专题03 相似三角形的应用综合（五大类型）（题型专练）（解析版）

专题03相似三角形的应用综合（五大类型）【题型1利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】【题型2利用相似三角形测量高度-影子测量法】【题型3利用相似三角形测量高度-手臂测量法】【题型4利用相似三角形测量高度-标杆测量法】【题型5利用相似三角形测量距离】【题型1利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】1．（2022秋•郑州期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为1.5m，小明的站的位置到镜子上标记的距离是3.2m，旗杆的底部到小明的位置是19.2m，则旗杆的高度为（）A．19.2 B．16 C．9 D．7.5【答案】D【解答】解：∵镜子平行于地面，∴入射角等于反射角，∴∠DEC＝∠BEA，∵DE⊥AC，BA⊥AC，∴∠DCE＝∠BAE，∴△DCE∽△BAE，∴＝，即＝，∴AB＝7.5．故选：D．2．（2023•龙华区一模）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米 B．28米 C．24米 D．16米【答案】A【解答】解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．即＝故CD＝×AB＝×1＝32米；那么该大厦的高度是32米．故选：A．3．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m【答案】D【解答】解：∵镜子垂直于地面，∴入射角等于反射角，∴∠DEC＝∠BEA，∵DE⊥AC，BA⊥AC，∴∠DCE＝∠BAE，∴△DCE∽△BAE，∴＝，即＝，∴AB＝12.8（m）．故选：D．4．（2023•青原区校级一模）为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践．根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3m，该同学身高CD＝1.6m．请你计算树（AB）的高度．【答案】4.8m．【解答】由题意知∠CDE＝∠ABE＝90°．又由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，∴△CED∽△AEB，∴，∴．∴AB＝4.8m，答：树高是4.8m．5．（2023•新城区校级一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，∴＝，即＝，解得：BC＝3，答：BC的长为3m；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.2（m），答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．6．（2023•灞桥区校级模拟）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN﹒（平面镜的大小忽略不计）【答案】43.5米．【解答】解：根据题意得∠BAC＝∠NAM，∠ABC＝∠MNA，∴Rt△AMN∽Rt△ACB，∴＝，即＝①；∵∠EDF＝∠NDM，∠DEF＝∠MND，∴Rt△MND∽Rt△FED，∴＝，即＝②，由①②得＝，解得AN＝25，∴＝，解得MN＝43.5，答：小雁塔的高度MN为43.5米．7．（2022秋•大名县校级期末）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【答案】18m．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，∴∠DCH＝90°，∵∠ACD＝135°，∴∠ACH＝45°，在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴，即，解得：BD＝17.5，∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．∴这棵古树的高AB为18m．【题型2利用相似三角形测量高度-影子测量法】8．（2021秋•蓝山县期末）如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为9米．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴AC＝6×1.5＝9米．故答案为：9．9．（2022•兴化市模拟）如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为5m．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，＝，即＝，解得：AM＝5．故答案为：5．【题型3利用相似三角形测量高度-手臂测量法】10．（2022秋•房山区期中）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC，以及露出笔的长度DE，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比等于相似比．（填写定理内容）【答案】相似三角形对应高的比等于相似比．【解答】解：如图，设树高为GF．根据题意推知△ADE∽△AFG，且AB⊥DE，AC⊥FG，所以＝．所以FG＝．故答案为：相似三角形对应高的比等于相似比．11．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为8m．【答案】8．【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴，即，∴AB＝8（m），即铁塔的高度为8m．故答案为：8．12．（2023•长安区校级二模）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高1.5m的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离EF＝0.8m，DF＝1m，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，点B、D、F、M在同一直线上．方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离善导塔45m的地方（即点E到AB的距离为45m）．他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm．​请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB．我选择方案一（答案不唯一）．【答案】善导塔的高度AB为33米，一（答案不唯一）．【解答】解：若选择方案一：如图：过点EH⊥CD，垂足为H，延长EH交AB于点G，由题意得：EG⊥AB，EF＝DH＝BG＝0.8米，EH＝DF＝1米，EG＝BF＝BD+DF＝45+1＝46（米），∴∠CHE＝∠AGE＝90°，∵CD＝1.5米，∴CH＝CD﹣DH＝1.5﹣0.8＝0.7（米），∵∠CEH＝AEG，∴△CEH∽△AEG，∴＝，∴＝，∴AG＝32.2，∴AB＝AG+BG＝32.2+0.8＝33（米），∴善导塔的高度AB为33米；若选择方案二：如图：过点E作EM⊥CD，垂足为M，延长EM交AB于点N，∵CD∥AB，∴EN⊥AB，由题意得：CD＝22厘米，EM＝30厘米，EN＝45米，∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠EBA，∠ECD＝∠EAB，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得：AB＝33，∴善导塔的高度AB为33米；故答案为：一（答案不唯一）【题型4利用相似三角形测量高度-标杆测量法】13．（2023•费县二模）​如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝10.8m，则建筑物CD的高是15m．【答案】15．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝10.8m，∴AC＝AB+BC＝12m，∴，解得，DC＝15，即建筑物CD的高是15m．故答案为：15．14．（2021秋•吉林期末）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为10m．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＝即＝，∴楼高＝10米．故答案为：10m．15．（2022秋•花都区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？【答案】10.5m．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.2m，AB＝1.6m，BC＝12.4m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，∴CD＝10.5m．答：楼高CD是10.5m．16．（2023•雁塔区一模）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14m，人的眼睛与地面的高度AB＝1.6m，人与标杆CD的水平距离BD＝2m，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大树MN的高度．【答案】大树MN的高度为12.8m．【解答】解：如图所示，过点A作AF⊥MN于点F，交CD于点E，依题意，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，∴四边形ABDE，ABNF是矩形，∴AE＝BD＝2，CE＝CD﹣AB＝3﹣1.6＝1.4，AF＝BN＝BD+DN＝2+14＝16，FN＝AB＝1.6，∵CD⊥BN，MN⊥BN，∴CE∥MF，∴△ACE∽△AMF，∴，∴，解得：MF＝11.2，∴MN＝MF+FN＝11.2+1.6＝12.8，∴大树MN的高度为12.8m．17．（2023•碑林区校级一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度．【答案】21m．【解答】解：设BE＝ym，由题意可知，∵EF∥AB，GH∥AB，∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，∴＝，＝，∵EF＝HG＝1.5，∴＝，∴＝，解得：y＝26（m），则＝，即＝，解得：AB＝21（m），答：该古建筑AB的高度为21m．18．（2022秋•高新区期末）某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点A作AN⊥EF于点N，交CD于M，由题意可得：AM＝BC＝4米，NM＝FD＝40米，CM＝3﹣1.6＝1.4（米），∵CM∥EN，∴△ACM∽△AEN，∴＝，∴＝，解得：EN＝15.4，则EF＝15.4+1.6＝17（米），答：旗杆EF的高度为17米．19.（2023•碑林区一模）杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB．【答案】62米．【解答】解：根据题意得CD＝GH＝2米，EC＝3米，FG＝5米，GC＝60米，∵CD∥AB，∵△EDC∽△EBA，∴＝，即＝①，∵HG∥AB，∴△FHG∽△FBA，∴＝，即＝②，由①②得＝，解得CA＝90（米），把CA＝90代入①得＝，解得AB＝62（米），答：雷峰塔的高度AB为62米．20．（2022秋•益阳期末）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得，△EDC∽△EBA，∴，∵DC＝HG，∴，∴，∴CA＝40（米），∵，∴＝，∴AF＝61.92米，∴＝，∴AB＝64.5米，答：古塔的高度AB为64.5米．21．（2022秋•雁塔区校级期中）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在G处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端B．已知EF＝3.2米，CF＝3米，CG＝2米，点小C、F、G在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．【答案】这棵樱花树AB的高度为8m．【解答】解：如图，延长AC、BD交于点P，由题意可知，CD为三角形EFP的中位线，FG＝CF﹣CG＝1m，∴CF＝CP＝3m，∴FP＝6m，∵小明在地面上放一个镜子，恰好在G处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端B，∴∠BGA＝∠DGC，又∵∠BAG＝∠DCG，∴△BAG∽△DCG，∴，∴，设AB为4x，则AG＝5x，AF＝5x﹣1，则＝，∴，解得：x＝2，∴AB＝2×4＝8（m），∴这棵樱花树AB的高度为8m．【题型5利用相似三角形测量距离】22．（2022秋•开封期末）如图，某“综合实践”小组为估算开封护城河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点A和点C，使AC＝30m，且AC⊥AP，再过点C作CD⊥BC，且CD＝20m，PD与AC交于点B，若测得AB＝20m，则河宽AP的宽度为（）A．40m B．30m C．20m D．10m【答案】A【解答】解：∵AC＝30m，AB＝20m，∴BC＝10m．∵∠PAB＝∠DCB＝90°，∠ABP＝∠CBD，∴△ABP∽△CBD．∴＝，即＝．∴AP＝40m．故选：A．23．（2022秋•上海月考）如图，A，B是河边上的两根水泥电线杆，C，D是河对岸不远处的两根木质电话线杆，且电线、电话线及河两边都是平行的．O是A、B对岸河边上一点，且O与A、C在同一直线上，与B、D也在同一直线上，已知AB＝35m，CD＝20m，OD＝20m，根据所给的已知条件是否一定能求出河的大约宽度能（填能或不能或不一定）．【答案】能．【解答】解：能，理由如下：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD．∴AB：CD＝OB：OD，即35：20＝OB：20．∴OB＝35m．∴BD＝OD+OB＝20+35＝55（m）．∴河的大约宽度为55m．故答案为：能．24．（2023•山西模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和点C，观察者在点E．适当调整，使得AB与EC都与河岸BC垂直．此时AE与BC相交于点D，若测得BD＝10