专题06 二次函数中面积问题的两种考法（解析版）（人教版）

专题06二次函数中面积问题的两种考法类型一、面积最值问题例．抛物线交x轴于点，交y轴于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标；(2)直接写出当时，x的取值范围．(3)如图，点P是线段上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时，的面积最大．【答案】(1)；；对称轴直线(2)或(3)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据函数图象即可得出结论；（3）过点作轴交于点，设，则，则，再由此求解即可．【详解】（1）将点，代入，，解得，；令，得解得：∴，对称轴直线（2）由（1）得：，∴当或时，（3）设直线的解析式为，，解得，，过点作轴交于点，

设，则，，，当时，的面积有最大值，此时，．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．【变式训练1】如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．

(1)求抛物线的对称轴及值；(2)抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；(3)点是抛物线上一动点，且在第三象限，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积．【答案】(1)(2)(3)，最大，最大值为【分析】（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解；（2）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；（3）连接，如图1，设点坐标为，根据，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，把代入得，；（2）连接，交对称轴于点，∵两点之间，线段最短，∴的最小值为的长，则点即为所求

对于，令，则，解得，，点坐标为，点坐标为，设直线的关系式为：，把，代入，得，解得，直线的关系式为，当时，，点坐标为；（3）连接，如图1，设点坐标为，

，当时，最大，最大值为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练2】如图，抛物线与x轴交与，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，；(3)存在，，的面积最大值是【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线的解析式，直线与对称轴的交点即是所求的点Q；（3）首先求得的坐标，然后设P的横坐标是x，利用a表示出的面积，利用二次函数的性质求解；【详解】（1）根据题意得：，解得，则抛物线的解析式是；（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称，∴直线与的交点即为Q点，此时周长最小，对于，令，则，故点，设的解析式是，则，解得，则的解析式是．时，，∴点Q的坐标是；（3）过点P作y轴的平行线交于点D，设P的横坐标是x，则P的坐标是，对称轴与的交点D是．则．则，∵，故的面积有最大值是．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，将代入上式得：，所以抛物线的表达式为；（2）作点O关于直线的对称点E，连接，∵，，，∴，∵O、E关于直线对称，∴四边形为正方形，∴，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，∵的周长为，，的最小值为10，∴的周长的最小值为；

（3）由已知点，，，设直线的表达式为，将，代入中，，解得，∴直线的表达式为，同理可得：直线的表达式为，∵，∴设直线表达式为，由（1）设，代入直线的表达式得：，∴直线的表达式为：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴当时，此时P点为.．

【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．类型二、求面积问题例．已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．

(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求的面积；(3)是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)点或【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，从而得到点的坐标，再代入抛物线解析式即可解答；（2）令抛物线解析式中，可求得点坐标，利用公式法求出顶点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为点，分别求出、梯形、的面积，利用=解答即可；（3）先利用待定系数法求得直线的解析式，再设直线与相交于点，点，则点，从而求得，最后分两种情况讨论①当时或②当时，分别计算解答即可．【详解】（1）解：，是方程的两个实数根，且，把点代入抛物线解析式得，解得，；（2）解：令如图，过点作轴的垂线，垂足为点，

=；（3）解：如图，

设直线的解析式为，代入点得，设直线与相交于点，点则点直线把分成面积之比为的两部分，分两种情况讨论：①当时，（舍去），②当时，综上所述，点或．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、配方法求二次函数顶点坐标、解析法求线段的长等知识，利用等高三角形面积比等于底边比，掌握相关知识是解题关键．【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为，连接．

(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)若，①求m的值；②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结．设的面积为S．若S为正偶数，试求点P的坐标．【答案】(1)(2)①；②或或．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）①根据题意得到，，，然后表示出，，，根据利用勾股定理列方程求解即可；②过点P作轴于H，交于点Q，先求出的解析式，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质可求解．【详解】（1）解：∵点，在抛物线图象上，，∴，解得：，∴抛物线解析式为：,∴抛物线的顶点坐标为；（2）①解：当时，即∴设∵∴∴∴，当时，∴∴∴，，∵∴，∴∴整理得，将代入得，可得，，∴将代入，得∴解得或0（舍去）∴；②∵∴，，抛物线解析式为，∴设直线的解析式为，代入B、C坐标得，解得：，∴直线的解析式为，过点P作轴于点H，交于点Q，如图，

设，则，∴，∴；∵，∴抛物线开口向下，∴∵S为正偶数∴或4，∴当时，即，解得∴或；当时，即，解得∴综上所述，点P的坐标为或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键．【变式训练2】如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点在直线下方运动，且满足时，求点的坐标；(3)设的面积为，当为某值时，满足条件的点有且只有三个，不妨设为，，，求的面积．【答案】(1)(2)的坐标为(3)【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）作关于轴的对称点，连接，根据，关于轴对称，则，结合已知条件得出'，得出，求得直线的解析式为，直线解析式为，联立抛物线解析式，进而即可求解．（3）过点作轴交直线于点，过作轴交于，求得直线解析式为，设，则，当在下方时，，此时，当在上方时，，得出，进而求得直线解析式为，得出，则，进而根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：把，代入得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）作关于轴的对称点，连接，如图：

在中，令得，，，关于轴对称，，，，'，，由，，设直线的解析式为，则，解得：直线的解析式为，设直线解析式为，把，代入得：，直线解析式为，联立得：或，的坐标为；（3）过点作轴交直线于点，过作轴交于，如图：

由，，，设直线的解析式为，则解得：直线解析式为设，则当在下方时，，，，当时，取最大值，此时；当在上方时，，解得或设直线的解析式为，，解得：，直线解析式为，在，令得，，，的面积为，【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，面积问题，扎实的计算是解题的关键．课后训练1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)已知抛物线顶点为，点在第三象限的抛物线上，①若直线与直线关于直线对称，求点的坐标；②如图2，若直线与抛物线交于点，，，与抛物线线的对称轴交于点，若，连接，，求的取值范围．【答案】(1)(2)①②【分析】（1）根据点可求出，根据点可求出，即可求解；（2）①先求出直线的解析式，根据题意即可得出直线的解析式，进而可求出点的坐标；②建立与的关系即可求解．【详解】（1）解：由，可得抛物线的对称轴为：直线又对称轴为：直线故，解得又抛物线与轴交于点所以抛物线的解析式为：（2）①解：令，则解得：故设直线的解析式为：故有：，解得：所以直线的解析式为：因为直线与直线关于直线对称所以直线的解析式为：联立直线与抛物线的解析式：解得：当故点②解：由题意得：，解得故因为直线与抛物线对称轴交于点结合（1）可得：因为点，点关于抛物线对称轴对称故的横坐标解得：【点睛】本题以二次函数作为背景，综合考查了二次函数的对称性、一次函数的解析式等相关知识点．最后一小问的数学建模思想是学生应该具备的能力．2．已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．①当点为抛物线顶点时，求的面积；②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．【答案】(1)0或2或(2)①6，②存在，【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，，，，当函数为一次函数时，，．当函数为二次函数时，，若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，，．当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点，即其中一点经过原点，，，．综上所述，或0．故答案为：0或2或．（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：抛物线的解析式为：．点为抛物线顶点时，，，，，由，得直线的解析式为，在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，，，，，．故答案为：6．②存在最大值，理由如下：如图，设直线交轴于．由①得：，，，，，，，，，，即，，，，，，，当时，有最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．3．如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为C点．

(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法即可求解；（2）分点D在直线下方、上方两种情况，分别求解即可；（3）如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线于点M，N，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．【详解】（1）解：∵直线经过点，∴，∴点，∵抛物线经过点和点以及原点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线，∴顶点C的坐标为，设直线的解析式为：，则将，代入得，，解得，∴直线的解析式为：．①当点D在直线的下方时，过点B作轴，交x轴于点F，延长，交于G，设