有限元与热分析数值仿真

有限元与1传热学（热传导、对流换热部分）2

有限单元方法原理热分析数值仿真3

热弹性力学

4ANSYS软件的基本应用掌握一种通用有限元软件的应用(ANSYS软件)

授课老师：钱作勤有限元与热分析

数值仿真

Thefiniteelementmethodandnumericalsimulation

目前世界上两大研究热点是什么?

节能

内燃机

环保

原因:石油不可再生能源:石油、煤等可再生能源:酒精、木材等代用燃料：酒精、天然气、液化气、二甲醚等双燃料（两者混合）内燃机燃料的燃烧化学能热能热能机械能对外做功燃烧

热量的传递（传热）热能转化为机械能（机械设备的热分析）冰箱(机械能

热能)飞机(热能

机械能)

汽车(热能

机械能)热电厂(热能

机械能)

热分析的研究内容及其在科学技术和工程中的应用特别是在下列技术领域大量存在传热与热分析问题动力、化工、制冷、建筑、机械制造、新能源、微电子、核能、航空航天、微机电系统（MEMS）、新材料、军事科学与技术、生命科学与生物技术…热学分析在生产技术等众多领域中的应用十分广泛：在几个特殊领域中也有许多应用：a航空航天：高温叶片气膜冷却与发汗冷却；火箭推力室的再生冷却与发汗冷却；卫星与空间站热控制；空间飞行器重返大气层冷却；超高音速飞行器（Ma=10）冷却；核热火箭、电火箭；微型火箭（电火箭、化学火箭）；太阳能高空无人飞机b微电子：电子芯片冷却c生物医学：肿瘤高温热疗；生物芯片；组织与器官的冷冻保存d军事：飞机、坦克；激光武器；弹药贮存e制冷：跨临界二氧化碳汽车空调/热泵；高温水源热泵f新能源：太阳能；燃料电池

什么是导热呢？我们来下一个定义：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递称为导热。

例如有两种导热现象：（1）同一物体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的部分；（2）两个不同的物体温度较高的物体把热量传递给与之接触的温度较低的另一物体。第一部分传热学（热传导部分）

导热(conduction)两个不同的物体温度较高的物体把热量传递给与之接触的温度较低的另一物体。同一物体内部热量从温度较高的部分传递到温度较低的部分一、导热基本概念1。温度场(temperaturefield)

：某一时刻（或瞬间）物体中各点温度的分布的总称。t=ƒ(x,y,z,ζ)

第一章导热基本定律稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动；非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。

2。等温面(Isothermalsurface)（线）：同一时刻物体中温度相同的点连成的面（或线）。特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交；（2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间；（3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域热流密度的相对大小。3。温度梯度(temperaturegradient)：等温线面法线方向上的温度变化率。gradt=lim(Δt/Δn)=ət/ən(Δn→0)1。表述：单位时间内传递的热量与温度梯度及垂直于热流方向的截面积成正比。

Q=-λFgradt对单位面积：q=-λgradt

式中:Q—热量w;λ—导热系数w/m0C;gradt—温度梯度0C/m2。说明：（1）负号“-”表示热量传递指向温度降低的方向；与温度梯度方向相反。（2）一但物体内部温度分布已知，则由傅里叶定律即可求得各点的热流量或热流密度。二、导热基本定律(傅里叶定律Fourier’sLaw)式中：ρ—密度(kg/m3)；τ

—时间(s)；Cp—比热容(J/kg.0C)；

qv—内热源强度(J/m3s

)；λ—导热系数(w/m0C)；

t—温度(0C)；

x,y,z—直角坐标

第二章导热微分方程式及定解条件(Theconductiondifferentialequation)一、导热微分方程式的推导根据能量守恒定律和傅里叶定律，可以推导出导热微分方程，下面是一般三维问题瞬态温度场在直角坐标系中的控制方程：由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得所需的物体温度场。具体推导:傅里叶定律

导热微分方程式能量守衡定律

假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面体来推导导热微分方程，如图2-2所示。dQ

z+dzdQ

zdQ

y+dydQ

ydQ

x+dxdQ

xdQ’X方向：设该微元体均质，各向同性，则在d

时间内通过x=x、y-y、z=z三个微元表面而导入微元体的热流量可根据傅里叶定律写出为

通过x=x+dx、y=y+dy、z=z+dz三个表面导出微元体的热流量亦可按傅里叶定律写出如下对于微元体，按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：导人微元体的总热流量十微元体内热源的生成热＝导出微元体的总热流量十微元体热力学能(即内能)的增量(c)式(c)中其他两项的表达式为微元体热力学能的增量＝微元体内热源的生成热＝

将式(a)、(b)、(d)及(e)代人式(c)，经整理得

这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。

导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。它对导热问题具有普遍适用的意义（若导热系数为常数）

最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：

返回二、三类边界条件

热传导方程有三类边界条件：第一类：给出边界上的温度t；第二类：给出热流密度q；第三类：给定流体介质的温度t和换热系数α。平底水壶烧水（观察底部）冰箱（观察外壳壁面）

第三章通过平壁、圆筒壁的导热

一、通过平壁的导热(Planewallconduction)

1、单层平壁(平壁的高、宽远大于其厚度，即可视为无限大平板)

如左图所示一无限大平板左右二侧分别保持着温度t1和t2，假设温度只随垂直于壁面的x轴变化，平

板的厚度为δ，导热系数为λ。求其温度场：

应用导热微分方程和傅叶定律来进行求解

（2）根据傅里叶定律，得到：由前面我们已知一维稳态导热的方程式为如下求解步骤：（1）积分求解边界条件为：分析：（和电路分析类比）导热热阻热流密度可类比：温差

2、多层平壁：如左图所示三层平壁，各层厚度分别为

δ1δ2δ3

，导热系数为λ1λ2λ3，两侧壁面的温度为t1和t4,求其温度场。

返回求解步骤：（1）画出串联热阻图（2）分别写出每段的傅里叶定律

同理对n层平壁有：（3）求解

所以最终得：

二圆筒壁的导热

(Hollowcylindricalconduction)

1单层圆筒壁

已知：圆筒壁内壁温度t1和外壁温度t2；

筒壁的内半径r1和外半径r2；壁材的导热系数值λ；求其温度场。

由前面所学的知识我们知道圆筒壁的等温面都是和圆筒同轴的圆柱面，导热只沿半径方向进行，因此在极坐标图上圆筒壁的导热问题简化为了只是沿r轴的一维导热问题。用傅理叶定律求解在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则根据傅里叶定律，边界条件r=r1,t=t1;r=r2,t=t2。我们得:分离变量，两边积分：同样类比：那么，同理对n层圆筒壁有：2、多层圆筒壁的导热思索

求解导热问题的关键是获得温度场,而要获得温度场实质上归结为对如下导热微分方程式的求解。

对上述偏微分方程：对实际工程问题用纯数学的方法来解微分方程——非常困难；

利用计算机来获得满足工程要求的数值解——计算机数值仿真。

一、常用的数值计算方法：

1。有限差分法、2。有限单元法、3。边界元法等二、有限元分析软件的应用：目前，有限元理论及其应用已经很成熟，有许多商业软件可应用，如：ANSYS、PHOENICS、KIVA-2等。

ANSYS软件在求解柴油机零部件温度场的应用

180活塞二维轴对称模型稳态温度场

180活塞三维轴对称模型稳态温度场二维结构耦合系统循环瞬态温度场动画演示三维结构耦合系统循环瞬态温度场动画演示两个不同物体之间的动态导热仿真计算结果示意图：第二部分有限元法原理有限差分法要对网格规则划分而有限单元法可以进行不规则的划分缺点：死板，不利于复杂问题求解变分原理可以允许网格任意划分变分法是有限元法的基础如何把微分方程转变为有限元法的基本计算公式?古典的偏微分方程的近似（无限逼近→达到要求）计算：1.有限差分法

2.变分法→有限单元法泛函的基本定义定义函数y=f(x)则定义泛函J=J[y(x)]J值依赖于自变函数y(x)的变化函数y(x)又依赖于自变量x的变化泛函是函数的函数研究泛函的极值问题的方法→变分法研究函数的极值问题的方法→微分法采用变分法求泛函J=J[y(x)]的极值问题（变分法）最简单的一维泛函一般形式J[y(x)]=变分变分运算与微分运算几乎相同（注意在变分计算中自变量x做常数处理因为微分方程求解通常都比较困难，而计算泛函变分求极值比较方便，所以常常把微分方程的求解问题转化为求相应泛函的极值问题举例：求泛函J[y(x)]=，在边界条件y(0)=0，y(1)=1下达到极值的曲线。解：这里则既一维欧拉方程即极值条件是：

利用边界条件：y(0)=0，y(1)=1得到：

极值曲线泛函，变分举例分析

在铅垂平面xoy上有2点A，B（它们不在同一铅垂线上），如图所示：连接A，B两点的曲线有很多，要求找到一条曲线，使垂物W凭自重又A点沿此曲线滑到B点（忽略摩擦）所需的时间最短？解：两点间直线距离最短，但所需的时间不是最短连接A，B两点的曲线很多，设每一条曲线的函数为而每一条曲线对应一个时间量T，那么T即函数y(x)的泛函，T=T[y(x)]A(0.0)X

p(x,y)B(x,y)VY要求最短时间，即求T=T[y(x)]的极值（最小值）泛函的变分问题二维欧拉方程二维泛函的一般形式

其中变分其中最后可变为极值条件是即二维欧拉方程为其中瞬态温度场的变分原理公式边界条件为第二类其中为换热系数,Tf为周围介质温度,求其温度函数这个温度场的泛函为:应用二维欧拉方程可证明,为极值函数时,必须满足微分方程

和边界条件参考书:(机械结构分析的有限元方法,杨莱柏主编)

函数和泛函极值的类比若函数y=f(x)在x有极值,则，为极值点若泛函在曲线上达到极值,则在此曲线上有:

为极值函数,怎么把变分和有限元法联系到一起?里兹法设要求得满足微分方程以及边界条件

的函数在区间[a,b]连续

,这个问题等价于求解相应的泛函

达到极值时的极值函数里兹求解法极值函数展开成

是满足边界条件的可能解

是待定系数则上式可变为:这样,泛函可看成n个变量的多元函数,对于n元函数的极值条件:

有限元法的变分解释对二维问题:由边界条件其泛函为:把求解区域D划分成有限个子区域,分成n个三角形单元,单元记作De则整个区域D为各个单元的组合同样:求解区域D的泛函可写成个单元泛函的组合.

若为三角形单元,有三个节点,按照里兹法,将函数近似地展开成K为总节点,由泛函极限条件:

即得到线性方程组,求k个节点的值从而获得整个区域的解.单元剖分和温度场离散→温度插值函数

YOX41273654YOX用有限元法将区域D剖分成个单元,n个节点,把区域内连续的温度场离散到几个节点上去,最后只需要求节点上的温度.对于三角形单元内的温度T,假设其为x和y坐标的线性函数(因为单元足够小,总可以做到),即:

是待定系数同理→矩阵简化写成

即

导热微分方程→线形方程组对于第二类边界条件二维稳态温度场的微分方程为:

相应泛函为:对泛函求极值,极值条件为:其中为单元泛函,为求和(三角形单元k为i,j,m)我们对内部单元有而我们前面推导得出,对三角形单元有:

所以

同理:

i→j→k

以及

i→j→k注意到所以有:同理:求得.

得到

其中为单元温度刚度矩为单元节点温度向量同理:对边界单元可得到对总体

第三部分热弹性力学基本概念应力(材料力学定义)P分解得到垂直与截面的分量称为正应力，相切于截面的分量称为剪应力。单位为变形:其中为变形量，沿x方向的应变剪应变，角应变胡克定律：或（横向应变）或广义胡克定律：其中E为拉压弹性模量G为剪切弹性模量为横向收缩系数（泊松系数）考虑温度应变影响：有其中为物体线膨胀系数,则有

热应力和热弹性概念P71平面热弹性问题平面热弹性平衡方程

平面热弹性运动方程

(求解动态热应力)边界条件

平面应力问题用ANSYS求解一般传热学问题（温度场）的方法和主要步骤

AnsysMainMenu主菜单(1)定义求解类型：传热学问题

preferences↓→Thermal→willnot

show↓→ok↓(2)定义有限元的类型（是四边形单元，还是三角形单元等）

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