新高考数学二轮复习培优讲义26 概率和统计（含解析）

解密26概率和统计【考点解密】1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②SKIPIF1<0i＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1－pp其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率．3．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝SKIPIF1<0(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．4．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)5．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)，即X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．6．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．7．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．8．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．9．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．10．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)SKIPIF1<0，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.【方法技巧】【核心题型】题型一：频率分布直方图的中位数等求法1．（2023·山东泰安·统考一模）青少年是国家的未来和民族的希望，青少年身体素质事关个人成长､家庭幸福，民族未来，促进青少年健康是建设体育强国､健康中国的重要内容.党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身，强健体魄､砥砺意志，凝聚和焕发青春力量.近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶.某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（

）A．样本的众数为67.5 B．样本的80%分位数为72.5C．样本的平均值为66 D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人【答案】C【分析】由频率分布直方图的众数、百分位数、平均数以及频数的计算公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A正确；对于B，设样本的80%分位数为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故B正确；对于C，设样本的平均值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故C不正确；对于D，该校男生中低于60公斤的学生所占的频率为：SKIPIF1<0，该校男生中低于60公斤的学生大约为SKIPIF1<0人，故D正确.故选：C.2．（2023·广东梅州·统考一模）为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（

）A．SKIPIF1<0B．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D．四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%【答案】B【分析】根据频率分布直方图矩形面积和等于1可得SKIPIF1<0，经计算可得平均数为SKIPIF1<0，中位数约为119，优秀率为35%即可得出正确选项.【详解】根据题意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故A正确；根据频率分布直方图可得其平均数为SKIPIF1<0，所以B错误；由频率分布直方图可知，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以中位数落在区间SKIPIF1<0内，设中位数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以C正确；由图可知，超过125次以上的频率为SKIPIF1<0，所以优秀率为35%，即D正确.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（

）A．估计该地农户家庭年收入的平均值超过7.5万元B．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入不低于8.5万元C．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为4%D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至7.5万元之间【答案】A【分析】根据频率分布直方图,即可结合选项逐一计算平均值以及所占的比重.【详解】对于A，估计该地农户家庭年收入的平均值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故A正确，对于B，家庭年收入不低于8.5万元所占的比例为SKIPIF1<0，故B错误，对于C，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为SKIPIF1<0，故C错误，家庭年收入介于4.5万元至7.5万元之间的频率为SKIPIF1<0，故D错误．故选：A题型二：互斥事件概率的求法4．（2023·四川成都·统考二模）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为SKIPIF1<0，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.【详解】分三类：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：SKIPIF1<0；②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：SKIPIF1<0；③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：SKIPIF1<0.故甲获胜的概率为：SKIPIF1<0.故选：B.5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.有甲，乙，丙三个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙中的任何一个人，以此类推，则经过两次传球后又传到甲的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】一共有两种情况，根据概率的加法即可.【详解】经过两次传球后又传到甲的情况有甲乙甲和甲丙甲两种，所以概率为：SKIPIF1<0故选：C6．（2023·陕西西安·统考一模）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为SKIPIF1<0，则（

）A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等【答案】C【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案．【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为SKIPIF1<0②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，甲最终获得冠军的概率为SKIPIF1<0；（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为SKIPIF1<0；（3）丙获得冠军，概率为SKIPIF1<0，由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确，故选∶C．题型三：古典概型问题7．（2023·四川巴中·统考一模）随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为SKIPIF1<0，所对应的概率分别为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】用表格列举出所有可能的余数情况，并确定余数为SKIPIF1<0对应概率，即可得结果.【详解】由题设，两枚骰子所得点数和除以4的余数情况如下：除以4的余数123456123012323012303012301412301252301236301230由上表知：共36种情况，其中余数为SKIPIF1<0分别有9种、8种、9种、10种，所以SKIPIF1<0.故选：A8．（2023·陕西榆林·统考二模）目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】依题意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所选科目相同的基本事件，求其比值即可.【详解】甲、乙同学所选的科目情况有：（化学，化学），（化学，生物），（生物，化学），（生物，生物），（政治，化学），（政治，生物），共6种，其中甲、乙同学所选的科目相同的情况有（化学，化学），（生物，生物），共2种，故所求概率SKIPIF1<0．故选：B.9．（2023·福建福州·统考二模）为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据古典概型公式即可求解.【详解】记人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团分别为SKIPIF1<0，则甲､乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有SKIPIF1<0共9种，而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有SKIPIF1<0共3种，故这两位同学恰好参加同一个社团的概率SKIPIF1<0.故选：A题型四：几何概型问题10．（2023·贵州毕节·统考二模）有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8，大圆内部的同心小圆半径为3，两圆之间的图案是对称的．若在其中阴影部分种植红芍．倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍中的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解.【详解】由已知得：大圆的面积为SKIPIF1<0，小圆的面积为SKIPIF1<0.所以阴影部分的面积为SKIPIF1<0.设“恰好处在红芍中”为事件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：C11．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知线段AD的长为3，B，C是线段AD上的两点，则线段AB，BC，CD能构成三角形的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题意转化为几何概型，利用面积关系求概率.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．作出不等式组SKIPIF1<0表示的平面区域，如图中SKIPIF1<0（不含边界），其面积为SKIPIF1<0．若线段AB，BC，CD能构成三角形，则还要满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．作出不等式组SKIPIF1<0表示的平面区域，如图中SKIPIF1<0（不含边界），其面积为SKIPIF1<0．由几何概型概率计算公式得，线段AB，BC，CD能构成三角形的概率SKIPIF1<0．故选：B．12．（2023·江西赣州·统考一模）已知棱长为3的正四面体SKIPIF1<0的内切球球心为SKIPIF1<0，现从该正四面体内随机取一点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0落在球SKIPIF1<0内的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据正四面体的结构特征及性质求其内切球的半径，求出内切球体积和四面体体积，利用几何概型—体积比求概率即可.【详解】由正四面体各侧面为等边三角形，若SKIPIF1<0为△SKIPIF1<0的中心，连接SKIPIF1<0，则内切球球心SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，如下图示：SKIPIF1<0，所以内切圆半径SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，注意SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0上，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰三角形SKIPIF1<0的垂心，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而正四面体SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，其内切球体积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0落在球SKIPIF1<0内的概率为SKIPIF1<0.故选：C题型五：利用均值和方差性质求解13．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）若数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的平均数为2，方差为3，则下列说法错误的是（

）A．数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的平均数为9 B．SKIPIF1<0C．数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的方差为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据期望、方差的性质判断A、C的正误；利用期望、方差公式分析B、D的正误.【详解】A：由原数据期望SKIPIF1<0，则新数据期望SKIPIF1<0，正确；B：SKIPIF1<0，正确；C：由原数据方差SKIPIF1<0，则新数据期望SKIPIF1<0，错误；D：由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正确.故选：C14．（2022秋·河南·高三期末）为了评估某种工艺制作零件的效果，随机选出SKIPIF1<0件产品，这SKIPIF1<0件产品的尺寸（单位：SKIPIF1<0）分别为SKIPIF1<0，求得方差为SKIPIF1<0，如果再生产SKIPIF1<0件产品，尺寸都相应扩大为原来的两倍，则这批新产品的方差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】结合方差的倍数关系可直接求解.【详解】因为原产品尺寸为：SKIPIF1<0，新产品尺寸为：SKIPIF1<0，原方差为SKIPIF1<0，故新方差为SKIPIF1<0.故选：B15．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）有一组样本数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由这组数据得到新样本数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，n），则（

）A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本众数相同 D．两组样本数据的样本方差相同【答案】D【分析】根据平均数，中位数，众数，方差的定义，利用公式即可判断正误.【详解】对于A，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A选项错误；对于B，因为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，n），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中位数是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中位数加1，B选项错误；对于C，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的众数为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，n），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的众数为SKIPIF1<0，C选项错误；对于D，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D选项正确；故选：D.题型六;条件概率问题16．（2023·河南南阳·统考二模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件SKIPIF1<0存在如下关系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲､乙两家影院，小明第一天去甲､乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（

）A．第二天去甲影院的概率为0.44B．第二天去乙影院的概率为0.44C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为SKIPIF1<0D．第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为SKIPIF1<0【答案】D【分析】先表示基本事件，根据题中概率及贝叶斯概率公式进行逐一判断即可.【详解】设SKIPIF1<0:第一天去甲影院，SKIPIF1<0:第二天去甲影院，SKIPIF1<0:第一天去乙影院，SKIPIF1<0:第二天去乙影院，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0,因此选项A不正确；SKIPIF1<0，因此选项B不正确；SKIPIF1<0，所以选项C不正确；SKIPIF1<0，所以选项D正确，故选：D17．（2023·云南玉溪·统考一模）若SKIPIF1<0,则在“函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0”的条件下,“函数SKIPIF1<0为奇函数”的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先列出所有的结果数,由于函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立,可得SKIPIF1<0,在所有结果数中选出满足的情况,求出概率,根据SKIPIF1<0为奇函数可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,在所有结果数中选出同时满足两个事件情况,求出其概率,再根据条件概率的计算公式即可计算出结果.【详解】解:用所有的有序数对SKIPIF1<0表示满足SKIPIF1<0的结果，则所有的情况为:SKIPIF1<0,共9种,记“函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0”为事件A,因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,其中满足SKIPIF1<0的基本事件有:SKIPIF1<0共6种,故SKIPIF1<0．记“函数SKIPIF1<0为奇函数”为事件B．已知SKIPIF1<0是奇函数,且定义域为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．满足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的情况有SKIPIF1<0共3种,所以,即同时满足事件A和事件B的情况有SKIPIF1<0共3种,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:C18．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有SKIPIF1<0的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，则在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率为SKIPIF1<0，由条件概率计算公式可得答案.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C题型七：正态分布问题19．（2023·全国·高三专题练习）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量SKIPIF1<0，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了SKIPIF1<0的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（

）（附：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014【答案】B【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，然后再利用正态分布的对称性即可求解.【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为SKIPIF1<0，故选：B.20．（2023·内蒙古包头·统考一模）为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩SKIPIF1<0，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（

）附：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．A．该校学生体育成绩的方差为10B．该校学生体育成绩的期望为85C．该校学生体育成绩的及格率小于85%D．该校学生体育成绩的优秀率大于3%【答案】C【分析】根据正态分布的特征可求A,B选项的正误，根据优秀和及格的标准可得C,D选项的正误.【详解】因为SKIPIF1<0，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A,B均不正确；因为60分及以上为及格，所以SKIPIF1<0，C正确；因为90分及以上为优秀，所以SKIPIF1<0，D不正确.故选：C.21．（2023·吉林长春·校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布SKIPIF1<0，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且SKIPIF1<0，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生女生合计并依据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.SKIPIF1<0α0.10.050.010.0050.001SKIPIF1<02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)476人(2)答案见解析【分析】（1）利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布SKIPIF1<0，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；（2）根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.【详解】（1）由频数分布表知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在SKIPIF1<0的人数为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，SKIPIF1<0参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：SKIPIF1<0由频数分布表知，锻炼活动的天数在SKIPIF1<0的人数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，SKIPIF1<0参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：SKIPIF1<0列联表如下：性别活动天数合计SKIPIF1<0SKIPIF1<0男生203050女生321850合计5248100零假设为SKIPIF1<0：学生性别与获得“运动达人”称号无关SKIPIF1<0依据SKIPIF1<0的独立性检验，我们推断SKIPIF1<0不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于SKIPIF1<0，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的SKIPIF1<0倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.题型八：统计和概率的综合22．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）某国家网球队为了预选2024年奥运会的参赛选手，预计在国家队选拔一批队员做特训．选拔过程中，记录了某队员的40局接球成绩，每局发100个球，该队员每接球成功得1分，否则得0分，且每局结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．(1)结合直方图，估算该队员40局接球成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若该队员的接球训练成绩X近似服从正态分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似为样本平均数，求SKIPIF1<0的值；(3)为了营造竞技氛围，队员间相互比赛．一局比赛中发球方连续发100个球，若接球方得分达到80分，则接球方获胜，否则发球方获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y．以频率分布直方图中该队员获胜的频率作为概率，求均值SKIPIF1<0．参考数据：若随机变量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得样本平均数；（2）由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用参考数据即可求解SKIPIF1<0；（3）由题意可知，随机变量SKIPIF1<0的可能取值有3，4，5，计算出随机变量SKIPIF1<0在不同取值下的概率，进而可求得SKIPIF1<0的值．【详解】（1）由频率分布直方图可得队员甲的平均分SKIPIF1<0．（2）由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（3）由频率分布直方图可知，在一局中，某队员得分达到80分的概率为SKIPIF1<0，由题意可知，随机变量Y的所有可能取值为3，4，5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以随机变量Y的分布列为Y345PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0．23．（2023·安徽安庆·统考二模）为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)设小A每天获得的得分为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列、数学期望和方差；(2)若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为SKIPIF1<0，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A贏得多少局的比赛概率最大？【答案】(1)分布列见解析，数学期望为SKIPIF1<0，方差为SKIPIF1<0(2)小A赢得10局的比赛概率最大【分析】（1）记事件SKIPIF1<0表示第一局获得SKIPIF1<0分，事件SKIPIF1<0表示第二局获得SKIPIF1<0分，SKIPIF1<0的可能值为5，4，3，2，根据事件相互独立求出SKIPIF1<0的分布列、数学期望和方差；（2）设小A每天赢得的局数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0最大时SKIPIF1<0的取值即可.【详解】（1）记事件SKIPIF1<0表示第一局获得SKIPIF1<0分，事件SKIPIF1<0表示第二局获得SKIPIF1<0分，这些事件相互独立，由条件知SKIPIF1<0的可能值为5，4，3，2.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其分布列为SKIPIF1<05432SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）设小A每天赢得的局数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.根据条件得SKIPIF1<0，由①得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理由②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大.24．（2023·全国·模拟预测）冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表SKIPIF1<0．喜爱不喜爱男生SKIPIF1<0SKIPIF1<0女生SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列与数学期望．(2)定义SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为列联表中第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0列的实际数据，SKIPIF1<0为列联表中第SKIPIF1<0行与第SKIPIF1<0列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．基于小概率值SKIPIF1<0的检验规则：首先提出零假设SKIPIF1<0（变量X，Y相互独立），然后计算SKIPIF1<0的值，当SKIPIF1<0时，我们推断SKIPIF1<0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过SKIPIF1<0；否则，我们没有充分证据推断SKIPIF1<0不成立，可以认为X和Y独立．根据SKIPIF1<0的计算公式，求解下面问题：①当SKIPIF1<0时，依据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？②当SKIPIF1<0时，依据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？附：SKIPIF1<00.10.0250.005SKIPIF1<02.7065.0247.879【答案】(1)分布列见解析；期望为2(2)①答案见解析；②76名【分析】（1）用分层抽样的方法抽取的不喜爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4人，由题意可知SKIPIF1<0的可能取值为1，2，3，求出对应的概率，得到SKIPIF1<0的分布列，进而求出SKIPIF1<0；（2）①根据题中数据及所给公式计算SKIPIF1<0，与参考数据比较即可得出结论；②根据基于小概率值SKIPIF1<0的检验规则及SKIPIF1<0的计算公式得到关于m的不等式，再根据m的取值范围以及实际意义即可得解．【详解】（1）当SKIPIF1<0时，用分层抽样的方法抽取的不喜爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4人，由题意可知，SKIPIF1<0的可能取值为1，2，3．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）①零假设为SKIPIF1<0：性别与是否喜爱冰雪运动独立，即性别与是否喜爱冰雪运动无关联．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴根据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，我们推断SKIPIF1<0不成立，即认为性别与是否喜爱冰雪运动有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005．②SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为4．又SKIPIF1<0，∴至少有76名男生喜爱冰雪运动．【高考必刷】一、单选题25．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对应值如下表所示:xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0ySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程SKIPIF1<0近似刻画，则在SKIPIF1<0的取值中任取两个数均不大于SKIPIF1<0的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出样本中心点的坐标，将其代入回归直线方程，求出SKIPIF1<0的值，可得出SKIPIF1<0的所有取值，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由表格中的数据可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以这组数据的样本点的中心的坐标为SKIPIF1<0，又因为点SKIPIF1<0在回归直线上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，在这SKIPIF1<0个数中，任取两个，取到的两个数都不大于SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0.故选：B.26．（2023·河南·统考模拟预测）某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为SKIPIF1<0五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（

）A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同【答案】B【分析】设2020年参加选择考的总人数为a，根据统计图计算出这两年的每个等级的人数，进行比较，可得答案.【详解】由题可知：设2020年参加选择考的总人数为a，则2022年参加选择考的总人数为2a人；2020年评定为SKIPIF1<0五个等级的人数为：SKIPIF1<0；2022年评定为SKIPIF1<0五个等级的人数为∶SKIPIF1<0；由此可知获得A等级的人数增加了，A错误；由于SKIPIF1<0，即获得B等级的人数增加了1.5倍，B正确；获得D等级的人数增加了，C错误；获得E等级的人数增加了1倍，D错误；故选∶B．27．（2023·海南海口·校考模拟预测）某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是SKIPIF1<0，连续两天顾客量超过1万人次的概率是SKIPIF1<0，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次”为事件B，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D．28．（2023·广西南宁·统考一模）电动工具已成为人们生产和生活中常备的作业工具､数据显示，全球电动工具零部件市场规模由2016年的58亿美元增长至2020年的72亿美元，复合年均增长率达5.55%，2022年全球电动工具零部件市场规模达到80亿美元.根据此图，下列说法中正确的是（

）A．2016-2022年全球电动工具零部件市场规模逐步减少B．2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度逐年增长C．2021年全球电动工具零部件市场规模大于2020年全球电动工具零部件市场规模D．2018-2019年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大【答案】C【分析】根据条形图和折线图可得出结果【详解】由条形图可以看出全球电动工具零部件市场规模逐步增加，所以选项A错误；由折线图可以看出2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度有增有减，所以选项B错误；由条形图可以看出选项SKIPIF1<0正确；由折线图可以看出2017-2018年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大，所以选项D错误；故选：C29．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先求出横向、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率.【详解】每列相邻的LED灯共4对，共有5列，故横向相邻有SKIPIF1<0种；同理纵向相邻也有SKIPIF1<0种，所以这2头故障LED灯相邻的概率为SKIPIF1<0．故选：A30．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）构建德､智､体､美､劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学为了落实五育并举，全面发展学生的素质，积极响应党的号召，开展各项有益于德､智､体､美､劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三（1）､高三（2）班两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）.下列说法正确的是（

）实线：高三（1）班的数据虚线：高三（2）班的数据A．高三（2）班五项评价得分的极差为SKIPIF1<0B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大D．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高【答案】D【分析】根据题意可得各班的各项得分，根据分值逐项分析判断.【详解】由题意可得：高三（1）班德､智､体､美､劳各项得分依次为SKIPIF1<0，高三（2）班德､智､体､美､劳各项得分依次为SKIPIF1<0.对于A：高三（2）班五项评价得分的极差为SKIPIF1<0，A错误；对于B：两班的德育得分均为SKIPIF1<0，两者相等，B错误；对于C：两班的德育得分相差SKIPIF1<0；两班的智育、体育和美育得分相差均为SKIPIF1<0；两班的劳育得分相差SKIPIF1<0；故两个班的劳育得分相差最大，C错误；对于D：高三（1）班得分的平均数为SKIPIF1<0，高三（2）班得分的平均数为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高，D正确.故选：D.二、多选题31．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知两组数据：第一组数据SKIPIF1<0；第二组数据SKIPIF1<0．其中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第一组数据不全相同．将这两组数据相比，则下列说法中正确的是（