新高考数学二轮复习培优讲义16 一元二次不等式和基本不等式问题（含解析）

解密16一元二次不等式和基本不等式问题【考点解密】一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.【方法技巧】1．利用基本不等式求最值问题已知a>0，b>0，则(1)如果积ab是定值p，那么当且仅当a＝b时，a＋b有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和a＋b是定值p，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.【核心题型】题型一：含参数的一元二次不等式问题1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】解分式不等式求得集合SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0进行分类讨论，结合SKIPIF1<0，求得实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查根据交集、补集的运算结果求参数的取值范围，属于中档题.2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式SKIPIF1<0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集，根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.【详解】不等式SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不等式解集为SKIPIF1<0，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不等式解集为SKIPIF1<0，此时不符合题意；当SKIPIF1<0时，不等式解集为SKIPIF1<0，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，，故实数m的取值范围为SKIPIF1<0，故选：C3．（2021·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【分析】先判断函数SKIPIF1<0单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得SKIPIF1<0，解不等式即得解.【详解】任取SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0单调递减．由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时原不等式解集为SKIPIF1<0．故选：A【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.题型二：一元二次不等式根分布问题4．（2021·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0恰有5个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】先作出函数SKIPIF1<0的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程SKIPIF1<0的一个根在SKIPIF1<0，一个根在SKIPIF1<0，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解．【详解】解：作出函数SKIPIF1<0的图象如图所示，令SKIPIF1<0，则由图可知，当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0只有一个根；当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有两个根；当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0只有一个根；显然SKIPIF1<0不是方程SKIPIF1<0的根；若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，结合图象可知，此时方程SKIPIF1<0和方程SKIPIF1<0共有4个根，则函数SKIPIF1<0有4个零点，不满足题意；∴SKIPIF1<0恰有5个零点等价于方程SKIPIF1<0恰有5个实根，等价于方程SKIPIF1<0的一个根在SKIPIF1<0，一个根在SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：B．【点睛】本题主要考查由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于难题．5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在区间SKIPIF1<0上任取两个实数a，b，则方程SKIPIF1<0有两个不同的非负根的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据方程SKIPIF1<0有两个不同的非负根，可得SKIPIF1<0，在平面直角坐标系作出可行域，结合图象，根据几何概型即可得解.【详解】解：因为方程SKIPIF1<0有两个不同的非负根，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，如图，作出不等式组所表示得平面区域为SKIPIF1<0，在区间SKIPIF1<0上任取两个实数a，b，所表示得平面区域为正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0有两个不同的非负根的概率为SKIPIF1<0.故选：B.6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数SKIPIF1<0有两个不同的极值点SKIPIF1<0，且不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数t的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】把函数SKIPIF1<0有两个不同的极值点SKIPIF1<0转化为根的分布求出a的范围，利用分离参数法得到SKIPIF1<0.把SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，利用导数求出SKIPIF1<0的值域，即可得到答案.【详解】SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0有两个不同的极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0有两个不相等的正实数根，于是有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为不等式SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0恒成立.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因此实数t的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.题型三：一元二次不等式恒成立问题、7．（2023·全国·高三专题练习）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足如下两个条件：（1）关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个异号的实根；（2）SKIPIF1<0，若对于上述的一切实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先判断SKIPIF1<0，再化简SKIPIF1<0，利用基本不等式求解.【详解】解：设方程SKIPIF1<0的两个异号的实根分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取“SKIPIF1<0”），由不等式SKIPIF1<0恒成立，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：A．8．（2022·浙江·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若对任意的实数x，恒有SKIPIF1<0成立，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先令SKIPIF1<0，然后判断SKIPIF1<0的奇偶性和单调性，然后将原不等式转化为SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0的奇偶性和单调性得SKIPIF1<0对于任意的实数SKIPIF1<0恒成立，最后解二次函数恒成立问题即可.【详解】令SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以得SKIPIF1<0为奇函数.又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.已知对于任意的实数SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为奇函数，得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，得SKIPIF1<0对于任意的实数SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对于任意的实数SKIPIF1<0恒成立.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不恒成立，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，再分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即可求出参数SKIPIF1<0的取值范围；【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以函数图象如下所示：由函数图象可知函数为定义域SKIPIF1<0上单调递减的奇函数，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0，显然不成立，当SKIPIF1<0时，则m>0Δ=81−48m≤0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故选：C题型四：一元二次不等式在某区间成立问题10．（2017·天津·高考真题）已知函数SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，若关于x的不等式SKIPIF1<0在R上恒成立，则a的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】不等式SKIPIF1<0为SKIPIF1<0(*)，当SKIPIF1<0时，(*)式即为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0时取等号），所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，(*)式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（当SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0（当SKIPIF1<0时取等号），所以SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对SKIPIF1<0的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据SKIPIF1<0的范围，利用极端原理，求出对应的SKIPIF1<0的范围.11．（2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习）若命题“SKIPIF1<0”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】等价于“SKIPIF1<0”为真命题．令SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0即得解.【详解】解：命题“SKIPIF1<0”为假命题，其否定为真命题，即“SKIPIF1<0”为真命题．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数x的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C12．（2022·四川攀枝花·统考二模）已知函数SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先判断SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立；若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，转化为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立．【详解】当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0恒成立，二次函数的对称轴为SKIPIF1<0，（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0恒成立，（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0综上可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；综上可知，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：D题型五：基本不等式求积最大值问题13．（2021·全国·统考高考真题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到SKIPIF1<0，借助基本不等式SKIPIF1<0即可得到答案．【详解】由题，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立）．故选：C．【点睛】14．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0的外心为点O，M为边SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积的最大值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，再根据向量数量积的运算律及基本不等式求出SKIPIF1<0的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得；【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号；所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号；故选：C15．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到SKIPIF1<0，由余弦定理得到SKIPIF1<0，由正弦定理得到SKIPIF1<0，两式平方相加得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，两式结合有SKIPIF1<0，再用基本不等式求解.【详解】因为a2+b2+2c2＝8，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②由①，②平方相加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，取等号.故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.题型六：基本不等式求和最小值问题16．（2021秋·江苏苏州·高三张家港高级中学校考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上任一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是A．9 B．10C．11 D．12【答案】D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定SKIPIF1<0的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，则：SKIPIF1<0，据此有：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.综上可得：SKIPIF1<0的最小值是12.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的2倍.若存在正实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由面积比得SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0三点共线可得出SKIPIF1<0的关系，从而利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值．【详解】如图，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的2倍，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0三点共线，即SKIPIF1<0共线，所以存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，消去k，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立．所以SKIPIF1<0的最小值为1．故选：A．18．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线过SKIPIF1<0，若椭圆的离心率为SKIPIF1<0，双曲线的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．6 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示SKIPIF1<0，再利用均值不等式得到答案．【详解】设椭圆长轴SKIPIF1<0，双曲线实轴SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0的最小值为6，故选：C．【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示SKIPIF1<0是解题的关键，意在考查学生的计算能力．题型七：二次或二次商式的最值问题19．（2023·全国·高三专题练习）若a，b，c均为正实数，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：A．20．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列SKIPIF1<0的首项是SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，若存在常数SKIPIF1<0，使不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先由数列通项与前SKIPIF1<0项和的关系得到数列SKIPIF1<0的递推关系SKIPIF1<0，再构造等比数列SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式，进一步求出数列SKIPIF1<0的通项公式，从而可求数列SKIPIF1<0通项公式，代入所求式子SKIPIF1<0，分子、分母同除以SKIPIF1<0构造基本不等式即可求出SKIPIF1<0的最大值，从而求出SKIPIF1<0的范围.【详解】由SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，变形可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项、SKIPIF1<0为公比的等比数列，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造等比数列SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通项公式，即可得SKIPIF1<0通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求SKIPIF1<0的最值，即可求参数范围.21．（2023·全国·高三专题练习）设正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，代入SKIPIF1<0中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选A【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0进行代换，属于偏难题目.题型八：基本不等式中1的秒用22．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，b＝6时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为27故选：D23．（2022秋·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）已知a，b为正实数，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．13【答案】B【分析】设切点为SKIPIF1<0,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得SKIPIF1<0,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，由切线的方程SKIPIF1<0可得切线的斜率为1，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故切点为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为正实数，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值9，故选：B24．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直线分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得SKIPIF1<0，结合已知有SKIPIF1<0，根据三点共线知SKIPIF1<0，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.【详解】由题设，如下图示：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0三点共线，有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的线性关系，根据三点共线有SKIPIF1<0，再结合基本不等式求最值.题型九：条件等式求最值25．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由已知可得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0展开利用基本不等式即可求得最小值.【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：A.26．（2023·全国·高三专题练习）已知a，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题知SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0，再结合已知得SKIPIF1<0，即可得答案.【详解】解：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，“=”成立，又a，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，“=”成立，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C27．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】依题意可得SKIPIF1<0，利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时取等号；故选：D题型十：对勾函数求最值28．（2023·全国·高三专题练习）在锐角SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0的面积为S，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出SKIPIF1<0关系后求解【详解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故题干条件可化为SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又由正弦定理化简得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），得SKIPIF1<0SKIPIF1<0为锐角三角形，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C29．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）下列结论正确的是（

）A．当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值是2C．SKIPIF1<0的最小值是2 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【答案】D【分析】A、B选项取特殊值判断即可；C选项基本不等式取等的件不成立；D选项由双勾函数的单调性即可判断.【详解】A选项：令SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，故A错误；B选项：令SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，故B错误；C选项：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0取等，显然SKIPIF1<0无解，即SKIPIF1<0不能等于2，故C错误；D选项：令SKIPIF1<0，由双勾函数知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单减，即SKIPIF1<0时取得最小值5，即SKIPIF1<0，故D正确.故选：D.题型十一：基本不等式恒成立问题30．（2022·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是正实数)相交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点.当SKIPIF1<0的面积最大时，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．8 C．7 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由相交两圆的方程，求出直线AB方程，SKIPIF1<0最大时SKIPIF1<0为直角，由点直线距离求出m，n的关系，利用函数单调性即可得解.【详解】因圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，则直线AB方程为：SKIPIF1<0，又|OA|=|OB|=1，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0取“=”，即SKIPIF1<0为等腰直角三角形，点O到直线AB的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是正实数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取“=”，SKIPIF1<0令函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，f(x)在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是8.故选：B【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则SKIPIF1<0；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：SKIPIF1<0.31．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线SKIPIF1<0上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为曲线在M处的切线的倾斜角SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0，所以a的取值范围是SKIPIF1<0．故选：D．32．（2021秋·河南濮阳·高三濮阳外国语学校校考阶段练习）若对任意正数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】原不等式即SKIPIF1<0，再利用基本不等式求得SKIPIF1<0的最大值，可得SKIPIF1<0的范围．【详解】依题意得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，又因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故选：B33．（2022·山西朔州·统考三模）若存在实数x，y，使得SKIPIF1<0成立，且对任意a，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数t的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据不等式组有解，得出SKIPIF1<0的一个范围，利用基本不等式得出SKIPIF1<0的又一个范围，两者的公共部分即为所求．【详解】SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，若存在实数x，y，使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0应满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以t的取值范围是SKIPIF1<0，故选：B．【高考必刷】一、单选题34．（2023·云南曲靖·统考一模）若SKIPIF1<0,则在“函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0”的条件下,“函数SKIPIF1<0为奇函数”的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先列出所有的结果数,由于函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立,可得SKIPIF1<0,在所有结果数中选出满足的情况,求出概率,根据SKIPIF1<0为奇函数可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,在所有结果数中选出同时满足两个事件情况,求出其概率,再根据条件概率的计算公式即可计算出结果.【详解】解:用所有的有序数对SKIPIF1<0表示满足SKIPIF1<0的结果，则所有的情况为:SKIPIF1<0,共9种,记“函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0”为事件A,因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,其中满足SKIPIF1<0的基本事件有:SKIPIF1<0共6种,故SKIPIF1<0．记“函数SKIPIF1<0为奇函数”为事件B．已知SKIPIF1<0是奇函数,且定义域为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．满足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的情况有SKIPIF1<0共3种,所以,即同时满足事件A和事件B的情况有SKIPIF1<0共3种,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:C3