CO的延长线交AB于点F,且BD=4cm,AE=3.5cm,求AF的长.【变式3-3】(2023秋·黑龙江大庆·八年级校考期中)如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线AB=9cm,AC=12cm,BC=15(1)△ABE的面积;(2)AD的长度;(3)△ACE与△ABE的周长的差.【题型4三角形的高与面积有关的计算】【例4】(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期末)在△ABC中,AD是高,AD=6,CD=1,若△ABC的面积为12,则线段BD的长度为.【变式4-1】(2023春·江苏常州·八年级统考期中)如图,已知△ABC.(1)画出△ABC的三条高AD、(2)在(1)的条件下,若AB=6,BC=3,CF=2,则AD=______.【变式4-2】(2023春·上海宝山·八年级校考期中)如图,在△ABC中,按下列要求画图并填空:

(1)画△ABC边AB上的高CD;(2)E在CD上,连接BE,使得S△ABC=S(3)已知BD=3,CD=4,DE=1,那么点C到直线AB的距离为_______,△ADC的面积为_______.【变式4-3】(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中)如图是由边长都是1的小正方形组成的网格.图中各点均在格点上,请按以下要求画图.①所画顶点必须在格点上;②标清指定的字母;③不得出格.(1)在图甲中面出△ABC中BC边上的高AD;(2)在图乙中画出一个Rt△EBC,且△EBC的面积是图甲中△ABC面积的2(3)在图丙中画出一个锐角三角形△MBC,且面积为15.【题型5三角形的稳定性】【例5】(2023秋·北京·八年级校考期中)下列图形中不具备稳定性的是(

)A. B.C. D.【变式5-1】(2023秋·四川泸州·八年级四川省泸县第四中学校考期末)如图,某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是()A.三角形的稳定性 B.两点之间,线段最短C.三角形两边之和大于第三边 D.四边形的不稳定性【变式5-2】(2023秋·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期中)要使四边形木架不变形,至少要再钉几根木条(

)A.4 B.2 C.1 D.3【变式5-3】(2023春·广东惠州·八年级统考期中)如图,是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架,考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素,需再加竹条与其顶点连接.要求:(1)在图(1)、(2)中分别加适当根竹条,设计出两种不同的连接方案.(2)通过上面的设计,可以看出至少需再加根竹条,才能保证风筝骨架稳固、美观和实用.(3)在上面的方案设计过程中,你所应用的数学道理是.【题型6三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】【例6】(2023秋·湖北十堰·八年级统考期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,下面结论:①△ABE的面积=A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④【变式6-2】(2023春·陕西商洛·八年级统考期末)如图,在三角形ABC中,AH⊥BC,BF平分∠ABC,BE⊥BF,EF∥BC,以下四个结论:①AH⊥EF;②∠ABF=∠EFB;③AC∥BE;④A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【变式6-3】(2023春·河南南阳·八年级统考期末)如图,在ΔABC中,CD是AB边上的高,CE是∠ACB的平分线.(1)若∠A=40∘,∠B=76(2)若∠A=α,∠B=β,求∠DCE的度数(用含α,β的式子表示)(3)当线段CD沿DA方向平移时,平移后的线段与线段CE交于G点,与AB交于H点,若∠A=α,∠B=β,求∠HGE与α、β的数量关系.【题型7三角形的内角和与外角有关的计算】【例7】(2023春·江苏南京·八年级统考期中)如图,在△ABC和△FBC中,∠A≤∠F.点F与A位于线段BC所在直线的两侧,分别延长AB、AC至点D、E.

【特殊化思考】若∠A=∠F时,请尝试探究:(1)当F在∠A内部时,请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________;(2)当F在∠A外部时,请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________;(3)若CG平分∠ECF,BH平分∠FBD.无论点F在∠A内部(如图③)还是∠A外部(如图④)时,都有CG∥BH,请选择一幅图进行证明;

【一般化探究】若∠A<∠F时,请尝试探究:(4)若射线CG、BH分别是∠ECF,∠DBF的n等分线(n为大于2的正整数),且∠ECG=1n∠ECF,∠HBD=1n∠DBF.当CG∥BH时,直接写出【变式7-1】(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末)如图,已知,CD∥AB,点E在BD延长线上,且∠BEF=70°,点H在AB上,HF交BD于G点.

(1)求证:∠AHF>∠CDE;(2)若∠AHF-∠CDE=30°,求∠F的度数【变式7-2】(2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中)已知,在△ABC中,∠ACB=∠CDB=m°0<m<180,AE是角平分线,D是AB上的点,AE、CD相交于点F

(1)若m=90时,如图所示,求证:∠CFE=∠CEF;(2)若m≠90时,试问∠CFE=∠CEF还成立吗?若成立说明理由;若不成立,请比较∠CFE和∠CEF的大小,并说明理由.【变式7-3】(2023春·江苏无锡·八年级统考期中)在△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC上一点,将△ABD沿AD翻折后得到△AED,边AE交射线BC于点F.

(1)如图1,当DE∥AC时,求证:AE⊥BC(2)若∠C=∠B+10°,∠BAD=x°(0<x<50)①如图2,当DE⊥BC时,求x的值.②是否存在这样的x的值,使得△DEF中有两个角相等.若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.【题型8多边形内角和、外角和有关的计算】【例8】(2023秋·河北邢台·八年级校考期中)已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°.(1)求这个多边形的边数;(2)如这个多边形是正多边形,则它的每一个内角是___________.【变式8-1】(2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°.(1)求这个多边形的边数和内角和;(2)从该多边形的一个顶点作对角线,则所作的对角线条数为,此时多边形中有个三角形.【变式8-2】(2023春·安徽滁州·八年级校联考期中)按要求完成下列各小题.(1)一个多边形的内角和比它的外角和多900°,求这个多边形的边数.(2)如图,若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起,求∠EAF的度数.【变式8-3】(2023春·山东聊城·八年级统考期末)在五边形ABCDE中,∠A=130∘,∠B=110(1)如图①,画出五边形ABCDE的所有对角线;(2)如图②,若∠C比∠D小40°,求出∠D的度数;(3)如图③,若CP,DP分别平分∠BCD与∠CDE的外角,试求出∠CPD的度数.【题型9多边形截角、少(多)算一个角问题】【例9】(2023秋·河南周口·八年级校联考期中)解决多边形问题:(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍,它是几边形?(2)小华在求一个多边形的内角和时,重复加了一个角的度数,计算结果是1170°,这个多边形是几边形?【变式9-1】(2023·山西阳泉·八年级阳泉市第三中学校校考期中)某同学在进行多边形内角和计算时,求得内角和为2750°,当发现了之后重新检查,发现少加了一个内角,问这个内角是多少度?并求这个多边形是几边形.【变式9-2】(2023春·河南开封·八年级统考期末)在一个各内角都相等的多边形中,每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°.(1)求这个多边形的边数;(2)若将这个多边形剪去一个角,剩下多边形的内角和是多少?【变式9-3】(2023春·四川遂宁·八年级统考期末)如图,将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后,得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=470°.(1)求六边形ABCDEF的内角和;(2)求∠BGD的度数.【题型10多边形外角和的实际应用】【例10】(2023春·山东济南·八年级统考期末)如图1,小红沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步,小红每从一条小路转到下一条小路时,跑步的方向改变一定的角度.

(1)该五边形广场ABCDE的内角和是度;(2)她跑完一圈,跑步方向改变的角度的和是度;(3)如图2,小红参加“全民健身,共筑健康中国”活动,从点A起跑,绕湖周围的小路跑至终点E,若MA∥EN,且∠1+∠2=200°,求行程中小红身体转过的角度的和(图【变式10-1】(2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末)在学习多边形的内角和外角知识以后,2班的小朋友们在操场做了一个实验,如图,张梓佑从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转α度,再沿直线前进8米,到达点C后,又向左旋转α度,照这样走下去,第一次回到出发地点时,她共走了72米,请计算出张梓佑每次旋转的角度α为(

A.30° B.40° C.45° D.60°【变式10-2】(2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习)如图所示,分别以六边形的顶点为圆心,以1cm为半径画圆,则图中阴影部分的面积之和为(

A.2πcm2 B.πcm2 C.【变式10-3】(2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习)如图,小玲从点A出发,前进3米后向右转20°,再前进3米后又向右转20°,这样一直下去,直到她第一次回到出发点A为止,她所走的路径构成了一个多边形.

(1)小玲一共走了多少米?(2)求这个多边形的内角和.【题型11利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】【例11】(2023春·四川达州·八年级校考期末)如图,△ABC和△DCB中,AB=DC,∠ABC=∠DCB,AC和DB交于点M.

(1)△ABC与△DCB全等吗?为什么?(2)过点C作CE∥BD,过点B作BF∥AC,试判断【变式11-1】(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末)如图,BD,CE都是△ABC的角平分线,BD交CE于点F,其中∠A=60°.(1)求∠BFC的度数;(2)求证:DF=EF.【变式11-2】(2023春·广西北海·八年级统考期中)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P是线段AB上一点,过点A作AE⊥CP交CP延长线于点E,过点B作BF⊥CP于点F.

(1)求证:△ACE≌△CBF;(2)线段AE、BF、EF有怎样的数量关系?请说明理由.【变式11-3】(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图1,AB∥CD,∠BAD,∠ADC的平分线AE,DE相交于点(1)证明:AE⊥DE;(2)如图2,过点E作直线AB,AD,DC的垂线,垂足分别为F,G,H,证明:EF=EG=EH;(3)如图3,过点E的直线与AB,DC分别相交于点B,C(B,C在AD的同侧)求证:E为线段BC的中点;【题型12利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】【例12】(2023春·辽宁丹东·八年级统考期末)如图,点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量),点A、D在l异侧,测得AB=DE,AB∥

(1)试说明:△ABC≌(2)若BE=10m,BF=3m,求【变式12-1】(2023春·江苏淮安·八年级校联考期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是斜边AB的中点,若CD=3,则AB=【变式12-2】(2023春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考期中)如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=50°,AD、BE交于点H,连接CH,则∠AHE的度数为°.【变式12-3】(2023春·广东梅州·八年级校考期末)如图,在四边形ABCD中,E是边BC的中点,AE平分∠BAD且∠AED=90°,若CD=2AB,AD=18,则AB=.

【题型13利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】【例13】(2023春·河北石家庄·八年级统考期中)如图,在ΔABC和ΔADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接

(1)求证:ΔBAD≌(2)猜想BD,CE有何特殊位置关系,并说明理由.【变式13-1】(2023春·江西吉安·八年级统考期末)如图,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC,DE=AB.(1)求证:△ABC≌△EDB;(2)判断AC和BD的位置关系,并说明理由.【变式13-2】(2023春·江苏南通·八年级校联考期中)如图,△ABC的两条高线BD、CE,延长CE到Q使CQ=AB,在BD上截取BP=AC,连接AP、AQ,请判断AQ与AP的数量与位置关系?并证明你的结论.【变式13-3】(2023春·甘肃陇南·八年级统考期末)在学习全等三角形的知识时,数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆,并探究摆放后所构成的图形之间的关系,如图1,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF.(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形,点A和点D重合,连接BE和CF,求证:BE=CF.(2)超越小组在勤奋小组的启发下,把两个三角形板按如图3的方式摆放,点B,C,E在同一直线上,连接CF,他们发现了BE和CF之间的数量和位置关系,请写出这些关系,并说明理由.【题型14全等三角形在网格中的运用】【例14】(2023春·广西崇左·八年级统考期末)如图,是一个3×3的正方形网格,则∠1+∠2+∠3+∠4=.

【变式14-1】(2023春·河南南阳·八年级统考期中)在如图所示的3×3网格中,△ABC是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点),则与△ABC有一条公共边且全等(不含△ABC)的所有格点三角形的个数是()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【变式14-2】(2023春·山东青岛·八年级统考期末)如图,图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上.则∠1+∠2=.【变式14-3】(2023春·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末)如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C,D均落在格点上,则∠BAD+∠ADC=.【题型15全等三角形在新定义中的运用】【例15】(2023春·河北沧州·八年级统考期末)我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;(2)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,设CD,BE相交于点O,若(3)在△ABC中,如果∠A是不等于60°的锐角,点D,E分别在AB,【变式15-1】(2023春·福建南平·八年级统考期中)定义:如图1,在△ABC和△ADE中,AB=AC=AD=AE,当∠BAC+∠DAE=180°时,我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”,△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”,点A叫做“旋补中心”.(1)特例感知:在图2,图3中,△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”,AM是“顶心距”.①如图2,当∠BAC=90°时,AM与DE之间的数量关系为AM=DE;②如图3,当∠BAC=120°,ED=6时,AM的长为.(2)猜想论证:在图1中,当∠BAC为任意角时,猜想AM与DE之间的数量关系,并给予证明.【变式15-2】(2023春·四川遂宁·八年级统考期末)新定义:顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.(1)如图①中,若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”,AB=AC,AD=AE.则①∠BAD___________∠CAE(填>、<或=)②连接线段BD和CE,则BD___________CE(填>、<或=)(2)如图②,△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”,AB=AC,AD=AE,若点D、点E均在△ABC外,连接BD、CE交于点M,连接AM,则线段BD、【变式15-3】(2023春·山东淄博·八年级统考期中)根据全等图形的定义,我们把能够完全重合(即四个内角、四条边分别对应相等)的四边形叫做全等四边形.请借助三角形全等的知识,解决有关四边形全等的问题.如图,已知,四边形ABCD和四边形ABCD中,AB=AB,BC=BC,B=B,C=C,现在只需补充一个条件,就可得四边形ABCD≌四边形ABCD.下

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