嘉禾一中初高中数学衔接教材

嘉禾一中初高中数学衔接教材目 录引入乘法公式第一讲因式分解1提取公因式2.公式法〔平方差，完全平方，立方和，立方差〕3分组分解法4十字相乘法〔重、难点〕5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二讲函数与方程2.1一元二次方程根的判别式根与系数的关系〔韦达定理〕2．2二次函数二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质二次函数的三种表示方式二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心〞乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：〔1〕平方差公式；〔2〕完全平方公式．我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：〔1〕立方和公式；〔2〕立方差公式；〔3〕三数和平方公式；〔4〕两数和立方公式；〔5〕两数差立方公式．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2，，求的值．解：．练习1．填空：〔1〕〔〕；〔2〕；(3)．2．选择题：〔1〕假设是一个完全平方式，那么等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕不管，为何实数，的值〔〕〔A〕总是正数〔B〕总是负数〔C〕可以是零〔D〕可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：〔1〕x2－3x＋2；〔2〕x2＋4x－12；〔3〕；〔4〕．解：〔1〕如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－by－ay－byxx图1．1－4－2611图1．1－3－1－211图1．1－2－1－2xx图1．1－1说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示〔如图1．1－2所示〕．〔2〕由图1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．〔3〕由图1．1－4，得－11xy－11xy图1．1－5〔4〕＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)〔如图1．1－5所示〕．课堂练习一、填空题：1、把以下各式分解因式：〔1〕__________________________________________________。〔2〕__________________________________________________。〔3〕__________________________________________________。〔4〕__________________________________________________。〔5〕__________________________________________________。〔6〕__________________________________________________。〔7〕__________________________________________________。〔8〕__________________________________________________。〔9〕__________________________________________________。〔10〕__________________________________________________。2、3、假设那么，。二、选择题：〔每题四个答案中只有一个是正确的〕1、在多项式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕中，有相同因式的是〔〕A、只有〔1〕〔2〕 B、只有〔3〕〔4〕C、只有〔3〕〔5〕 D、〔1〕和〔2〕；〔3〕和〔4〕；〔3〕和〔5〕2、分解因式得〔〕A、B、C、D、3、分解因式得〔〕A、B、C、D、4、假设多项式可分解为，那么、的值是〔〕A、，B、，C、，D、，5、假设其中、为整数，那么的值为〔〕A、或B、C、D、或三、把以下各式分解因式1、2、3、4、2．提取公因式法例2分解因式：〔1〕 〔2〕解：〔1〕．=〔2〕===．或＝＝＝＝＝课堂练习：一、填空题：1、多项式中各项的公因式是_______________。2、__________________。3、____________________。4、_____________________。5、______________________。6、分解因式得_____________________。7．计算=二、判断题：〔正确的打上“√〞，错误的打上“×〞〕1、………… 〔〕2、…………… 〔〕3、…………… 〔〕4、……………… 〔〕3：公式法例3分解因式： 〔1〕〔2〕解：(1)= (2)=课堂练习一、，，的公因式是______________________________。二、判断题：〔正确的打上“√〞，错误的打上“×〞〕1、………… 〔〕2、………………… 〔〕3、………………… 〔〕4、………… 〔〕5、……………… 〔〕五、把以下各式分解1、2、3、4、4．分组分解法例4〔1〕〔2〕．〔2〕===．或===．课堂练习：用分组分解法分解多项式〔1〕〔2〕5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．假设关于x的方程的两个实数根是、，那么二次三项式就可分解为.例5把以下关于x的二次多项式分解因式：〔1〕；〔2〕．解：〔1〕令=0，那么解得，，∴==．〔2〕令=0，那么解得，，∴=．练习1．选择题：多项式的一个因式为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．分解因式：〔1〕x2＋6x＋8；〔2〕8a3－b3；〔3〕x2－2x－1；〔4〕．习题1．21．分解因式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．2．在实数范围内因式分解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕3．三边，，满足，试判定的形状．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．第二讲函数与方程2.1一元二次方程根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根〔1〕(2)(3)}我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，用配方法可以将其变形为．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是〔1〕当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝；〔2〕当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－；〔3〕当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的根的判别式，通常用符号“Δ〞来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，有当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；〔2〕当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；〔3〕当Δ＜0时，方程没有实数根．例1判定以下关于x的方程的根的情况〔其中a为常数〕，如果方程有实数根，写出方程的实数根．〔1〕x2－3x＋3＝0；〔2〕x2－ax－1＝0；〔3〕x2－ax＋(a－1)＝0；〔4〕x2－2x＋a＝0．解：〔1〕∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．〔2〕该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根，．〔3〕由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．〔3〕由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a所以①当Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根，；②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．根与系数的关系〔韦达定理〕 假设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕有两个实数根，，那么有；． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：如果ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，假设x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程〔二次项系数为1〕是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，那么2x1＝－，∴x1＝－．由〔－〕＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．例3关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：此题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：〔1〕在此题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21〞求出m的值，取满足条件的m的值即可．〔1〕在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，那么x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴或因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二〔直接利用韦达定理来解题〕要比解法一简捷．例5假设x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． 〔1〕求|x1－x2|的值；〔2〕求的值；〔3〕x13＋x23．解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴，． 〔1〕∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． 〔2〕． 〔3〕x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，那么，，∴|x1－x2|＝．于是有下面的结论：假设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕，那么|x1－x2|＝〔其中Δ＝b2－4ac〕．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6假设关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．解：设x1，x2是方程的两根，那么x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜eq\f(17,4)．∴a的取值范围是a＜4．练习1．选择题：〔1〕方程的根的情况是〔〕〔A〕有一个实数根〔B〕有两个不相等的实数根〔C〕有两个相等的实数根〔D〕没有实数根〔2〕假设关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是〔〕〔A〕m＜〔B〕m＞－〔C〕m＜，且m≠0〔D〕m＞－，且m≠02．填空:〔1〕假设方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，那么＝．〔2〕方程mx2＋x－2m＝0〔m≠0〕的根的情况是．〔3〕以－3和1为根的一元二次方程是．3．，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？4．方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．习题2.1A组1．选择题:〔1〕关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，那么它的另一个根是〔〕〔A〕－3〔B〕3〔C〕－2〔D〕2〔2〕以下四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是〔〕〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个〔3〕关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，那么a的值是〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕－1〔D〕0，或－12．填空:〔1〕方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，那么k＝．〔2〕方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，那么α2＋β2＝．〔3〕关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，那么它的另一个根是．〔4〕方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，那么|x1－x2|＝．3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．B组1．选择题:假设关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两根互为相反数，那么k的值为〔〕〔A〕1，或－1〔B〕1〔C〕－1〔D〕02．填空:〔1〕假设m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，那么m2n＋mn2－mn的值等于．〔2〕如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．关于x的方程x2－kx－2＝0．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的两根为x1和x2．求：〔1〕|x1－x2|和；〔2〕x13＋x23．5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．C组1．选择题：〔1〕一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，那么这个直角三角形的斜边长等于〔〕〔A〕〔B〕3〔C〕6〔D〕9〔2〕假设x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，那么的值为〔〕〔A〕6〔B〕4〔C〕3〔D〕〔3〕如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，那么α＋β的取值范围为〔〕〔A〕α＋β≥〔B〕α＋β≤〔C〕α＋β≥1〔D〕α＋β≤1〔4〕a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是〔〕〔A〕没有实数根〔B〕有两个不相等的实数根〔C〕有两个相等的实数根〔D〕有两个异号实数根2．填空：假设方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，那么m＝．3．x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．〔1〕是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由；〔2〕求使－2的值为整数的实数k的整数值；〔3〕假设k＝－2，，试求的值．4．关于x的方程．〔1〕求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；〔2〕假设这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．5．假设关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．2．2二次函数二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图〔1〕(2)(3)教师可采用计算机绘图软件辅助教学}问题1函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818y＝x2y＝2x2y＝x2y＝2x2图2.2-1xOy再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象〔如图2－1所示〕，从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．图2.2-2x图2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象〔如图2－2所示〕，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同〞的特点．类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移〞；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移〞．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有以下性质：〔1〕当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝． 〔2〕当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．xyxyOx＝－A图2.2-3xyOx＝－A图2.2-4例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值〔或最小值〕，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大〔或减小〕？并画出该函数的图象．xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC图2.2－5解：∵y＝xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC图2.2－5∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象〔如图2－5所示〕．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领：确定开口方向：由二次项系数a决定确定对称轴：对称轴方程为确定图象与x轴的交点情况，①假设△>0那么与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①假设△=0那么与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①假设△<0那么与x轴有无交点。确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为〔0，c〕由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图 〔1〕 (2) (3)例2某种产品的本钱是120元/件，试销阶段每件产品的售价x〔元〕与产品的日销售量y〔件〕之间关系如下表所示：x/元130150165y/件705035假设日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋〔B〕将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．设每天的利润为z〔元〕，那么z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴当x＝160时，z取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以，解得b＝－8，c＝14．解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像． 由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，那么是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．解：〔1〕当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；〔2〕当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；〔3〕当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；〔4〕当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24图2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取局部实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习1．选择题：〔1〕以下函数图象中，顶点不在坐标轴上的是〔〕〔A〕y＝2x2〔B〕y＝2x2－4x＋2〔C〕y＝2x2－1〔D〕y＝2x2－4x〔2〕函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2〔〕〔A〕向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的〔B〕向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的〔C〕向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的〔D〕向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题〔1〕二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，那么m＝，n＝．〔2〕二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．〔3〕函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．3．求以下抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大〔小〕值及y随x的变化情况，并画出其图象．〔1〕y＝x2－2x－3；〔2〕y＝1＋6x－x2．4．函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在以下取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大〔小〕值时所对应的自变量x的值：〔1〕x≤－2；〔2〕x≤2；〔3〕－2≤x≤1；〔4〕0≤x≤3．二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标〔纵坐标为零〕，于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4〔1〕当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么Δ＞0也成立．〔2〕当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点〔抛物线的顶点〕；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，那么Δ＝0也成立．〔3〕当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，那么Δ＜0也成立．于是，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，那么x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论： 假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，那么其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点〔3，－1〕，求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是〔1，2〕．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点〔3，－1〕，∴，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开，得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1．选择题:〔1〕函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是〔〕〔A〕0个〔B〕1个〔C〕2个〔D〕无法确定〔2〕函数y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2的顶点坐标是〔〕〔A〕(1，2)〔B〕(1，－2)〔C〕(－1，2)〔D〕(－1，－2)2．填空：〔1〕二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，那么该二次函数的解析式可设为y＝a(a≠0)．〔2〕二次函数y＝－x2+2eq\r(3)x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．3．根据以下条件，求二次函数的解析式．〔1〕图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；〔2〕当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；〔3〕函数图象与x轴交于两点(1－eq\r(2)，0)和(1＋eq\r(2)，0)，并与y轴交于(0，－2)．二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过以下平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： 〔1〕向右平移2个单位，向下平移1个单位； 〔2〕向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状〔即不改变二次项系数〕，所以只改变二次函数图象的顶点位置〔即只改变一次项和常数项〕，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为y＝2(x－1)2－1， 其顶点坐标为(1，－1)． 〔1〕把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x－3)2－2． 〔2〕把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x＋1)2＋2．2．对称变换问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)图