专题02第二章 有理数及其运算（中等类型10大类型）（解析版）

专题02第二章有理数及其运算【专题过关】类型一、有、无理数的分类【解惑】把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：，，，，，，，．整数集合：______；负分数集合：______；正实数集合：______；无理数集合：______【答案】，；，，；，；

，；【分析】实数包括有理数和无理数；整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数，据此进行分类即可．【详解】解：整数集合：，；负分数集合：，，；正实数集合：，；无理数集合：，；故答案为：，；，，；，；，．【点睛】本题考查实数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【融会贯通】1.（2022秋·山东泰安·六年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合里．，，，，，，，；(1)正数集合：；(2)负数集合：；(3)整数集合：；(4)分数集合：；【答案】(1)、、、(2)、、(3)、、(4)、、、【分析】（1）根据正数的概念和有理数的分类进行分析即可；（2）根据负数的概念和有理数的分类进行分析即可；（3）根据整数的概念和有理数的分类进行分析即可；（4）根据分数的概念和有理数的分类进行分析即可．【详解】（1）解：∵、、、，根据正数就是大于的实数，可得、、、都是正数；故答案为：、、、．（2）解：∵、、，根据负数就是小于的实数，可得、、都是负数；故答案为：、、．（3）解：根据整数包括正整数，，负整数，∵，∴是负整数；∵，∴是正整数；可得、、都是整数；故答案为：、、．（4）解：根据分数的概念可得：∵，∴是负分数；∵，∴是正分数；∵，是有限小数，且，，∴和也是分数，可得、、、都是分数；故答案为：、、、．【点睛】本题考查了正负数的概念，整数和分数概念，有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．2．（2022秋·宁夏吴忠·七年级校考期中）把下列各数填入它所属的集合内：，，，，，，，分数集合{

…}正有理数数集合{

…}正整数集合{

…}负整数集合{

…}【答案】、、；、；；、【分析】根据分式、正有理数、正整数、负整数的定义，逐个进行分类即可．【详解】解：分数集合{、、…}正有理数数集合{、…}正整数集合{…}负整数集合{、…}，故答案为：、、；、；；、．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类方法．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．，，1，，0，，，；整数集合{

}分数集合{

}正有理数集合{

}负有理数集合{

}【答案】见解析【分析】根据有理数分类直接分类即可得到答案．【详解】解：整数集合{，1，0}；分数集合{，，，}；正有理数集合{，1，，}；负有理数集合{，}；【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握分类中的各个定义．4．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）将下列各数填在相应的大括号里：，0，2021，，，，，整数：{

…}；分数：{

…}；负有理数：{

…}．【答案】0，2021，；，，，，；，，【分析】根据有理数的分类进行填写即可得．【详解】解：整数：{0，2021，，}；分数：{，，，，，}；负有理数：{，，，}．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类．5．（2021秋·福建福州·七年级校考阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里．，4，，，，，，，0，．(1)整数集合｛

…｝(2)分数集合｛

…｝(3)非负数集合｛

…｝(4)正有理数集合｛

…｝(5)负有理数集合｛

…｝【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析(5)见解析【分析】按照有理数的分类解答即可．【详解】（1）解：整数集合{，4，，，0，…}（2）分数集合{，，，，…}（3）非负数集合{4，，，，，0，，…}（4）正有理数集合{4，，，，，…}（5）负有理数集合{，，，…}【点睛】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．类型二、数轴两点之间的距离【解惑】一条数轴上有两点A与B，已知点A到原点O的距离为2，点B至点A的距离为5，则点B所表示的数可能是（）A．7或 B．或3 C．7或 D．7，，3或【答案】D【分析】首先根据点A和原点的距离为2，则点A对应的数可能是2，也可能是．再进一步根据A和B两点之间的距离为5求得点B对应的所有数．【详解】解：∵点A和原点O的距离为2，∴点A对应的数是．当点A对应的数是2时，则点B对应的数是或；当点A对应的数是时，则点B对应的数是或．∴点B所表示的数可能是3或或7或，故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法是解题的关键．【融会贯通】1．（2023·全国·七年级专题练习）已知、均为数轴上的点，到原点的距离为，点到点的距离为个单位长度，且在的左边，则点表示的数为．【答案】或【分析】根据题意得到点所表示的数是，根据两点间的距离，求得点所表示的数．【详解】∵点到原点的距离等于，∴点所表示的数是，∵点到点的距离是，且在的左边，∴点表示的数是：或，综上所述，点表示的数是或，故答案为：或．【点睛】此题考查数轴，解题的关键是数形结合思想，进行分类讨论．2．（2023春·河北保定·七年级统考期中）如图，数轴上从左到右依次有D，C，A，B四点，点A，B分别表示1和，点C到点D的距离与点B到点A的距离相等，设点C表示的数为x．（1）当D表示的数为0时，x的值是﹔（2）当D表示的数为时﹐①x的值是﹔②若m为的相反数，n为的绝对值，则的值为；【答案】4【分析】（1）根据数轴上两点间距离等于两坐标差的绝对值，直接列式求解即可得到答案；（2）①根据数轴上两点间距离等于两坐标差的绝对值，直接列式求解即可得到答案；②根据数轴上两点间距离等于两坐标差的绝对值，直接列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，，解得：，故答案为：；（2）解：①由题意可得，，解得：，故答案为：；②解：∵，m为的相反数，n为的绝对值，∴，，∴，故答案为4．【点睛】本题考查数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值，解题的关键是熟练掌握去绝对值及有理数的运算．3．（2023春·湖北黄冈·七年级校考开学考试）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和的两点之间的距离是______；表示和的两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于______．(2)如果表示数和的两点之间的距离是，那么______．(3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值；(4)当______时，的值最小，最小值是______．【答案】(1)；；；(2)和(3)6(4)；【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值；（2）由即可求解；（3）根据的范围，结合绝对值的化简规则即可求解；（4）表示数的点到数的点的距离之和。据此即可求解．【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：；表示和的两点之间的距离是：；表示和的两点之间的距离是：；数轴上表示数和数的两点之间的距离等于：故答案为：；；；；（2）解：由题意得：即故或1故答案为：或；（3）解：因为表示数的点位于与之间，∴∴，，∴；（4）解：表示数的点到表示数的点的距离之和故：当表示数的点与表示数的点重合时，距离之和最小即：当时，有最小值最小值为：故答案为：1；9．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离．熟记距离公式是解题关键．4.（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）阅读下面的材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示6与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______．(2)若，则______．(3)满足的有理数x有______个．(4)当______时，代数式的最小值是2．【答案】(1)15；(2)0或6(3)无数(4)当a为或时，最小值是2【分析】（1）根据两点间距离公式计算；（2）根据数轴上两点间距离公式的定义，结合数轴求解；（3）由数轴上两点间距离公式，可判断，这样的有理数x有无数个；（4）由数轴上两点间距离公式，由题意得表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点），若，则，若，则．【详解】（1）数轴上表示6与的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是．（2）表示x与3的距离为3，则x=0或6．（3）表示x与的距离与它与3的距离之和为5，则，这样的有理数x有无数个．（4）的值为“表示x的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和．当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值.∴表示的点与表示的点的距离为2．若，则，∴．若，则，∴．综上，当或时，原式的最小值是2．【点睛】本题考查数轴上两点间距离计算；理解数轴上两点间距离计算公式是解题的关键．5．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）数学课上李老师和同学们玩一个找原点的游戏．(1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．

①如果点A所表示的数是，那么点B所表示的数是______________；②请在图1中标出原点O的位置；(2)图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．请你帮她标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是____________；

(3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如），且．

①试求a的值；②若点D也在这条数轴上，且，设D点所表示的数为d，求d的值．【答案】(1)①5；②见解析(2)画图见解析，4(3)①；②1或7【分析】（1）①根据相反数的定义可得点表示的数，②根据、的位置可得原点的位置；（2）根据、所表示的数可得单位长度表示3，进而可得原点的位置和点表示的数；（3）①由数轴可得，再结合可得的值；②根据的值可得，根据可得或，即可求出答案．【详解】（1）解：①点所表示的数是，点、点所表示的数互为相反数，所以点所表示的数是5，故答案为：5；②在图1中表示原点的位置如图所示：

（2）原点的位置如图所示，

点所表示的数是4．故答案为：4；（3）①由题意得：，∴，又∵，∴；②设表示的数为，∵，，∴，∵，∴或，∴或．【点睛】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴的特点和两点间的距离公式是解题关键．类型三、根据数轴判断符号【解惑】如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：、两点在数轴上的位置可知：，，，，故A、B不成立；，，，，，∴，，故C不成立，D成立．故选：D．【点睛】本题考查的是数轴的特点，根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．【融会贯通】1．（2022秋·福建厦门·七年级统考期末）如图，点在数轴上表示的数分别是，下列说法错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴可知，，，再逐个进行判断即可．【详解】解：A、∵，∴，∴，故A正确，不符合题意；B、∵，∴，故B正确，不符合题意；C、∵，∴，故C正确，不符合题意；D、∵，∴，故D不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数；绝对值表示数轴上的点到原点的距离．2．（2023·广东梅州·校考一模）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴的特征得到有理数的大小关系，逐项判断即可得到答案．【详解】解：由有理数在数轴上的对应点的位置可知，且，则A、由可知错误，不符合题意；B、由、得到且，可知错误，不符合题意；C、由题意可知，可知错误，不符合题意；D、由得到，从而，即正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查数轴的特征及数大小的比较，熟练掌握数轴的特征是解决问题的关键．3．（2023·新疆乌鲁木齐·校考二模）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由有理数a、b在数轴上的位置可得，根据有理数的相关运算法则即可作出判断．【详解】解：∵，∴，，，故正确的选项是C；故选：C．【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的正负，熟悉有理数在数轴上的大小关系，有理数的相关运算法则是解题的关键．4．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论①，②，③，④，其中正确的有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】根据数轴的性质，可以得到两个点表示数的大小关系和符号，根据有理数计算法则可得出结论．【详解】解：由数轴可知：，，∴①，正确；②，正确；③，正确；④，正确．故选：A．【点睛】该题考查了数轴及有理数计算，属于常考题，解题的关键在于从数轴上得到a、b的取值范围．5．（2022秋·湖南岳阳·七年级校考期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式；①，；②；③；④，⑤．其中正确的有（填序号）．

【答案】①④⑤【分析】根据数轴可得，，再根据有理数的运算法则进行判断即可．【详解】解：①根据数轴可得：，；故①正确；②∵，∴；故②不正确；③∵，，∴；故③不正确；④∵，∴，故④正确；⑤∵，，∴，∴，故⑤正确；综上：正确的有①④⑤；故答案为：①④⑤【点睛】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数左边<右边；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；以及有理数的运算法则．类型四、化简多重符号【解惑】下列各式中，不正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，，，再根据有理数的大小比较法则比较即可．【详解】解：A．，故本选项不符合题意；B．，故本选项不符合题意；C．，故本选项不符合题意；D．，，，，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，相反数和绝对值等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．【融会贯通】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）化简：，，．【答案】7【分析】根据相反数的意义化简即可解答．【详解】解：，，．故答案为：7，，．【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数．2．（2022秋·安徽宿州·七年级统考期中）．【答案】3【分析】根据相反数、绝对值的定义进行计算即可．【详解】解：．故答案为：3．【点睛】本题考查相反数、绝对值，理解相反数、绝对值的定义是正确解答的前提．3．（2019秋·广东潮州·七年级统考期中）化简：，．【答案】【分析】用绝对值的性质进行计算，化简多重符号去括号即可．【详解】解：，，故答案为：，．【点睛】本题考查了绝对值的意义，多重符号的化简，正确理相关概念是解决本题的关键．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）化简下列各数：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)3.5(3)(4)【分析】根据符号化简法则：多得符号化简，看“-”号个数，灵偶数个时，结果为“+”，符号个数为奇数个数时，结果符号为“-”，求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查多重符号化简，熟练掌握多得符号化简法则是解题的关键．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）化简下列各数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)2(5)2(6)【分析】（1）依据相反数的定义进行化简即可；（2）依据相反数的定义进行化简即可；（3）依据相反数的定义进行化简即可；（4）依据相反数的定义进行化简即可；（5）依据相反数的定义进行化简即可；（6）依据相反数的定义进行化简即可．【详解】（1）解：；（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．类型五、绝对值与平方的非负性【解惑】若与互为相反数，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用相反数的性质列出关系式，再根据非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，代入即可求出答案．【详解】解：与互为相反数，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了相反数的性质，非负数的运用，熟练掌握相反数的性质，非负数的运用，是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果，那么a，b的值为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．【详解】解：∵，∴，解得，，故选：C．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为2，则的周长为．【答案】7【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求解．【详解】解：∵，∴∴的周长为：故答案为：7【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性．熟记相关结论即可．3．（2022秋·四川成都·七年级校考期中）若满足，则的值为．【答案】6【分析】根据，，可求出的值，从而即可求出的值，得到答案．【详解】解：，，，，，解得：，，，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用，解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数必也为零．4．（2023秋·七年级课前预习）若与互为相反数，则的值为【答案】3【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质列式求出x、y的值，代入代数式计算即可．【详解】解：由题意，得，所以，．所以，．所以，．所以．故答案为：3．【点睛】本题考查的是绝对值非负的性质，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．5．（2023·浙江·七年级假期作业）若，则．【答案】4【分析】根据非负数的性质列出方程求出，的值，代入代数式计算即可．【详解】根据题意得：解得：则故答案为：4．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．类型六、化简绝对值【解惑】如图所示，已知数a，b，c在数轴上对应点的位置∶化简得．

【答案】【分析】根据数轴判断a，b，c大小，运用绝对值的性质解答即可；【详解】根据图上的数轴可知：，，故答案为：【点睛】该题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的性质【融会贯通】1．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于．

【答案】【分析】根据数轴得到，即可得到，，再去绝对值即可得到答案；【详解】解：由图像可得，，∴，，∴，故答案为：；【点睛】本题考查数轴及去绝对值，解题的关键是根据数轴判断出式子与0的关系．2．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）有理数x在数轴上的位置如图听示，化简：．

【答案】/【分析】由数轴上表示x的点的位置，得到，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数，去括号合并即可得到结果．【详解】解：根据题意得，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：绝对值的代数意义，数轴，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．3．（2020秋·广东广州·七年级校考期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则．

【答案】【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置确定a与b之间，b与c之间的大小关系，再去绝对值符号即可．【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置可以确定，．∴原式．故答案为：．【点睛】本题考查数轴，绝对值的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．4．（2022秋·浙江丽水·七年级校考期中）若用点A，B，C分别表示有理数a，b，c，它们在数轴上的位置如图所示．

(1)请在横线上填上，或：_____0，______0；(2)化简：．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据点在数轴上的位置得出，，即可得出答案；（2）根据点在数轴上的位置得出，，从而得出，，，再化简绝对值即可．【详解】（1）解：根据点A，B，C在数轴上的位置可知，，，∴；．故答案为：；．（2）解：∵，，∴，，，∴．【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，根据点在数轴上的位置化简绝对值，解题的关键是根据点在数轴上的位置得出，．5．（2022秋·内蒙古赤峰·七年级统考期中）在如图所示的数轴上，

(1)表示出符合下列条件的三个点A，B，C，其中点A代表负有理数a；B代表负有理数b，C代表正有理数c，且；(2)在（1）的条件下化简：．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）点A代表负有理数a；B代表负有理数b，C代表正有理数c，且，在数轴上标出各个点即可；（2）根据绝对值的意义，结合数轴，化简绝对值即可．【详解】（1）解：∵点A代表负有理数a；B代表负有理数b，C代表正有理数c，且，∴符合下列条件的三个点A，B，C，如图所示：

（2）解：∵，，，∴．【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特点．类型七、有理数加减法中的简便运算【解惑】计算值为．【答案】【分析】通过观察发现，从第2项开始每四个数的和均为0，分别分组计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查规律，有理数的加减混合运算，掌握规律是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法运算：．【答案】8【分析】可先把相加得到整数的数相加，进而求解．【详解】解：，，，．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算的简便运算，合理地运用有理数的加法运算律使计算简化是解题的关键．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下面的解题过程，并解决问题计算：解：原式……第一步…………第二步…………第三步(1)计算过程中，第一步把原式化成_______的形式，体现了数学中的_______思想，为了计算简便，第二步运用了___________(2)根据以上的解题技巧计算下列式子：【答案】(1)省略加号和括号；转化；加法交换律和结合律(2)【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得出答案；（2）仿照题意运用有理数加减法交换律及结合律，使用简便方法计算即可．【详解】（1）解：计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第二步运用了加法交换律和结合律；（2）．【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握混合运算的步骤及运算法则是解题关键．3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下面文字：对于，可以按如下方法计算：原式．上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解．（2）根据示例，利用有理数中的加减简便运算即可求解．【详解】（1）解：原式．（2）原式．【点睛】本题考查了有理数中的加减简便运算，根据示例结合有理数中的加减简便运算法则进行计算是解题的关键．4．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读材料：对于，可以进行如下计算：原式．上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：．【答案】【分析】先将每一个带分数拆为整数和真分数两部分，再分别相加，最后求出结果，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，理解阅读材料中拆数法是解题的关键．5．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，例如：；当时，例如：，根据以上阅读完成：(1)______．(2)计算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据绝对值的性质：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数即可解答；（2）根据绝对值的性质可知即可解答．【详解】（1）解：∵，∴，∴，故答案为；（2）解：．【点睛】本题考查了绝对值的性质：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，掌握绝对值的性质是解题的关键．类型八、有理数乘法运算律【解惑】用简便方法计算：．【答案】【分析】根据乘法分配律，可得答案．【详解】解：原式故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的乘法，把式子转化成乘法分配律的形式是解题关键．【融会贯通】1．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）解答下列问题：请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把原式变形为后利用乘法分配律进行运算即可；（2）把原式变形为，再逆用乘法分配律进行运算即可．【详解】（1）解：（2）【点睛】此题考查了有理数乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律的内容是解题的关键．2.（2023秋·安徽淮北·七年级淮北市第二中学校考开学考试）【答案】52【分析】先把算式重新组合，再利用分配律进行简便计算即可．【详解】解：原式【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握运算法则和运算律是解题关键．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）用适当的方法进行简便的计算：(1)(2)【答案】(1)(2)54【分析】（1）先把原式写成省略加号的和的形式，再先计算括号内的加减运算，最后计算减法运算即可；（2）把原式化为，再逆用分配律进行简便运算即可．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握加减混合运算的运算顺序与灵活运用加法的运算律进行简便运算是解本题的关键．4．（2021秋·广东江门·七年级统考阶段练习）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：“计算：，看谁算的又快又对．”有两位同学的解法如下：小文：原式；小丽：原式．(1)对于以上两种解法，__________的解法较好（填“小文”或“小丽”）；(2)受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；(3)用你认为最合适的方法计算：．【答案】(1)小丽(2)有，见解析(3)【分析】（1）小丽用的乘法分配律，要好于小文的解法；（2）把写成的形式，再利用乘法分配律求解；（3）根据（2）的解法利用乘法分配律解答即可．【详解】（1）小丽用的乘法分配律，要好于小文的解法；故答案为：小丽；（2）还有更好的解法：．（3）．【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握乘法分配律是解答的关键．5．（2020秋·广东佛山·七年级校考期中）探究规律，完成相关题目沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；：；智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了，”聪明的你也明白了吗？(1)归纳※（加乘）运算的运算法则：两数进行※（加乘）运算时，___________得正，___________得负，再将它们的___________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的___________．(2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）(3)我们知道乘法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请分别作出判断并举例验证．（若成立则举一例即可，若不成立则举一个不成立的例子即可）·【答案】(1)同号，异号，绝对值相加，绝对值(2)(3)交换律适合，结合律不适合，举例见解析【分析】（1）根据已知的式子进行归纳即可；（2）根据※（加乘）运算的运算法则解答即可；（3）根据交换律和结合律的特点和※（加乘）运算的运算法则解答即可．【详解】（1）归纳※（加乘）运算的运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，再将它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的绝对值；故答案为：同号，异号，绝对值相加，绝对值；（2）；（3）交换律适合有理数的※（加乘）运算，如；事实上，当同号时，，所以，当异号时，，所以，当0和数a进行※（加乘）运算时，，所以结合律不适合有理数的※（加乘）运算，如，所以．【点睛】本题考查了有理数的运算，正确理解※（加乘）运算的运算法则是解题的关键．类型九、有理数乘方规律【解惑】一根1m长的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据乘方的意义和题意可知：第1次截去后剩下的木棒长，第2次截去后剩下的木棒长，第3次截去后剩下的木棒长，以此类推第次截去后剩下的木棒长米，即可求解．【详解】解：第1次截去后剩下的木棒长，第2次截去后剩下的木棒长，第3次截去后剩下的木棒长，……以此类推第次截去后剩下的木棒长米，∴第六次后剩余的小木棒的长度是，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念并求出截去后剩下部分的份数是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·山东泰安·六年级统考期末）一根绳子对折四次后的长度是对折前绳长的．【答案】【分析】根据条件列式求解．【详解】解：，故答案为．【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．2．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）科学家发现某种细菌的分裂能力极强，这种细菌每分钟可由1个分裂成2个，（1）将一个细菌放在培养瓶中，4分钟后细菌的个数是；（2）将一个细菌放在培养瓶中经过分钟就能分裂满一瓶．如果将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，那么经过分钟就能分裂满一瓶．【答案】16【分析】（1）4分钟就是分裂4次，据此计算即可；（2）通过列举得到将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟，从而得到答案．【详解】解：（1）∵每分钟可由1个分裂成2个，∴4分钟后细菌的个数是；（2）将1个细菌放在培养瓶中分裂1次，变成2个；分裂2次，变成4个；分裂3次，变成8个；将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟，即分钟能分裂满一瓶，故答案为：16，．【点睛】本题考查了有理数的乘方，得到将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟是解题的关键．3．（2022秋·宁夏吴忠·七年级校考期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：

(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞；(2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞．【答案】(1)16(2)【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；（2）经过n小时即个30分钟，根据题意，得到规律，即可得到答案．【详解】（1）经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞，∴经过2小时后，可分裂成16个细胞；故答案为：16；（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞；第2个30分钟分裂成4个，即个；…依此类推，第n个30分钟分裂为个细胞；经过n小时即个30分钟分裂为个细胞；故答案为：．【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．4．（2022秋·福建宁德·七年级校考阶段练习）本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．运算法则如下：(1)填空：______，______；(2)如果，且，求出x的值；(3)如果，请直接写出x的值______．【答案】(1)，；(2)；(3)，，．【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算可得；（2