福建省福州市永泰县第一中学高三数学文期末试题含解析

福建省福州市永泰县第一中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题为真命题的是（

）（A）若为真命题，则为真命题 （B）“”是“”的充分不必要条件（C）命题“若，则”的否命题为“若，则” （D）若命题：，使，则：，使参考答案：B2.如图，△是边长为的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数）.下列结论中，正确的是………………（

）.当时，满足条件的点有且只有一个..当时，满足条件的点有三个..当时，满足条件的点有无数个..当为任意正实数时，满足条件的点总是有限个.

参考答案：C略3.下列语句中：①

②

③

④

⑤

⑥

其中是赋值语句的个数为（

）A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C4.已知且，函数在同一坐标系中的图象可能是（

）参考答案：C略5.若函数与的图象关于直线对称，则(A).

(B).(C).

(D).参考答案：A略6.设是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，，，，则的大小关系是（

）A．

B．C．

D．参考答案：B试题分析：由题意．∵，，，∴．又∵f（x）在（-∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＜b＜a．故选：B．考点：1．奇偶性与单调性的综合；2．对数的运算性质．7.设全集且,,则等于A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C8.已知，则的表达式是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：①若

②若③若

④若其中真命题的序号为（

）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：B略10.已知为异面直线，⊥平面，⊥平面.直线满足⊥，⊥，则

A.∥且∥

B.⊥且⊥

C.与相交，且交线垂直于

D.与相交，且交线平行于参考答案：D【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．G3G4解析：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【思路点拨】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是

.参考答案：由得，则定义域为：12.向量，则=

．参考答案：0【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件容易求出，的值，而，从而求出该数量积的值．【解答】解：；∴=5﹣5=0．故答案为：0．13.函数的定义域为__________.参考答案：略14.求值：=

．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质lgM﹣lgN=lg以及lgMn=nlgM进行化简运算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案为：2．15.已知函数且，其中为奇函数,为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是________.参考答案：略16.已知集合，，则集合的真子集的个数为

．参考答案：15

考点：集合的包含关系．17.16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知各项为正的数列{an}满足，，n∈N*．（Ⅰ）证明：0＜an＜an+1＜1（n∈N*）；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由，得（an+3），从而＞0，进而an+1＜1，由，得0＜an＜1，（n∈N*），由此证明0＜an＜an+1＜1（n∈N*）．（Ⅱ）由=＜，得1﹣an=（1﹣a1）×××…×，由此能证明（n∈N*）．【解答】证明：（Ⅰ）由，得（an+3），即，得＞0，∴=＞0，∴an+1＜1，又，∴0＜an＜1，（n∈N*），∴=（1﹣an）＞0，∴an+1＞an，综上，得：0＜an＜an+1＜1（n∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：=＜=（1+）≤=，则n≥2时，1﹣an=（1﹣a1）×××…×，∴（1﹣a1）+（1﹣a2）+（1﹣a3）+…+（1﹣an）＜，即n﹣（a1+a2+a3+…+an）＜=[1﹣（）n]，∴（n∈N*）．19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]频数4369628324（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

设备改造前设备改造后合计合格品

不合格品

合计

（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635参考答案：（1）根据图1和表1得到列联表：

设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将列联表中的数据代入公式计算得：.∵，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，设备改造前产品为合格品的概率约为；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好.（3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，，所以该企业大约获利168800元.20.已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（I）利用导数判断f（x）的单调性和单调区间；（II）分离参数得出k＜，使用导数求出右侧函数的最小值，得出k的范围．【解答】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．令f′（x）=0得x=e，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=，则h′（x）=．设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）的最小值hmin（x）=h（x0）=．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．∴k＜hmin（x）=x0．∵3＜x0＜4，∴k≤3．∴k的值为1，2，3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．21.已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．参考答案：解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝－2时，f(x)＝x2－2lnx，f′(x)＝2x－＝.当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减极小值递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋，得g′(x)＝2x＋－.若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x)＝－2x2，则φ′(x)＝－－4x.当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－－4x＜0，∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x)max＝φ(1)＝0.∴a≥0，即a的取值范围为[0，＋∞)22.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为，，，，．⑴求图3中的值；⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果；⑶从质量指标值分布在、的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．参考答案：【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图．K2L1⑴；⑵18；（3）

解析：⑴依题意，……2分解得……3分⑵，，，，……6分（、、各1分）输出的……8分（列式、结果各1分）⑶记质量指标在的4件产品为，，，，质量指标在的1件产品为，则从5件产品中任取2件产品的结果为：，，，，，，，，，，共10种……10分记“两件产品的质量指标之差大于10”为事