Levy过程及其在金融领域中的应用

Levy过程及其在金融领域中的应用2021/5/91二个例子2021/5/92MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy,2005,vol.113,no.22021/5/93RafalWeronHeavytailsandelectricitypricesTheDeutscheBundesbank’s2005AnnualFallConference(Eltville,10-12November2005):2021/5/94概要Levy过程简介

Levy过程在数理金融中的应用

Levy过程的统计分析

Levy过程的进一步推广2021/5/95Levy过程的定义：设{X(t),t≥0}是一随机过程：如果（1）X(t)具有平稳独立增量（2）P(X(0)=0)=1（3）X(t)具有右连左极的轨道（4）X(t)是随机连续的,即,对任意a>0,

s≥0,当t→s有

P(|X(t)-X(s)|>a)→02021/5/96LevyProcesses:1930s-1940sPaulLevy(France)AlexanderKhintchine(Russia)KiyosiIto(Japan)2021/5/97Levy过程的三种刻画Levy-Khintchine公式：称为Levy三元组，ν称为Levy测度2021/5/98Levy过程的三种刻画Levy-Ito分解：X(t)=布朗运动+常数漂移+复合Poisson过程+纯跳鞅是一Poisson随机测度，且与布朗运动Bt相互独立2021/5/99Levy过程的三种刻画Levy过程是Markov过程：转移半群：T(t)f=Ef(x(t))无穷小算子：2021/5/910Levy过程的例子Levy-Ito分解变为：Subordinator：关于时间t单调递增的Levy过程，此时Levy三元组应满足：2021/5/9112021/5/912Levy过程的例子稳定过程：Levy三元组：2021/5/9132021/5/914Levy过程的例子Gamma过程Levy三元组：过程的一维分布：2021/5/9152021/5/916Levy过程的例子正态逆Gauss过程：Levy三元组：过程的一维分布：2021/5/917Levy过程的例子Levy三元组t=1时，过程的一维分布：J1

第一类Bessel函数,Y1第二类Bessel函数双曲线的Levy运动2021/5/918在金融领域的应用定价中的几何Levy过程模型：资产价格：St满足：Zt是Levy过程。在几何Levy过程模型下，市场一般是一不完备的市场，等价鞅测度不唯一，如何选择一合适的Levy过程和相应的等价鞅测度是要研究的主要问题。2021/5/919具体的Levy过程(1)Stableprocess(Mandelbrot,Fama(1963))(2)Jumpdiffusionprocess(Merton(1973))(3)VarianceGammaprocess(Madan(1990))(4)GeneralizedHyperbolicprocess(Eberlein(1995)(5)CGMYprocess(Carr-Geman-Madam-Yor(2000))(6)NormalinverseGaussianprocess(Barndorff-Nielsen)(7)Finitemomentlogstableprocess(Carr-Wu(2003))2021/5/920Morton模型其中：Wt标准布朗运动，Nt为Poisson过程Yi独立同分布，服从正态分布，且Wt,Nt,Yi相互独立2021/5/921可供选择的等价鞅测度(1)MinimalMartingaleMeasure(MMM)(Follmer-Schweizer(1991))(2)VarianceOptimalMartingaleMeasure(VOMM)(Schweizer(1995))(3)MeanCorrectingMartingaleMeasure(MCMM)(4)EsscherMartingaleMeasure(ESMM)(Gerber-Shiu(1994),B-D-E-S(1996))(5)MinimalEntropyMartingaleMeasure(MEMM)(Miyahara(1996),Frittelli(2000))2021/5/922参考文献R.Cont,P.Tankov(2003).Financialmodellingwithjumpprocesses.ChapmanandHall/CRCPress.J.M.Corcuera,D.Nualart,W.Schoutens(2005).CompletionofaLevymarketbypower-jumpassets.FinanceStoch.9,109-127.E.Eberlein,J.Jacod(1997).Ontherangeofoptionsprices.FinanceStoch.1,131-140.Frittelli,M.(2000),TheMinimalEntropyMartingaleMeasuresandtheValuationProbleminIncompleteMarkets,MathematicalFinance10,39-52.Bellini,F.andFrittelli,M.(2002),Ontheexistenceofminimaxmartingalemeasures,MathematicalFinance12,1-21.2021/5/923Ornstein-Uhlenbeck

型过程其中Z(t)为一Levy过程，X(t)称为Ornstein-Uhlenbeck

型过程K.Sato和M.Yamazato(1984,ASP)2021/5/924Barndorff-Nielsen-Shephard

模型推广的随机波动率模型：dX(t)=bX(t)dt+σ(t)X(t)dW(t)Z(t)是一Levy过程E.Barndorff-Nielsen和N.Shephard(2001,JRSS(B))E.Barndorff-Nielsen和N.Shephard(2002,JRSS(B))2021/5/925利率模型CKLS模型（1992）：（1976）在r=0时，这一模型为Vasicek模型在r=1/2时，这一模型为CIR模型。在b=0，r=0，这一模型即为Merton模型MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy,2005,vol.113,no.22021/5/926过程的统计推断问题参数估计问题最大似然估计广义矩估计估计函数（鞅估计函数）假设检验问题有无跳、变点问题2021/5/927中国科学A辑，200636（8）901-927模型：问题：求参数λ，α，c的估计结果：得到了λ，α，c的最大似然估计，并证明了相合性与渐进正态性。张世斌、张新生、孙曙光2021/5/9282021/5/9292021/5/9302021/5/931模型的进一步推广自相似过程分数维布朗运动：2021/5/932分数维布朗运动及其随机积分分数维布朗运动的基本性质：在H>1/2时，分形布朗运动是长程相依的；在H≠1/2时，分形布朗运动既不是Markov过程，也不是半鞅。2021/5/933关于分形布朗运动的随机积分

Roughpaths1.Lyons,T.J.Differentialequationsdrivenbyroughsignals.Rev.Math.Iberoamer.14(1998),215-310.2.Coutin,L.,Qian,Z.Stochasticanalysis,roughpathanalysisandfractionalBrownianmotions.Probab.TheoryRelatedFields122(2002),no.1,108-140.Malliavincalculus2021/5/934关于分形布朗运动的随机积分Nualart,D.StochasticcalculuswithrespecttothefractionalBrownianmotionandapplications.ContemporaryMathematics336(2003),3-39.WickproductsDuncan,T.E.,Hu,Y.,Pasik-Duncan,B.StochasticcalculusforfractionalBrownianmotionI.Theory.SIAMJ.ControlOptim.38(2000),582-612.轨道意义下（path-wise）2021/5/935分数维Orntein-Uhlenbeck型过程

(FractionalOrntein-UhlenbeckTypeProcesses)dX(t)=-αX(t)dt+σdW^H(t)+dY(t)其中W^H(t)是参数为H的分数维布朗运动，Y(t)为纯跳Levy过程。2021/5/936（张新生（2006））2021/5/937由Levy过程驱动的随机微分方程dX(t)=B(X(t))dt+M(X(t))dZ(t)Z(t)为Levy过程R.F.Bass,StochasticDierentialEquationswithJumps,ProbabilitySurveysVol.1(2004)1-192021/5/938参考文献（书）D.Applebaum,LevyProcessesandStochasticCalculus,CambridgeUniversityPress,2004O.E.Barndorff-Nielsen,T.MikoschandS.Resnick(Eds.),LevyProcesses:TheoryandApplications,Birkhauser,2001J.Bertoin,LevyProcesses,CambridgeUniversityPress,1996W.Schoutens,LevyProcessesinFinance:PricingFi