新高考数学二轮复习培优讲义13 等差数列和等比数列的计算和性质 含解析

解密13等差数列和等比数列的计算和性质【考点解密】1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2．数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))4．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an5．等差数列的定义an－an-1=d(n≥2)6．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.7．等差中项若a，b，c成等差数列，则2b=a+c.b叫做a与c的等差中项．8．等差数列的下标和公式若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an.9．等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.10．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．11.等差数列的常用性质(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．(2)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为eq\f(1,2)d.12．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．13．等比数列的定义SKIPIF1<0＝q(n≥2)．14．等比数列的通项公式an＝a1·qn－1=am·qn－m．15．等比中项若a，b，c成等比数列，则b2=a·c．b是a与c的等比中项.16．等比数列的下标和公式若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.17．等比数列的前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1))18．等比数列的常用性质在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．【方法技巧】♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．(2)用作商比较法，根据eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数求最值．(2)利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项．(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或当an>0时，\f(an＋1,an)>1))，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或当an>0时，\f(an＋1,an)<1))，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1.【核心题型】题型一：等差数列的基本计算1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，根据题中条件求出SKIPIF1<0的值，利用等差数列的通项公式可求得SKIPIF1<0的表达式.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由等差数列的求和公式可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：D.2．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的各项之和为（

）A．1666 B．1654 C．1472 D．1460【答案】A【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.【详解】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有SKIPIF1<0项，是公差为12的等差数列，故新数列前17项的和为SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0的各项之和为1666.故选：A.3．（2023·重庆·统考一模）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【分析】设数列SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，等差数列通项公式，及等差数列前SKIPIF1<0项和公式可得答案.【详解】设数列SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B题型二：等差数列的基本性质4．（2022·浙江·模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求出SKIPIF1<0，再根据题设条件得到SKIPIF1<0，构建新函数并利用导数可判断SKIPIF1<0的范围，从而可判断SKIPIF1<0的范围，再根据新函数的性质可得SKIPIF1<0的范围.【详解】因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为等差数列，故SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故A错误，B正确.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故CD错误.故选：B.【点睛】思路点睛：数列中的多变量的存在性问题，可根据数列的性质合理构建新函数，再利用导数等工具判断变量的范围，在大小比较的过程中，注意结合函数的性质来处理.5．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是各项不全为零的等差数列，前n项和是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则正整数m＝（

）A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，然后根据等差数列的性质得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）设正项等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得SKIPIF1<0，将代数式SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，展开后利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】由SKIPIF1<0是等差数列，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：B．题型三：等差数列的函数7．（2022·全国·校联考模拟预测）设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用等差数列求和公式可化简已知不等式得到数列SKIPIF1<0为递增的等差数列；结合SKIPIF1<0可确定当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由此可得结论.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为递增的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0有最小值，最小值为SKIPIF1<0.故选：A.8．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为单增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先说明充分性，由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0为单调递增数列，设公差为SKIPIF1<0，表达出SKIPIF1<0，结合对称轴得到SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0先增后减，从而充分性不成立；再举出反例得到必要性不成立.【详解】若SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为单调递增数列，设公差为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，此时对称轴SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0先增后减，所以数列SKIPIF1<0不是单调数列，充分性不成立，若数列SKIPIF1<0为单增数列，设等差数列SKIPIF1<0公差为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，满足数列SKIPIF1<0为单增数列，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故必要性不成立，故“SKIPIF1<0”是“数列SKIPIF1<0为单增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D9．（2019·福建福州·统考模拟预测）设正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1179 B．1178 C．2019 D．2018【答案】B【分析】利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系求出数列SKIPIF1<0的通项公式，进而求得SKIPIF1<0的通项公式，以2019的整数倍数作为分类依据求出部分SKIPIF1<0的值，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0②，①式减②式可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<01178.故选B．【点睛】本题考查数列综合，利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系求解数列通项公式，数列的函数特性，属于中档题.题型四:含绝对值的等差数列前项和10．（2022·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知数列SKIPIF1<0的前n项之和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．61 B．65 C．67 D．68【答案】C【分析】首先运用SKIPIF1<0求出通项SKIPIF1<0，判断正负情况，再运用SKIPIF1<0即可得到答案．【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，据通项公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选C．【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意SKIPIF1<0的情况，是一道基础题．11．（2019秋·福建福州·高三校考期中）已知直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0互相平行且距离为SKIPIF1<0.等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为A．60. B．52 C．44 D．36【答案】B【分析】根据平行线的距离求出SKIPIF1<0，以及SKIPIF1<0，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和．【详解】由两直线平行得SKIPIF1<0，由两平行直线间距离公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选B．【点睛】本题考查两平行直线的距离及等差数列SKIPIF1<0的前n项的绝对值的和，属于中档题．12．（2023·高三课时练习）设等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)的公差为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则下列说法正确的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的值可能为奇数C．存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意，设出绝对值函数SKIPIF1<0，根据绝对值函数的性质判断即可．【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足（SKIPIF1<0），舍去．②当SKIPIF1<0时，由（SKIPIF1<0）得SKIPIF1<0为平底型，故SKIPIF1<0为偶数SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的大致图像为：则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故A正确．由SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0故不存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，C错SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故D错③当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0轴对称，故只需研究SKIPIF1<0故令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0由②知SKIPIF1<0为平底型，故SKIPIF1<0为偶数SKIPIF1<0，故B错令SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A正确由②知，不存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，故C错由②知，SKIPIF1<0，故D错综上所述，A正确,BCD错误故选A.【点睛】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题．题型五：等差数列奇数或偶数和问题13．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的项数为奇数，其中所有奇数项之和为SKIPIF1<0，所有偶数项之和为SKIPIF1<0，则该数列的中间项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】本题可设等差数列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0项，然后通过SKIPIF1<0即可得出结果.【详解】设等差数列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0项，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，中间项为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B.14．（2020春·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1300C．2600 D．2602【答案】C【分析】根据递推关系式求出数列的性质：奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，再由等差数列的前SKIPIF1<0和公式即可求解.【详解】奇数项：SKIPIF1<0，偶数项：SKIPIF1<0，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：C．【点睛】本题考查了数列的递推关系式以及等差数列的前SKIPIF1<0和公式，需熟记公式，属于基础题.15．（2021·全国·统考模拟预测）等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则n=（

）A．13 B．12 C．24 D．25【答案】D【分析】先由SKIPIF1<0，转化为SKIPIF1<0，再应用等差数列的性质，将等差数列求和问题转化为中间项求解即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D.【点睛】等差数列常用结论：若等差数列SKIPIF1<0的项数为偶数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若等差数列SKIPIF1<0的项数为奇数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型六：等差数列前n项和的性质16．（2022·四川·四川师范大学附属中学校考二模）设等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【分析】先由等差数列的前SKIPIF1<0项和公式设出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再按照SKIPIF1<0直接计算即可.【详解】由等差数列的前SKIPIF1<0项和公式满足SKIPIF1<0形式，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：B.17．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【分析】由等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和的性质可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也成等差数列，即可得出．【详解】解：由等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和的性质可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：B．18．（2020·安徽淮北·统考一模）设等差数列SKIPIF1<0的公差不为0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．0 B．-2020 C．2020 D．4040【答案】D【解析】观察等式构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为递增的奇函数，可得SKIPIF1<0，进而可得答案.【详解】由题意可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为递增的奇函数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为奇函数，其图像关于原点对称，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】本题考查等差数列求和，利用等式构造函数求得SKIPIF1<0是关键，属于中档题.题型七：等比数列的基本计算19．（2023·河南郑州·统考一模）记SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．32 B．31 C．63 D．64【答案】B【分析】由已知等式解出数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式计算即可．【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：B20．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0是它的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．35 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据等差中项的性质得到SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，利用等比数列的基本量求得SKIPIF1<0和公比SKIPIF1<0，再由等比数列的求和公式即可得到SKIPIF1<0.【详解】因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：C.21．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据给定条件，判断SKIPIF1<0为等比数列，再利用等比数列前n项和公式计算作答.【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是首项为2，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0.故选：D题型八：等比数列的性质22．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）SKIPIF1<0为公比大于1的正项等比数列，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，若正实数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先利用等比数列的性质得到SKIPIF1<0，结合韦达定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0或4，结合公比SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用基本不等式“1”的妙用求出SKIPIF1<0的最小值.【详解】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为公比大于1的正项等比数列，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，将其代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或4，设公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，不合题意，舍去；所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故选：B23．（2022·山东·统考模拟预测）已知等比数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．20 B．10 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用等比数列的性质可得：SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0进行化简后求值即可.【详解】在等比数列SKIPIF1<0中，由等比数列的性质可得：SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0．故选：B24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的两个不同的零点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．12 D．18【答案】A【分析】根据函数零点即为方程的根，结合根与系数的关系，利用等比数列的性质，即可求得结果.【详解】由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两个不同的实数根，则由根与系数的关系，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等比数列的性质得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.题型九：等比数列前n项和的性质25．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由题知当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而分SKIPIF1<0为奇数和SKIPIF1<0为偶数讨论求解即可.【详解】解：由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0为奇数，则SKIPIF1<0为3的倍数，SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的倍数，不合题意；当SKIPIF1<0为偶数，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B26．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公比为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【分析】根据SKIPIF1<0，解关于SKIPIF1<0的方程，注意SKIPIF1<0还是SKIPIF1<0的讨论，代入公式即可求解.【详解】设数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，与题中条件矛盾，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B【点睛】注意公式应用的前提，以及题中没有说明SKIPIF1<0的取值时，要考虑SKIPIF1<0是否为1.27．（2021·陕西安康·统考二模）已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．9 B．10 C．12 D．17【答案】B【解析】利用已知条件求得SKIPIF1<0，由此求得所求表达式的值.【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为q，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B题型十：等差等比的实际应用28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（

）A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米【答案】C【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离SKIPIF1<0.故选：C29．（2022春·新疆·高三校考阶段练习）北京SKIPIF1<0年冬奥会开幕式用“一朵雪花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为SKIPIF1<0的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；SKIPIF1<0．依次进行“SKIPIF1<0次分形SKIPIF1<0”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于SKIPIF1<0的分形图，则SKIPIF1<0的最小值是（

）（参考数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】分析可知“SKIPIF1<0次分形”后线段的长度为SKIPIF1<0，可得出关于SKIPIF1<0的不等式，解出SKIPIF1<0的取值范围即可得解.【详解】图1的线段长度为SKIPIF1<0，图2的线段长度为SKIPIF1<0，图3的线段长度为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0次分形”后线段的长度为SKIPIF1<0，所以要得到一个长度不小于SKIPIF1<0的分形图，只需满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以至少需要SKIPIF1<0次分形．故选：C.30．（2022秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为SKIPIF1<0；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为SKIPIF1<0．已知标准对数视力SKIPIF1<0对应的国际标准视力准确值为SKIPIF1<0，则标准对数视力SKIPIF1<0对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据给定条件，确定标准对数视力SKIPIF1<0从下到上的项数，再利用等比数列计算作答.【详解】依题意，以标准对数视力SKIPIF1<0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力SKIPIF1<0为该数列第3项，标准对数视力SKIPIF1<0对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为SKIPIF1<0，因此，标准对数视力SKIPIF1<0对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为SKIPIF1<0.故选：D【高考必刷】一、单选题31．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前9项之和为（

）A．24 B．27 C．48 D．54【答案】B【分析】根据等差数列下标和性质求出SKIPIF1<0，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】解：在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B32．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0成等比数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．17 B．19 C．21 D．23【答案】A【分析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题意得出关于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的方程组，解出这两个量的值，进而可求得SKIPIF1<0的值.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0成等比数列，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0①.又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②.由①②得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A33．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（

）A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以乙分得SKIPIF1<0（文），丁分得SKIPIF1<0（文），故选：A.34．（2023·广东深圳·统考一模）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的SKIPIF1<0，按照等比数列即可求得结果.【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的SKIPIF1<0，所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的SKIPIF1<0，由此可得，第SKIPIF1<0次操作之后所得图形的面积是SKIPIF1<0，即经过4次操作之后所得图形的面积是SKIPIF1<0.故选：A35．（2023·四川绵阳·统考二模）已知等比数列SKIPIF1<0的各项均为正数，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0成立的最小正整数SKIPIF1<0的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】题意可知比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0求解即可得答案.【详解】解：由题意可知比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为12.故选：C.36．（2023·上海·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的各项均为实数，SKIPIF1<0为其前n项和，若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<