广东省2022届高三一模数学试题(含答案解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省2022届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，则（

）A．2 B．3 C．4 D．52．若向量，满足，，，则（

）A． B．2 C．2 D．43．已知为锐角，且，则（

）A． B． C． D．4．为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（

）（参考数值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m5．从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（

）A． B． C． D．6．已知函数，，则图象如图的函数可能是(

)A． B． C． D．7．已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知正项数列满足，当最大时，的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则10．中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（

）A．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于B．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高C．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数D．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差11．已知数列满足，，则下列结论中正确的是（

）A．B．为等比数列C．D．12．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（

）A．时，B．时，的最小值为9C．时，D．时，的最小值为8三、填空题13．二项式展开式中的常数项为__________.14．如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点），其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：__________.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）15．如图，已知扇形的半径为，以为原点建立平面直角坐标系，，，则的中点的坐标为__________.16．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为__________.四、解答题17．在中，角的对边分别为，下面给出有关的三个论断：①；②；③.化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明）18．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.(1)证明：平面DEF；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.19．已知正项数列，其前n项和满足.(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.20．小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：运动项目篮球羽毛球游泳能量消耗/卡500400600求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.21．已知，为的导函数.(1)若对任意都有，求的取值范围；(2)若，证明：对任意常数，存在唯一的，使得成立.22．已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的模的公式即可得解.【详解】解：，所以.故选：D.2．B【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】由题意可得.故选：B.3．C【解析】【分析】先由平方关系计算出，再由诱导公式得出答案.【详解】由为锐角得，所以，.故选：C.4．D【解析】【分析】由题意，前轮转动了圈，根据圆的周长公式即可求解.【详解】解：由题意，前轮转动了圈，所以A，B两点之间的距离约为，故选：D.5．A【解析】【分析】写出集合的非空子集，求出总选法，再根据，列举出集合的所有情况，再根据古典概型公式即可得解.【详解】解：集合的非空子集有共7个，从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法，因为，当时，则可为共3种，当时，1种，同理当时，则可为共3种，当时，共1种，则符合的共有种，所以的概率为.故选：A.6．D【解析】【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.故选：D.7．B【解析】【分析】由为等腰三角形,且，可得==2c，P点坐标(2c，)，由点在过点且斜率为的直线上，可得，可得e的值.【详解】解：由题意可得双曲线焦点在x轴上,设=2c.为等腰三角形,且，==2c，，可得P点的坐标为（c+2ccos，2csin），即P(2c，)，点在过点且斜率为的直线上，，可得，即e=2，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质及应用，得出P点坐标(2c，)后得是解题的关键.8．B【解析】【分析】先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.【详解】令，两边取对数，有，令，则，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以时，取到最大值，从而有最大值，因此，对于，当时，；当时，.而，因此，当最大时，.故选：B9．BD【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，，则或与相交，故选项C正确；对D：若，，，则，故选项D正确.故选：BD.10．ACD【解析】【分析】根据条形统计图依次计算影片数量占比、平均数和方差即可得到结果.【详解】对于A，至年各年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于部，故国产影片数量每年的占比都不低于，A正确；对于B，年国产影片占比为，年国产影片占比为，故国产影片数量占比并非逐年提高，B错误；对于C，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为，进口影片数量平均数为，C正确；对于D，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为；进口影片数量的方差为，D正确.故选：ACD.11．AD【解析】【分析】利用递推式可求得的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;【详解】，则，又，同理，故A正确；而，故不是等比数列，B错误；，故C错误；，故D正确，故选：AD12．BC【解析】【分析】以为抛物线通径，求得的值，判断A;当时,写出焦半径的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B;当时,求出的表达式，利用三角函数的知识，可判断C,D.【详解】当时，，此时不妨取过焦点垂直于x轴，不妨取，则，故A错误；当时，，此时不妨设在抛物线上逆时针排列，设,则，则，故，令，则，令，则

，当时，，递增，当时，，递减，故，故当，即时，取到最小值9，故B正确；当时，，此时不妨设在抛物线上逆时针排列，设,则，即，故，，所以，故C正确；由C的分析可知：，当时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；故选：BC【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.13．60【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求得答案.【详解】由题意可得：，令，故常数项为，故答案为：6014．和（和，和，和）（写出其中一对即可）【解析】【分析】如图所示，连接和,相交于点,连接,证明平面，即得解.【详解】解：如图所示，连接和,相交于点,连接.因为,所以,所以,又,所以,所以,,所以.因为,所以.又因为平面,所以平面,又平面,所以.故答案为：和.15．【解析】【分析】根据三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数关系可求得，由此可求得点坐标.【详解】由三角函数定义得：，，，，，，点坐标为.故答案为：.16．【解析】【分析】由题意，为A，B两点横坐标差的绝对值，因此设出坐标作差，再求最值即可.【详解】与的交点为，函数所以在区间上单调递增，令，对于一个的值，有唯一的使，所以，有，所以，令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递减.所以，故.故答案为：17．论断①：；论断②：或；论断③：；所有可能的真命题有：①③②和①②③.【解析】【分析】论断①中，利用余弦定理可求得，进而得到；论断②中，利用正弦定理边化角可得，进而得到结论；论断③中，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、辅助角公式进行化简整理得到，由此可得；由三角形内角和可确定结果.【详解】论断①中，由余弦定理得：，，.论断②中，，由正弦定理得：，，，或，论断③中，由正弦定理得：，即，，即，，，，即，，即，又，，，解得：以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：①③②和①②③.18．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）证明，再证明，根据线面垂直的判定定理可证明结论；（2）先推出三棱锥的体积最大时，点E，F分别是，的中点，由此再求二面角的余弦值；法一：通过证线面垂直可说明是二面角的平面角，解直角即可求得答案；法二：建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.(1)证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.因为AD，EF是圆柱的母线，所以且,所以四边形AEFD是平行四边形.所以,所以.因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE,又因为平面ABE，所以.又因为，DF，平面DEF，所以平面DEF.(2)由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，由（1）知，，所以，即底面三角形DEF是直角三角形.设，，则,所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大,下面求二面角的余弦值：法一：由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以.又因为，，所以平面BEF.因为平面BEF，所以,所以是二面角的平面角,由（1）知为直角三角形，则.故,所以二面角的余弦值为.法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则.由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取为.设平面BDF的法向量为，由，，得，即，即，取，得.设二面角的平面角为θ,则，由图可知θ为锐角，所以二面角的余弦值为.19．(1)证明见解析，；(2)不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答.（2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答.(1)依题意，正项数列中，，即，当时，，即，整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，因为是正项数列，即，所以.(2)不存在，当时，，又，即，都有，则，假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，则，即，两边同时平方，得，即，整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，所以数列中不存在满足要求的连续三项.20．(1)第三天打羽毛球的可能性最大(2)分布列见解析，期望为1428卡【解析】【分析】（1）根据小王第一天打羽毛球，可得到第二天分别参加哪项运动的概率，由此在分别计算第三天参加各项运动的可概率，比较可得答案；（2）求出运动能量消耗总数的可能的取值，计算出每种可能对应的概率，可得前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列，根据期望的计算公式，求得期望.(1)用A，B，C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用，，分别表示第n天小王进行A，B，C三种运动项目的概率.因为小王第一天打羽毛球，所以第2天小王做三项运动的概率分别为，，.第3天小王做三项运动的概率分别为，，，所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.(2)小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、BCC共9种，运动能量消耗总数用X表示，有1200，1300，1400，1500，1600共5种可能，，，，，，所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的分布列为X12001300140015001600P0.010.090.570.270.06能量消耗总数X的期望（卡）所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的期望为1428卡.21．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）通过分离变量的方式得到，利用导数可求得，由此可得的范围；（2）将问题转化为在区间上有唯一的零点，由解析式可确定在上单调递减；结合（1）的结论知，进而得到，，由零点存在定理可证得结论.(1)由得：，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，即的取值范围为.(2)设，将问题转化为在区间上有唯一的零点，由，知在区间上单调递减，故函数在区间上至多有个零点，