新高考数学二轮复习培优训练专题18 等差数列与等比数列基本量的问题（含解析）

专题18等差数列与等比数列基本量的问题1、【2022年全国乙卷】已知等比数列an的前3项和为168，a2−A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【解析】设等比数列an的公比为q,q≠0若q=1，则a2所以q≠1，则a1+a所以a6故选：D.2、【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1,CC1,BB1,AA1

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】设OD1=D依题意，有k3−0.2=k所以0.5+3k3−0.3故选：D3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：A.4、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为SKIPIF1<0的长方形纸，对折1次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种规格的图形，它们的面积之和SKIPIF1<0，对折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种规格的图形，它们的面积之和SKIPIF1<0，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折SKIPIF1<0次，那么SKIPIF1<0______SKIPIF1<0.【答案】(1).5(2).SKIPIF1<0【解析】（1）由对折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种规格的图形，所以对着三次的结果有：SKIPIF1<0，共4种不同规格（单位SKIPIF1<0；故对折4次可得到如下规格：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为SKIPIF1<0的等比数列，首项为120SKIPIF1<0,第n次对折后的图形面积为SKIPIF1<0，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为SKIPIF1<0种（证明从略），故得猜想SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式作差得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.5、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：D.6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则SKIPIF1<0=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【解析】设等比数列的公比为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故选：B.7、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为SKIPIF1<0，第一层共有n环，则SKIPIF1<0是以9为首项，9为公差的等差数列，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为SKIPIF1<0，因为下层比中层多729块，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C8、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.9、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0等差数列的公差SKIPIF1<0根据等差数列通项公式：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据等差数列前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.10、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若SKIPIF1<0，则S4=___________．【答案】SKIPIF1<0.【解析】：设等比数列的公比为SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．11、【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知(1)证明：an(2)若a4,a【答案】(1)证明见解析；(2)−78．【解析】(1)解：因为2Snn+n=2当n≥2时，2Sn−1①−②得，2S即2a即2n−1an−2n−1an−1所以an是以1(2)解：由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n−13，所以所以，当n=12或n=13时Sn12、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项积，已知SKIPIF1<0．（1）证明：数列SKIPIF1<0是等差数列;（2）求SKIPIF1<0的通项公式．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项积，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公差的等差数列，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当n=1时，SKIPIF1<0,当n≥2时,SKIPIF1<0,显然对于n=1不成立,∴SKIPIF1<0.13、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是等差数列，证明：SKIPIF1<0是等差数列.【解析】∵数列SKIPIF1<0是等差数列，设公差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等差数列.14、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等差数列：②数列SKIPIF1<0是等差数列；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】选①②作条件证明③：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0也是等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.选①③作条件证明②：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差数列.选②③作条件证明①：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足等差数列的定义，此时SKIPIF1<0为等差数列；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不合题意，舍去.综上可知SKIPIF1<0为等差数列.题组一、等差、等比数列的基本量的问题1-1、（2022·江苏海安·高三期末）设数列SKIPIF1<0为等比数列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.故选：C.1-2、（2022·江苏常州·高三期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值SKIPIF1<0元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为SKIPIF1<0．按复利计算，则小李每个月应还（）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元【答案】A【解析】设每月还SKIPIF1<0元，按复利计算，则有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0，故选：A1-3、（2022·山东淄博·高三期末）己知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公比SKIPIF1<0（）A．－2 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：B1-4、（2022·江苏苏州·高三期末）记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故选：C．1-5、（2022·广东罗湖·高三期末）（多选题）已知d为等差数列SKIPIF1<0的公差，SKIPIF1<0为其前n项和，若SKIPIF1<0为递减数列，则下列结论正确的为（）A．数列SKIPIF1<0为递减数列 B．数列SKIPIF1<0是等差数列C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依次成等差数列 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由题意可知数列SKIPIF1<0是等差数列，且递减，则SKIPIF1<0，不妨举例如：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，这三项不构成递减数列，故A错；而SKIPIF1<0,这三项不构成等差数列，说明C错；对于B，SKIPIF1<0，是关于n的一次函数，因此SKIPIF1<0是等差数列，故B正确；对于D，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正确，故选：BD.1-6、（2022·江苏苏州·高三期末）记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，写出一个同时满足①②的数列SKIPIF1<0的通项公式：SKIPIF1<0__________．①SKIPIF1<0是递增的等比数列；②SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0(答案不唯一)【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0(答案不唯一)题组二、等差、等比数列的判断与证明2-1、（2022·山东青岛·高三期末）在数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0为常数)，则称SKIPIF1<0为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．SKIPIF1<0是等方差数列B．若数列SKIPIF1<0既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列C．正项等方差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是等比数列，则SKIPIF1<0D．若等方差数列SKIPIF1<0的首项为2，公方差为2，若将SKIPIF1<0，…SKIPIF1<0这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码【答案】ABD【解析】选项A.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等方差数列，故正确.选项B.由数列SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0由数列SKIPIF1<0既是等方差数列,则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0为常数列当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为常数列故数列SKIPIF1<0为常数列，所以选项B正确.选项C.由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0等比数列，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足题意，故选项C不正确.选项D.数列SKIPIF1<0是首项为2，公方差为2的等方差数列，则SKIPIF1<0由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0中的每一项，可能取正或负，有2种取法.所以SKIPIF1<0，…SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种不同的排法结果；所以选项D正确故选：ABD2-2、（2022·山东日照·高三期末）数列SKIPIF1<0的各项均是正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，则下列正确的是（）A．SKIPIF1<0B．数列SKIPIF1<0是等比数列C．数列SKIPIF1<0是等比数列D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是等比数列，且首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，B对；SKIPIF1<0，A对；SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0不是等比数列，C错；由上可知，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是等比数列，且首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，D对.故选：ABD.2-3、（2021·河北张家口市·高三期末）（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，，则【答案】BC【解析】若，当时，，不满足，故A错误.若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.若是等差数列，则，故C正确.，故D错误.故选：BC2-4、（2020·河北邯郸市·高三期末）（多选题）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（）A．若，则是等差数列B．若，则数列的前项和为C．若，则是等比数列D．若，则【答案】ACD【解析】因为数列的前项和为，且满足，当时，可得，即，所以，可得，即，又因为，所以，则，可得，故A正确，B不正确.当时，由已知得，即，所以，所以，所以，所以，所以，故C正确，D正确.故选：ACD.1、（2022·湖南常德·高三期末）在流行病学中，基本传染数SKIPIF1<0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．SKIPIF1<0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于SKIPIF1<0，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数SKIPIF1<0，平均感染周期为7天（初始感染者传染SKIPIF1<0个人为第一轮传染，经过一个周期后这SKIPIF1<0个人每人再传染SKIPIF1<0个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为SKIPIF1<0，经过n轮传染，总共感染人数为：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当感染人数增加到1000人时，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要SKIPIF1<0天，故选：B2、（2021·山东济南市·高三二模）（多选题）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（）A． B．是等比数列C． D．【答案】ABC【解析】因为，，所以，由可得，所以，所以，分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，，综上可知，ABC正确，D错误.故选：ABC3、（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是方程SKIPIF1<0的两个根，则SKIPIF1<0__________.【答案】8【解析】根据韦达定理可得SKIPIF1<0，由等差数列的性质可得SKIPIF1<0