平面向量及常见题型

平面对量及常见题型向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量｜｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相似或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法=向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量的积是一种向量，记作λ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相似；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一种实数，使得=☆平面对量的基本定理：如果是一种平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表达这一平面内全部向量的一组基底☆平面对量的坐标运算：若，则，若，则若=(x,y)，则=(x,y)若，则若，则，☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表达和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定☆向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影☆数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：☆乘法公式成立：；☆向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点典型例题例1．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．命题意图:本题考察能够结合图形进行向量计算的能力．

解：

.故选A．例2．在平行四边形中，，M为BC的中点，则______.（用表达）命题意图:本题重要考察向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解：由得，，因此。例3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量()（A）（B）（C）（D）命题意图:本题重要考察向量的加法和减法运算能力.解：，故选A.例4.设平面对量、、的和.如果向量、、，满足且顺时针旋转后与同向，其中，则（）（A）（B）

（C）（D）

命题意图:本题重要考察向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.

常规解法：∵，∴故把2(i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重叠，故，应选D.

巧妙解法：令，则，由题意知，从而排除B，C，同理排除A，故选D.点评：巧妙解法巧在取，使问题简朴化.本题也可通过画图,运用数形结合的办法来解决.

例5．设向量与的夹角为，且，，则_．命题意图:本题重要考察平面对量的坐标运算和平面对量的数量积,以及用平面对量的数量积解决有关角度的问题.

解:设，由

得∴时，，故填例6．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（），过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的体现式，并求S的最小值．

命题意图:本小题重要考察平面对量的计算办法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考察推理和运算能力.

解：

(Ⅰ)由已知条件，得，．

设，，则，．

由，得即

将（1）式两边平方并把，代入得（3）

解（2）（3）式得，，且有，

抛物线方程为，求导得．

因此过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，

即，．

解出两条切线的交点M的坐标为即．

∵，

因此

所觉得定值，其值为0．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，，，

因而．

由于|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，

因此

于是，

由知S≥4，且当λ＝1时，S获得最小值4．

向量常见题型类型（一）：向量的夹角问题1.平面对量，满足且满足，则的夹角为2.已知非零向量满足，则的夹角为3.已知平面对量满足且，则的夹角为4.设非零向量、、满足，则5.已知类型（二）：向量共线问题已知平面对量，平面对量若∥，则实数设向量若向量与向量共线，则3.已知向量若平行，则实数的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．25．已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4共线，求实数k的值；6．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，2）若，且∥，求的坐标类型（三）:向量的垂直问题1．已知向量，则实数的值为2．已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值3．已知求与垂直的单位向量的坐标。4.已知向量5.6.∥，类型（四）投影问题已知，的夹角，则向量在向量上的投影为在△中，3．有关且，有下列几个说法：①；②；③④在方向上的投影等于在方向上的投影；⑤；⑥其中对的的个数是（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个类型（五）求向量的模的问题已知零向量已知向量满足已知向量，4．已知向量的最大值为6.设向量，满足及，求的值类型（六）平面对量基本定理的应用问题1．若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），则等于（）(A)(B)(C)(D)2.已知3.设是平面对量的一组基底，则当时，4.下列各组向量中，能够作为基底的是（）(A)(B)(C)(D)5.(A)(B)(C)(D)类型（七）平面对量与三角函数结合题1.已知向量，，设函数⑴求函数的解析式（2）