数学七年级下学期3.18+整式的除法

专题3.18整式的除法（知识讲解）【学习目标】1.会用同底数幂的除法性质进行计算．2.会进行单项式除以单项式的计算．3.会进行多项式除以单项式的计算．【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.特别说明：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即特别说明：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、单项式除以单项式 1．化简-10a5b3c÷5a4b.【答案】-2ab2c．【分析】根据单项式除以单项式法则，对-10a5b3c÷5a4b进行计算即可的出答案.解：原式=[（-10）÷5]a5-4b3-1c=-2ab2c．【点拨】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键.举一反三：【变式1】【答案】【分析】按照单项式除以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式，从而可得答案．解：原式．【点拨】本题考查的是单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键．【变式2】【答案】2x【分析】原式被除数利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果．解：原式．故答案为：2x．【点拨】本题考查整式的除法，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式3】-20x3y5z÷(-10x2y)【答案】2xy4z【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可．解：-20x3y5z÷(-10x2y)=2x3-1y5-1z=2xy4z．类型二、科学记数法表示单项式的除法 2．【答案】【分析】利用单项式除法法则进行计算即可．解：==．【点拨】本题考查了利用单项式除法法则进行有理数的计算，熟练掌握单项式除法法则是解题的关键．举一反三：【变式】计算：；【答案】【分析】根据单项式除法法则计算即可；解：（1）原式．【点拨】本题考查了单项式除法．掌握运算法则是解答本题的关键．类型三、多项式除以单项式 3．【答案】试题分析：利用多项式除以单项式的运算法则计算即可.解：原式===举一反三：【变式1】化简求值：，其中．【答案】；【分析】先按照平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式的法则计算括号内的整式的乘法运算，再合并括号内的同类项，最后计算多项式除以单项式即可得到化简的结果，再把代入化简的结果可得答案．解：当，原式【点拨】本题考查的是整式的加减乘除混合运算，化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式进行简便运算是解题的关键．【变式2】先化简后求值：，其中，．【答案】【分析】通过整式乘除化简求值即可；解：原式，将，代入上式，得：．【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，准确利用合并同类项和整式乘除计算是解题的关键．【变式3】计算：(18a2b-6ab)÷(-6ab)．【答案】【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可.解：==.【点拨】本题考查了多项式除以单项式的计算，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键.用多项式的每一项分别与单项式相除，再把所得的商相加.类型四、整式的四则运算 4．计算：(1)y(2x－y)＋(x＋y)2;(2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．【答案】（1）x2＋4xy，（2）－a3b2【分析】（1）利用单项式乘以多项式的运算法则及完全平方公式分别计算后，合并同类项即可；（2）利用单项式除以单项式及单项式乘以单项式的运算法则依次计算即可.解：（1）原式＝2xy-+=x2＋4xy；（2）原式＝=－a3b2.【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟知整式的混合运算顺序是解题的关键.举一反三：【变式1】计算：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)【答案】4x﹣3【分析】运用单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则去括号后，再合并同类项即可.解：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)=x2+3x-x-3-x2+2x

=4x-3.【点拨】本题考查了整式的混合运算，解本题的关键运用单项式乘多项式a（b+c）=ab+ac法则和多项式乘多项式法则（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.【变式2】先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x=4．【答案】2x﹣9，-1解：原式=x2﹣9﹣x2+2x=2x﹣9．当x=4时，原式=2×4﹣9=﹣1．【变式3】计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先计算积乘方，再由单项式的乘除法则解题；（2）根据乘法公式解题．解：（1）解：原式，，；（2）解：原式，，．【点拨】本题考查整式的混合运算，其中涉及平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．类型五、整式的混合运算 5．先化简，再求值：，其中【答案】2a-14b；13【分析】利用非负数和为0，每个非负数为0，求出的值，用平方差公式计算，，然后合并同类项，再利用多项式除以单项式的法则计算再赋值计算即可．解：∵，∴，，∴，b=-1，原式=[a2-25b2-（a2-4ab+4b2）+b2]÷2b，=（a2-25b2-a2+4ab-4b2+b2）÷2b，=（4ab-28b2）÷2b，=2a-14b，当，b=-1时，原式．【点拨】本题考查化简求值问题，掌握化简求值的技巧，会利用非负数性质求条件值，掌握平方差与完全平方公式，多项式除以单项式法则，会利用公式化简，能准确代入计算是解题关键．举一反三：【变式1】说明代数式的值，与的值无关．【答案】说明见解析.解：试题分析：根据整式的混合运算的法则和顺序，先算完全平方和平方差，然后合并同类项化简，通过关化简可判断.试题解析：原式==x-y+y=x∴代数式的值与y无关.【变式2】先化简，再求值：[(x2＋y2)－(x＋y)2＋2x(x－y)]÷(4x)，其中x－2y＝2.【答案】x－y，1.试题分析：本题考查了整式的化简求值，先把中括号内化简，再根据多项式除以单项式的法则计算，然后把x－2y作为一个整体代入求值.解：原式＝(x2＋y2－x2－2xy－y2＋2x2－2xy)÷4x＝(2x2－4xy)÷4x＝x－y.因为x－2y＝2，所以x－y=(x-2y)=×2＝1.【变式3】先化简，再求值