2021届浙江省高三4月份高考数学模拟试题（解析版）

2021届浙江省高三4月份高考数学模拟试题

一、单选题

1.己知集合4={#/<1},8={川1082*<0},则AUB=()

A.(-oo,l)B.(0,1)C.(-1,0)D.(Tl)

【答案】D

【分析】分别解一元二次不等式和对数不等式可得集合A,8,再根据并集的定义运算

即可.

【详解】集合A={集=S={x|log2x<0}=(0,l),

则-8=(-1』)，

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合的并集的求法，考查一元二次不等式和对数不等式的解法，

属于基础题.

〜3-cmdl+sin2a+cos2a/、

2.已知tana=2,则——-----------=()

sin~2-2cos~a

5

B.-C.4D.5

2

【答案】D

【分析】巧用‘T',化弦为切，由已知可得解.

1+sin2cr+cos2a_sin2a+2sinacosa+2cos2a

【详解】

sin2a-2cos2asin2cr-2cos2a

tan%+2tana+2_

—------------------------=5

tan2a-2

故选:D

【点睛】本题关键在于化弦为切，属于基础题.

3.圆Y+y2-mx+y+m=0在X轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实

数机的值是()

A.-6-2>/10B.-6+2>/10C.-3-A/IOD.-3+V10

【答案】A

【分析】分别令)=0和x=0求得圆在坐标轴上截得的弦长，根据题意求出参数加.

【详解】令x=o,得/+》+祖=0,则几2=二心'!士,在y轴弦长为

|凹一必|二4_4〃2,

2

令y=。，Wx-znr+w=O,xi2=Z!Lz_——包L,在x轴上弦长为‘一司=JW-4加,

由题意1加2-4加=2。］-4,"，/M2-4//Z=4（1-4m）,/H2+12/n-4=0.注意到

｛2，八，即机＜0，因此解得，”=-6-2厢.

故选：A.

4.已知直线/、加与平面。、夕，lea,mu0,则下列命题中正确的是（）

A.若〃/M,则必有a〃£B.若/_Lm,则必有a_L£

C.若则必有a_L£D.若a”,则必有

【答案】C

【分析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系，结合线线、线面平行垂直的判定和

性质，对四个选项逐一判断可得答案.

【详解】解：A.如图所示，设ac£=c,l//c,m//c满足条件〃/加，但是a与夕不平行,

故A不正确；

B.假设a〃汽，〃u£,n//l,n±m,则满足条件但是a与夕不垂直，故B不正

确；

C.若/ua,1-L/3,根据面面垂直的判定定理可得a，故C正确：

D.设ac/?=c,若〃/c,mile,虽然但是可有“〃a,故D不正确，

综上可知：只有C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查空间点、直线、平面之间的位置关系，以及线线、线面平行垂直的判

定和性质，考查对命题的判断和推理证明思想，属于基础题.

5.在等比数列｛q｝中，若42。5=-2，%+为+4+“5=4,则，+一+—+，=（）

A.1B.--C.-3D.!

43

【答案】C

3ii1i%+仆q4

【分析】把=一7=%。4代入—+—+—+—=-----+------中，用上

aa，aa

442a3。45253,4

9

生+%+1即可

【详解】解：｛〃〃｝是等比数列

3

a2a5=--=a3aA

9

生+/+&+。5=1

9

1111%+%_4_a

%%%%a2a5%%_2

4

故选：C

【点睛】利用等比数列的性质求值，基础题.

6.设a,beR且ab*O,贝！|“；<1成立”是，*>1成立，，的()

ba

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

ci/、[—/?>0ftz—Z?<0

【详解】畔<1成立"=a-8b<0o\八，或八八，

b76<0/?>0

b、/\a-b>0\a-b<0、

“一>1成W=a(〃-6)<0<=><八,或《八oQ>a>b,或0va<6.

a[a<0[a>0

•••由“2>1成立”可得<1成立"，反之不成立，

ab

例如：取。=2,h=-l.

成立"是'之>1成立”的必要非充分条件.

ba

故选:B.

7.2020年11月，兰州地铁2号线二期开通试运营.甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐

地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去,

则不同游览方案的种数为()

A.60B.65C.70D.75

【答案】B

【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再

计算西站十字没人去的情况数目，分析可得西站十字一定要有人去的游览方案数目，即

可得答案.

【详解】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、

西站十字.每人只能去一个地方，

则每人有3种选择，则4人一共有3x3x3x3=81种情况，

若西站十字没人去，即四位同学选择了兰州老街、西固公园.

每人有2种选择方法，则4人一共有2x2x2x2=16种情况，

故西站十字一定要有人去有81-16=65种情况，

即西站十字一定有人去的游览方案有65种；

故选：B.

8.已知圆O:/+y2=4,从圆上任意一点M向x轴作垂线段MV,N为垂足，则线段

的中点P的轨迹方程为（）

A.—+y2=1

4'

【答案】A

【分析】利用相关点法即可求解.

【详解】设线段MN的中点P（x,y）,例（x。,%）,

x=x（）x0=x

所以]._%+0，解得

.y一2

又点M在圆O：f+y2=4上，

贝1]/+（2丫）2=4,即3+y2=i.

故选：A

9.如图，在圆锥SO中，ABf为底面圆的两条直径，ABC\CD=O9K/4B1CD,

SO=OB=3,SE、SB,异面直线SC与OE所成角的正切值为（）

4

s

V22R6「13n而

AA.-----B.——C.-D.-----

23163

【答案】D

【分析】以0208,05为x,y,z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成

的角的余弦值，再得正弦值.

【详解】由题意以ORO&OS为x，％z轴建立空间直角坐标系，如图，

A(0,-3,0),8(0,3,0),C(-3,0,0),S(0,0,3),

又SE=＞SB,

4

————1—•139

OE=OS+SE=OS+-SB=(0,0,3)+—(0,3,-3)=(0,一,一).

4444

SC=(-3,0,-3),

27

_______OESC3石

则cos<QE,SC>=4

3Mx3a10

4

设异面直线SC与OE所成角为凡则cose=kos＜函豆＞卜笔，。为锐角,

庖

J55sin。inx/FT

sin0=—,所以tana=--=-^=—.

10cos®3。53

10

故选：D.

s

E

皿已知函数十）='一下n言,若

2018e]2019eonio

+/kS+A),其中〃>0,则

2020)2020

打号的最小值为

A.-B.-C.-^2D.——

442

【答案】A

【分析】通过函数f（x）解析式可推得/（x）+/（e-x）=2,再利用倒序相加法求得

/矗卜《嘉卜（普卜/（翳）,得到〜的值，然后对〃分类讨论

利用基本不等式求最值即可得出答案.

【详解】解：因为小）“f言,

e.ex..e.e(e-x)

所以/(x)+/(e-x)=x---kin---+(e-x)----FIn--------

2e-x2e-(e-x)

.ex.e(e-x)..exe(e-x)..c

=ln----+ln------=ln(------------)=Ine2=2,

e-xxe-xx

令$=力3]+郊区)+…巡〕

(2020)1,2020)I2020)(2020)

则

2S=（，岛卜微肝（嬴+，［翳］卜…+（/端卜=2x2019

所以S=2019

onia

所以亍（。+3=2019,所以。+。=2,其中匕>0,则。=2—4

1J〃l=12-121/1J)(a+b)

当〃>0时

21〃|h2ah2abh)2

当且仅当导务即W时等号成立;

当"0时_L1£1_L-_L^_L^

2\a\+b=-2a+b=-2a+b=-2a+b+1

当且仅当《=字，即4=-2,6=4时等号成立;

-2ab

因为1＜：，所以一1+苧的最小值为

442|a|b4

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等"“一正''就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最

大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号

则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

二、填空题

的值.再根据诱导公

L而

O

【点睛】本小题主要考查三角函数二倍角公式，考查三角函数诱导公式，考查三角恒等

变换，属于基础题.

12.已知实数X，）‘满足/+丁-孙=3,则S=Wy2_4"的最大值为.

【答案】5

【分析】利用基本不等式求得初'的取值范围，注意*2+丫222|9|,分类孙*0和寸<0

讨论可得，然后由二次函数知识得S的最大值.

【详解】x2+y2-Ay=3>2|xy|-Ay,

当个20时，2个一个二.43,当孙<0时，一2与y-孙43,xy>-1,

所以x=y=土当时，xy=3,x=-y=±l时，xy=-l,

22

S=xy—4xy=（xy-2）'—4,所以不^=—1时，S1rax=5.

故答案为：5.

【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值问题，解题关键是用基本不等式确定犯

的范围时，^+/>2|^|,需要分类讨论才能得出冲的范围，否则易出错：

x2+/-xy>2xy-xy=xy,得孙43,当然这样做无法求得最大值.

13.△QA8是边长为6的正三角形，点C满足无=〃［函+〃丽，且〃。0,〃>0,

m+n=2,贝U国的取值范围是.

【答案】［6"12）

【分析】根据题意建立坐标系，写出AB,。点坐标，表示出

QC=^3/2-3m,-3>j3m-3A/3«j,再求向量区斗=36m2+36/+36mn,再根据已知m>0,

n>Q,m+n=2^n=2-m,me（0,2）,代入得1℃j=36（机一if+108,再根据二次函

数的性质求解即可.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，

.・・A(-3,0),3(3,0),2(0,3>/3),・・・<2A=(-3,-3>/3),Q3=(3,-3指)

QC=mQA+nQB=卜3%-36"，+(3〃,-36")=(3〃-3m,-3gm-3向，

/.=9(〃一加丫+27("?+〃丫=36m2+36/+36/w?,

*//n>0,〃>0,m+n=2

n=2-m,me(0,2),

Aled-=36[m2+(2-m)12*+m(2-w)]=36(，"-I)2+108,

由二次函数的性质知e[108,144),/.|eC|G

故答案为：[6石,12).

【点睛】关键点点睛：本题考查向量坐标运算，模的求解，解题的关键在于根据已知用

，"，〃表示向量展G的模，考查学生的数学运算能力，属于一般题.

三、双空题

14.已知复数二满足d-i)z=l+2i,贝k的虚部为,3=.

【答案】叵

22

13

【分析】利用复数的除法化简得到z=-：+；i,结合虚部概念以及复数的模长公式即得

22

解.

…奴、人工1+2((l+2i)(l+i)-l+3z13.

【详解】由于2=口=中7针了=-5+5’

故Z的虚部为;，|Z|=J(-g)2+g)2=

故答案为：叵

22

【点睛】本题考查了复数的基本概念以及复数的四则运算，考查了学生概念理解，数学

运算能力，属于基础题.

161

15.若(2—同"=%+q(l+x)+〃2(l+x)2~l-----h^16(1+x)+aI7(1+x)",贝！J

(I)〃o+q+〃2+…+〃I6=；

(2)4+2%+3%+…+16。[6=

【答案】2I7+117-(l-2'6)

【分析】⑴化简二项式为(2-"7=[3-(1+刈”，利用通项，求得的=7,再令l+x=l,

17

求得%+q+o2T---1-Oj6+«|7=2,即可求解；

(2)令g(x)=4+。[(l+x)+/(1+x)-H---1-«16(1+x)*'+囚7(1+x)''=(2-x)”,求得

，6,6

^(%)=al+2a2(l+x)+...+17al7(l+x)=-17-(2-x))根据g'(0)和(1)中勺=-1,

即可求解.

【详解】⑴由题意,可化为(2-x)”=[3-(l+x)y,

1717

由心=+%)]=-d+x),可得an=-1,

17

令l+x=l,即X=0时，可得ao+4+“2H--Ftz|6+6!!7=2,

1717

所以“0+6+a2-\---1-ay6=2—al7=2+1.

(2)令g(x)=/+q(1+*)+“2(1+x)----卜%(l+x)'6+%(1+x)"=(2-x)17,

l>616

则g'(x)=4+2%(1+X)H---i-16«lft(l+x)+17«17(1+X)'=-17-(2-x),

则g'(0)=4+2/+…+16%6+1747=-17-216,

由(1)可得17《7=-17,

所以4+2g+3%+…+1666=T7-2i6+17=17-(l-2'6).

【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准

确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的

能力，属于中档试题.

16.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为cnf,表面积为

—cm2.

T

侧视图

俯视图

【答案】719+20

【分析】根据三视图作出几何体的直观图即可求解.

【详解】由几何体的三视图，可得直观图，如下:

该几何体是放到的五棱柱，

所以V=（2x2-；xlxl）x2=gx2=7,

S=（2+2+l+&+l）x2+（2x2-；xlx1）x2=12+20+7=19+26

故答案为：7；19+2&

17.某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问

题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲

答对的概率分别为:，；，〃.若教师甲恰好答对3个问题的概率是：，则。=________,

424

在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为

223

【答案】-五

1311

【分析】(D根据恰好答对3个问题的概率是了,可以列式子即可求出?；

(2)先将答对不同题目个数的概率计算出来，再根据数学期望的计算方法即可计算出来.

【详解】⑴・••教师甲恰好答对3个问题的概率是；,

1

2

(2)教师甲答对题目的个数X可取值为0,1,2,3,

\尸(X=0)=4仓!,

I>42324

2(*=1)=3仓1-+-1z'A-+-^i

v,4234234234’

P(X=2)=>!■仓I2+3仓12+』仓|1=11

v,42342342324

尸(X=3)W，

1111123

••・X的数学期望为0?^1?-2?—3?--

24424412

故答案为：⑴12(2)展23

【点睛】本题主要考查随机事件的概率的求法以及数学期望的求法，是一道基础题.

四、解答题

18.已知△A4C的三个内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,asinB+bcosA=c.

(1)求取

(2)设〃=&c,b=2,求c.

TT

【答案】(1)-；(2)2.

4

【分析】(1)由题设，根据正弦定理得sinAsin8+sin8cosA=sinC,结合三角形内角的性

质得tan3=1,即可求5；

(2)由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c.

【详解】(1)由正弦定理得：sinAsinB+sinBcosA=sinC,而

sinC=sin-(A+B)]=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,

sinAsinB=sinAcosB,又sinAW0,cosB^O,

tanB=1,又0<5〈"，即3=工.

4

(2)由余弦定理/=。2+。2-2〃CCOS3,即4=&C，

：.4=C2+2C2-2^2C2X^,解得C=2.

2

19.如图，在直三棱柱ABC-DEF中，正方形AC尸。边长为3,BC=4,AC1BC,M

是线段BC上一点，设MC=/18C.

（1）若2=；,证明：8。〃平面AA/L

（2）若二面角M-AF-E的余弦值为包，求义的值.

3

3

【答案】（1）证明见解析；（2）2=4，

【分析】（1）连接C。交AF于点M连接MN,证明3£>〃MN即可；

（2）以C为原点，CA,CB,C尸分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系,

运用空间向量法求解.

【详解】（1）

连接CO交A尸于点M连接A/N,

则M,N分别为BC和CD的中点，，脑V//8D；

；8。二平面AMF,MV=平面AWE；

；・平面AW；

（2）以C为原点，CA,CB,CF分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系,

A（3,0,0）,£（0,4,3）,F（0,0,3）,设M（0,f,0）,其中法［0,4］；

则衣=(-3,0,3),乔=(0,-4,0),AM=(-3,f,0),

平面AEF的法向量＞=(1,0,1),平面AMF的法向量正=(/,3,/)；

2/_>/6

夜J2r2+93

【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法

向量，利用向量的夹角公式求解.

20.已知正整数数列｛/｝满足：%=a,a2=b,*=『竽g).

an+\十1

(1)已知6=2,4=1013,求。和。的值；

v12026-〃

(2)若4=1,求证&,2

~2^b+\

(3)求a+h的取值范围.

【答案】(1)。=2,匕=1013；(2)证明见解析；(3)a+fee{1015,2027).

【分析】(1)根据递推式赋值逆推，分别求出4，/，%，4,即可求出“涉的值;

(2)由已知得4,+2。“+1+。“+2=""+2026,进一■步得("”+3-a”+J(a”+2+1)=4+2-，即

a，，+2

凡+3-«„+1=71''结合4+2+122,利用放缩法即可得到;

"〃+2+1

(3)由已知得。徵一。”=2026-4+2%+1，讨论与4+2的大小关系即可得出.

a.+2026a.+20261八]。

【详解】(1)令〃=4得，[=)+]=2+[=°於，解得q=1013；

%+2026a3+2026

=2,解得%=2；

令〃=3得，“5=4+1-1013+1

%+2026a,+2026小，、

令”=2得，='a+1='2+1=1013,解得％=1013；

Aa,+2026a,+2026_,

令〃=i得,％=^rr=i^=2,解得4=2；

所以。=2力=1013.

(2)«„+2="J2：：(„>1)等价于用+a,.=%+2026,

an+\+1

an+2an+l+4,+2=a“+2026

，两式相减可得(4,+34用)(q+2+1)=4,+2a„,即

《+34+2+4+3=。向+2026

%+3一凡+1

4+2+1

因为｛〃,,｝是正整数数列，所以4+2+122,于是

\a„2-a,,\-g|a“+i-14…4-61=矛a+202612026-Z>

+b+1—-IF7!b+\

a+2026.1、

(3)4+2=^n77-521)等价于=2026-a“H向

”"+i+1

①若4,+2-a“=0,奇数项都相等，偶数项都相等且4,*£,=2026

由｛4｝是正整数数列，所以=1,2,1013,2026,经验证,

〃=1卜=2026]〃=2=1013

b=2026，\b=\'U=1013C均符合题意,

=2

此时a+匕=2027或a+Z>=1015

②当a->4时，奇数项递增,偶数项递增,而a——4=2026-7+2/，随着”的增

大，存在〃=/时，2026-a„+A+l<0,这样与条件矛盾，故4g>可不成立；

③当。“+2<4,时，奇数项递减，偶数项递减，而为+2-4=2026-az”,用，随着”的增

大，存在〃=%时，2026-4“+吗”>0,这样与条件矛盾，故。“*2<见不成立;

综上，a+b=2027或a+b=1015,即a+%e｛1015,2027｝.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用递推式求数列中的项，以及放缩法的应用，放

缩法在不等式的证明中常考查，放缩成合适的标准是解题的关键，意在考查学生的分类

讨论思想与逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题.

21.已知抛物线C：丫？：©的焦点为尸，。为坐标原点.过点尸的直线/与抛物线C交

于A,B两点.

(1)若直线/与圆。：f+y2=1相切，求直线/的方程；

(2)若直线/与V轴的交点为。.且方=/而，DB=pBF,试探究：力+〃是否为定

值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

【答案】（1）y=±¥（x-l）;（2）A+//=-l,理由见解析；

【分析】（1）由直线/过焦点F,且与半径为「=；,圆心0（0。）的圆相切知圆心。到直

线/的距离即可求直线斜率k,进而得到直线方程；（2）由直线/与抛物线C、）轴

的交点情况知斜率存在且左片0,令B（w，%）联立方程得占々=1,又

DA=AAF>DB=pBF,应用向量共线的坐标表示有占占=石~4^一^即可确定几+〃

是否为定值.

【详解】（1）由题意知：尸（1，。）且圆。的半径为r=1，圆心。（0,0）,即有尸在圆。外，

设直线/为y=/-1）,则圆心。到直线I的距离d=,

解之得：k=±显,即直线/的方程为尸土也（X-1）.

44

（2）由过尸（L0）的直线/与抛物线C交于A,B两点,与V轴的交点为。，即斜率存在

且ZwO,设直线）为>有。（0,-%），

联立直线方程与椭圆方程，有）二，、，可得公/-2a2+2口+小=0,

设A（x”y）,B（x2,y2）,即有占/=1，

DA=（xl,y]+k）,2AF=（2-/ixl,-/lyl）,DB-（x-,,y2+k）,/.tBF=（//-jux2,~/jy2）.

由方=彳/,