05 解直角三角形及其综合应用大题综合原卷版

05解直角三角形及其综合应用1．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为米，求大树的高．（结果精确到米，，）2．（2023·江苏宿迁·统考二模）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度如图，已知测角仪的高度为米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．(参考数据：，)3．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）4．（2023·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，．(1)求点距水平面的高度；(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）5．（2023·江苏徐州·统考一模）我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”．学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度．如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为．求：(1)坡顶A到地面的距离；(2)求碑亭的高度（结果保留根号）．6．（2023·江苏镇江·校联考一模）我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外．小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高，无人机匀速飞行的速度是，当小华在B处时，测得无人机（C处）的仰角为；两秒后，小华沿正东方向小跑到达E处，此时测得迎面飞来的无人机（F处）的仰角为，平行于地面（直线l）．设点D与点F的水平距离为．(1)请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离：；(2)求点C离地面的距离．(参考数据：，结果精确到）7．（2023·江苏常州·校考二模）某同学眼睛距地面高度1.7米（图中部分）在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部D的仰角为，在护旗手结束走正步的点B处测得旗杆顶部D的仰角为，又测量得到A，B两点间的距离是30米，求旗杆的高度．（结果精确到整数米；参考数据：，，．）8．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，垂直于路边的灯柱高，与灯杆的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从、两处测得路灯的仰角分别为，．（参考数据：，）(1)求路灯距离地面的高度；(2)求灯杆的长度．9．（2023·江苏常州·校考二模）【问题提出】（1）如图①，在中，，，．若点P是边上一点，则的最小值为______；【问题探究】（2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，试求的最小值；【问题解决】（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）10．（2023·江苏苏州·校联考一模）水巷小桥多，是苏州特色之一．古人咏苏州之桥，诗有“东西南北桥相望”，“画桥三百映江城“之句．在宋《平江图》上，可以数到三百五十九座桥梁．桥的结构为拱式环洞，也有弧形的桥拱．弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．某校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为，弦为水平面，设所在圆的半径为，建立了数学模型，得到了多个方案．(1)如图②，从点A处测得桥拱上点处的仰角为，，求的值．（用含的代数式表示）(2)如图③，在上任取一点（不与重合），作，若，求的值．(3)如图④，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：，，米，求半径（结果精确到）．（参考数据：）11．（2023·江苏连云港·统考一模）在某张航海图上（单位：海里），标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．(1)求圆形区域的面积；(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离（结果精确到海里）．（参考数据：）．12．（2023·江苏镇江·统考一模）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）(1)求坡面的坡度；(2)求基站塔的高．13．（2023·江苏扬州·统考一模）“五一”节期间，洞庭湖旅游度假区特色文旅活动精彩上演，吸引众多市民打卡游玩，许多露营爱好者在大烟囱草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；(2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，）14．（2023·江苏泰州·模拟预测）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.(1)求圆形区域的面积；(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：，，）.15．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，梯形是某水坝的横截面示意图，其中，坝顶，坝高，迎水坡的坡度为．(1)求坝底的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽，背水坡坡角改为．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：；结果精确到）16．（2023·江苏宿迁·一模）纸是一种常见的办公用纸，它是长（）为，宽（）为的矩形，如图，将一张纸沿翻折（F点在线段上），点D恰好落在边上的点E处，点M是折痕上的一点．(1)

；(2)点N在线段上．将沿翻折，点A恰好落在线段上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；(3)若，求的长度（结果精确到，参考数据：）．17．（2023·江苏南京·统考一模）如图，甲楼和乙楼高度相等，甲楼顶部有一竖直广告牌．从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为，．求广告牌的高度．（参考数据：，，）18．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的俯角分别为和，已知大桥的长度为，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度（结果保留整数，参考数据：，，，）．19．（2023·江苏常州·统考一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长6米，长2米，点距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．如图②，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，求点到的距离的长；20．（2023·江苏泰州·统考一模）如图是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）(1)若，，求点到直线的距离；(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，，，）21．（2023·江苏苏州·统考一模）国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．活动一：目测估计先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：旗杆高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5学生人数（人）6712252013854(1)目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；(2)根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．(3)活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．（参考数据：，，）22．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，）(1)求的长；(2)若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.23．（2023·江苏徐州·模拟预测）2023年3月18、19日，盐城市亭湖区中小学生篮球赛在先锋实验学校火热上演．本次比赛为期2天，共有来自全区26所中小学代表队，近270名运动员参加．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底箱矩形在水平地面上，它的高为40cm，长为200cm，底箱与后拉杆所成的角，后拉杆长为180cm，支撑架的长为182cm，伸臂平行于地面，支撑架与伸臂的夹角，篮筐与伸臂在同一水平线上．(1)求点F到地面的距离；(2)求篮筐到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，）24．（2023·江苏徐州·校联考一模）如图1，是护眼灯的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为．