二次曲面习题课

解析几何习题课(二)2021/5/91Chap.4二次曲面(quadricsurfaces)空间解析几何的两个基本问题：一、给定曲面，建立方程；二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。2021/5/921、柱面(cylinder)定义：一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为

柱面。

C——准线(directrix)，L——母线(ruling)直柱面：2021/5/93射影柱面依次消去一个变元射影柱面柱面的参数方程(parametricequation)（P147ex4）2021/5/94圆锥面

直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.

O——顶点(vertex)

两直线的夹角——半顶角

锥面

一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C

移动所产生的曲面称为锥面.

O——顶点

C——准线（不唯一

）

动直线——母线（不唯一

）2、锥面(conicalsurface)2021/5/95锥面的参数方程（P152ex6）2021/5/963、旋转曲面(surfaceofrevolution)定义：曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转

曲面。l——旋转轴，C——母线旋转曲面的参数方程（P158ex3）2021/5/974、椭球面(ellipsoid)

（1）椭球面的方程

（2）椭球面的性质

（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。

（2）并有六个顶点

2021/5/98（3）形状（与三个坐标面的交线）：

是一个椭圆

(ellipse)(2)是一个椭圆

(3)是一个椭圆

2021/5/99（4）椭球面的参数方程（广义球坐标系）2021/5/9105、双曲面(hyperboloid)

I．

单叶双曲面(hyperboloidofonesheet)

方程：

性质：（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。

（2）有四个顶点（3）形状：

（1）是一个椭圆（腰椭圆）

2021/5/911（2）是双曲线

(hyperbola)（3）是双曲线

（4）是一个椭圆

ïîïíì=+=+hzchbyax22222212021/5/912II．双叶双曲面(hyperboloidoftwosheets)

方程：

性质：

（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。

（2）有两个顶点

（3）形状：

（6）是双曲线

（7）是双曲线

2021/5/913

参数方程(P168ex.7)(1)单叶双曲面(2)双叶双曲面2021/5/9146、抛物面(paraboloid)

I．椭圆抛物面(ellipticparaboloid)

方程：

性质：

（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，对称于z轴，无对称中心。（2）与对称轴交于原点（0，0，0），叫做椭圆抛物面的顶点。

2021/5/915（3）形状：

（1）是抛物线

(parabola)

（2）是抛物线

主抛物线

（3）是一个椭圆

容易知道图形（3）的两对顶点分别在主抛物线（1）与（2）上。ïîïíì==+hzhbyhax22221222021/5/916

（4）是抛物线

ïîïíì=-=tybtzax)2(222222021/5/917II．双曲抛物面(hyperbolicparaboloid)

方程：

性质：

（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，对称于z轴，无对称中心。

（2）形状：

（5）是一对相交于原点的直线2021/5/918（6）是抛物线

（7）是抛物线

主抛物线

（8）是双曲线(hyperbola)

ïîïíì==-hzhbyhax2222122（9）是抛物线2021/5/919７、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线定义：由一族直线生成的曲面称为直纹面(ruledsurface)．这族直线称为曲面的一族直母线。2021/5/920１、单叶双曲面u族直母线v

族直母线

对于单叶双曲面上的每个点，两族直母线中各有一条直母线经过该点2021/5/921２、双曲抛物面

对于双曲抛物面上的每个点，两族直母线中各有一条直母线经过该点直母线：2021/5/922定理单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面。2021/5/923例题2021/5/924例1.

研究方程解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.2021/5/925例2.试建立顶点在原点,旋转轴为z

轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方2021/5/926例3.

求坐标面xoz上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为2021/5/927例4、求准线是，母线方向为的柱面方程。解：准线可改写为所求柱面方程为消去参数u,v得2021/5/928例5、求半径为2，对称轴为的圆柱面方程。解：在所求圆柱面上任取一点，由得2021/5/929例6、求准线是，顶点为原点的锥面方程。解：准线方程为所求锥面方程为消去参数u,v得2021/5/930例7、由椭球面的中心，引三条两两互相垂直的射线，分别交曲面于，设，试证：（课本P162,ex4）解：设的单位向量分别为P1的坐标为，代入椭球面方程，得2021/5/931同理可得由于两两垂直，知是正交的矩阵，于是有所以2021/5/932例8、试求单叶双曲面上互相垂直的两直母线交点的轨迹方程。（课本P182,ex8）解：过单叶双曲面上所求轨迹上一点的两条直母线分别为L1和L2当时，当时，2021/5/933L1和L2的方向向量分别为当时，当时，2021/5/934由垂直，得分别在和的情况下，计算上式各项，再整理得所求轨迹均为2021/5/935例9.

将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为2021/5/936绕z

轴旋转所得旋转曲面方程为消去t

和

,得旋转曲面方程为例10.求空间曲线

:2021/5/937例11.直线绕z轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.解:在L

上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程2021/5/938例12求在xoy

面上的投影曲线方程。2021/5/939例13求所围的立体在xoy

面上的投影区域。上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:2021/5/940例14求曲线绕z

轴旋转的曲面与平面

的交线在

xoy平面的投影曲线方程.

解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy

面的投影柱面方程为

此曲线在xoy面上的投影曲线方程为

,它与所给平面的2021/5/941作图练习2021/5/942(2)(1)1、画图:2021/5/943(3)2021/5/944(4)2021/5/945思考:交线情况如何?交线情况如何?(5)20