第04讲 三角形的外角（6种题型）（解析版）

第04讲三角形的外角（6种题型）【知识梳理】1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【考点剖析】题型一、三角形的外角例1.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B+∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B+∠C．题型二：三角形的外角和例2：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.解法三：如图，过A作AN平行于BC，则易得∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°.题型三、三角形的内角、外角综合例3.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BAC，∠3＝∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．题型四：应用三角形的外角求角的度数例4：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.例5.如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．【变式】（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.题型五：用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和例6.已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．【变式】（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．(1)求∠1度数；(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）设∠1的同旁内角为∠2，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．(1)∠1＝∠A+∠D＝90°；,(2)设∠1的同旁内角为∠2，如图，∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．题型六：三角形外角的性质和角平分线的综合应用例7.如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．解：(1)根据外角的性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ACD＝55°，∠2＝eq\f(1,2)∠ABC＝25°.∵∠E＋∠2＝∠1，∴∠E＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E＝eq\f(1,2)∠A；(3)∵BE、CE是两外角的平分线，∴∠2＝eq\f(1,2)∠CBD，∠4＝eq\f(1,2)∠BCF，而∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠BCF＝∠A＋∠ABC，∴∠2＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB)，∠4＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)．∵∠E＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB)＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)＝180°，即∠E＋eq\f(1,2)∠A＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB＋∠ABC)＝180°.∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴∠E＋eq\f(1,2)∠A＝90°.方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E＝eq\f(1,2)∠A；图②中，∠E＝90°－eq\f(1,2)∠A.【变式】（2022·河南郑州·八年级期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则__________．【答案】【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM-∠CBP=50°-20°=30°，故答案为：．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，是的外角，若，，则（

）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】D【分析】根据三角形外角的性质解答．【详解】是的外角，，，故选：D．【点睛】此题考查三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记定理是解题的关键．2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形的外角的性质进行解题．【详解】由三角形的外角大于与它不相邻的每一个内角，可得的大小关系为：．故选D．【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．3．（2023·浙江·八年级假期作业）已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对顶角相等，三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解.【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：B.【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形的外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，根据垂直的定义得出，进而根据互余关系即可求解．【详解】，，平分，，，于，，．故选：A．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023秋·八年级课时练习）如图，将一副三角板拼成如图所示的图形（，，，），交于点，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角板的特点及三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵将一副三角板拼成如图所示的图形，，，，，∴，，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．6．（2023秋·八年级单元测试）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，理由三角形的外角求出结果即可．【详解】解：∵，，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角形外角性质，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知直线，则(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由可以推出，又因为，所以，就可以求出．【详解】，，，．故选：C．【点睛】考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．8．（2023秋·八年级单元测试）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得，，，根据角的和差关系，得，再根据三角形的外角的性质，得，从而解决此题．【详解】解：如图：由题意得，，，，∴，∴，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的外角，熟练掌握三角形的外角的性质，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解决本题的关键．9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用，进行计算即可．【详解】解：，，纸片沿折叠，使点A落在图中的处，°，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，求一个角的邻补角，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的外角性质可得，结合，可得出∠，利用三角形的外角性质可得，进而可得出，再结合及即可解答．【详解】解：∵是的外角，∴，∵，∴．∵是的外角，∴，∴，又∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．二、填空题11．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，∠1的大小为______．

【答案】/105度【分析】直接利用三角形的外角的性质求解即可．【详解】解：由三角形的外角定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，掌握三角形外角的定义，熟练运用外角的性质是解题关键．12．（2021秋·广东河源·八年级校考期中）如图，若，，是延长线上的一点．则______．【答案】【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得．【详解】解：，，，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．13．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，、的角平分线交于点，若，，则____．

【答案】/度【分析】延长交于点，根据角平分线的定义，得，，根据三角形的外角和，得，，根据等量代换，；根据，，根据等量代换，得，联立，即可求出．【详解】延长交于点，∵、的角平分线交于点，∴，，∵，，∴，∵，，∴，由得，，解得：，故答案为：．

【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的定义，三角形的外角和．14．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）将一副三角尺如图摆放，其中，，，，则______．

【答案】/165度【分析】利用三角形的外角性质求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外角性质．掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．15．（2023秋·八年级课时练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则______．

【答案】【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数．【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，，，又，，，，同理可得：，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键．16．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在中，分别平分，交于点为外角的平分线，的延长线交于点．以下结论①，②，③，④，其中正确的是_________（填序号）．【答案】①②③【分析】先根据角平分线的定义可得，，再根据即可判断①正确；先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断③正确；先根据三角形的外角性质可得，再结合结论③即可判断②正确；假设④正确，从而可得，再根据结论②可得，由此即可判断④错误．【详解】解：平分，为外角的平分线，，，，，结论①正确；平分，，，结论③正确；又，，，结论②正确；假设，，解得，，由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误；综上，结论正确的是①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，内角和外角的平分线交于点，则________．【答案】【分析】利用角平分线定义可知，．再利用外角性质，可得，根据角等量关系代换得到．【详解】解：和分别是和的角平分线，，，又是的一外角，，，是的一外角，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线性质，及三角形的内角和定理，解题的关键是熟记掌握三角形的内角和与外角性质．18．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，平分，，分别交，，，的延长线于E，H，F，G，已知下列三个式子：①；②；③．其中正确的是________．（填序号）

【答案】【分析】由平分，，根据三角形的内角和定理得，而，即可求得；再根据三角形外角性质得，得到，由此得到正确答案．【详解】解：如图：

平分，，，，，，；又，；故正确，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用基本图形的性质是解决本题的关键．三、解答题19．（2023秋·八年级课时练习）如图，分别交的边，于点，，交的延长线于，，，，求的度数．【答案】【分析】在中可求得，再结合条件和外角的性质可求得大小．【详解】解：∵，，∴，又，∴，∴的度数为．【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．20．（2023秋·八年级课时练习）如图，，在上，，在上取一点使，求的度数．【答案】【分析】先根据三角形外角的性质得到，再根据等边对等角得到，进而推出，进一步推出即可得到答案．【详解】解：由三角形的外角性质得，，，，，，，，，即．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．21．（2023秋·八年级课时练习）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．【答案】见解析【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论．【详解】证明：如图，延长交于点，设，，∴，，同理可得，，．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．22．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，平分．若，．求：的度数．

【答案】【分析】由三角形的高的定义可得，进而可得，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形外角的性质可得．【详解】解：∵是边上的高，∴，在中，，∵平分，∴．∴．【点睛】本题考查三角形的角平分线、高，三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是掌握三角形角平分线和高的定义，牢记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．23．（2023·浙江·八年级假期作业）在中，，，，求的度数．

【答案】【分析】根据三角形的外角定理得出，再根据即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个