第二十三章 旋转（压轴题专练）（原卷版）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十三章旋转（压轴题专练）一、填空题1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）如图，两块完全相同的含角的直角三角板和叠合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转角，有以下四个结论：①当时，与的交点恰好为中点；②当时，恰好经过；③在旋转过程中，存在某一时刻，使得④在旋转过程中，始终存在；共中结论正确的有多少个（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点的坐标是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；；，其中正确的结论是（）

A． B． C． D．4．（2023春·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且．给出以下四个结论：

①，②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（

）

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知四边形是边长为1的正方形，点E、点F分别在边、上，，连接，连接分别交、于点G、点H．下列结论：①；②；③；④的面积的最大值为．其中所有正确结论的序号是​（）​A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④二、填空题6．（2023春·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，平行四边形中，，E是边上一点，且是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是．

7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是边长为6的等边三角形，点E为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，，，点P在内，且，，，则的长为．

9．（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是．

10．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）如图，矩形的对角线和交于点O，，，在的延长线上有一动点E，连接，将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为．

11．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．①与面积相同；②；③若，连接和，则；④若，，，则．三、解答题12．（2022秋·山西大同·九年级统考阶段练习）综合与探究问题情境：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形的对角线和相交于点，点是正方形内的一点，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，直线经过点．特例探究：（1）如图2，当点与点重合时，判断和的数量关系并证明；操作探究：（2）如图1，当点与点不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由；类比探究：（3）如图3，将“正方形”改为“菱形”，将“绕点逆时针旋转得到”改为“绕点逆时针旋转得到”，其余条件不变，请直接写出，和之间的数量关系．

13．（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．

(1)求的度数；(2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒．①当旋转至图（2）时，此时，求a的值；②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值．14．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图①在正方形中，连接，点E是边上的一点，交于点F，点P是的中点，连接．

(1)如图①，探究与有何关系，并说明理由；(2)若将绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接，取的中点P，连接，请问在该条件下，①中的结论是否成立，并说明理由；(3)如果把绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接，取的中点P，连接，请你直接写出与的关系．15．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．

(1)在图1中，______；(2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？16．（2023春·山东济南·八年级统考期末）综合与实践图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图，在中，，，，分别为，边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转．

(1)观察猜想若，将绕点旋转到如图所示的位置，则与的数量关系为______；(2)类比探究若，将绕点旋转到如图所示的位置，，相交于点，猜想，满足的位置关系，并说明理由；(3)拓展应用如图，在的条件下，连结，分别取，，的中点，，，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值．17．（2022秋·安徽合肥·九年级统考阶段练习）【操作发现】（1）如图1，在等边中，点，在直线上，为边上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是______，线段与直线所夹锐角的度数是______【类比探究】（2）如图2，在等边中，点，在直线上，若为延长线上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，在正方形中，点，在直线上，为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若正方形的边长为2，连接，当时，求线段的长．18．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）已知正方形的边长为4．

(1)如图1，点P在直线上运动，连接，将线段绕点C按顺时针旋转得到，连接．①若点P与A重合，则___________．②若，求的长．(2)如图2，点P在边上（P不与A，D重合）运动，且，连接、．将线段绕点P逆时针旋转得到，将线段绕点P顺时针旋转得到，设，，求关于x的函数表达式．19．（2022秋·河南周口·九年级统考期中）如图，边长分别为和的两个等边三角形纸片和，连接，．

(1)若点、、在同一直线上，如图，请直接写出线段与之间的数量关系．___________(2)操作：不动，将绕点逆时针方向旋转任意角度，如图，（1）中的结论是否还成立，若成立，仅就图的情形证明你的结论；若不成立，请说明理由．(3)根据（2）的操作过程，若，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大长度是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小长度是多少？20．（2019秋·广东广州·九年级广州市第七十五中学校考期中）如图，已知，点是直线上的动点．

(1)请作出线段绕点逆时针旋转后的对应线段；(2)①当恰好落在轴上，求出此时的坐标．②已知点的横坐标为，请直接写出点的坐标（用含的代数式表示）．③在②的基础上，求出纵坐标与横坐标的函数关系式．④求线段的最小值．21．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，其中点与点，点与点分别是对应点，连接．

(1)如图，若点，，第一次在同一直线上，与交于点，连接．①求证：平分．②取的中点，连接，求证：．③若，，求的长．(2)若点，，第二次在同一直线上，，，直接写出点到的距离．22．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应），直线交直线于点G．

(1)求直线的解析式；(2)点P为y轴上一动点，若，求点P的坐标；(3)如图2，直线，交x轴，y轴于F，E两点，点N为平面直角坐标系内一点．若以A，E，F、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．23．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．

（1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；【模型应用】（2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；【模型迁移】（3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段EF的长．24．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）和都是等腰直角三角形，且，．(1)如图①，若的顶点A在的斜边上，求证：；(2)将绕点C旋转到如图②所示位置，点B在线段上，连，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由．(3)在绕点C旋转过程中，当A、E、B三点在同一条直线上时，若，，请直接写出的长．25．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．

(1)分别求出线段和线段所在直线解析式；(2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）；(3)在（2）的条件下，①当点移动到的边上时，求点坐标；②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标．26．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）如图1，在中，过点作于，过点作于，交于，．

(1)求证：：(2)如图2，过点作射线，在射线上取一点，使，连接，若平分，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点以每秒的速度逆时针旋转至，旋转时间为，当与重合时停止，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，直接写出此时的值．27．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在中，，点D是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接．

(1)求证：；(2)若，时，求的长；(3)在点D运动的过程中，线段上存在一点P，使的值最小，设的长为m，直接写出的最小值（用含m的式子表示）．28．（2023·全国·九年级专题练习）定义共弦、共弦角如下：共弦：将正多边形绕某顶点顺时针旋转得到的新正多边形与原正多边形相交于一点，连接旋转中心与交点，把这条线段叫做正多边形的共弦；图以正四边形为例，图以正五边形为例，线段即为正四（五）边形的共弦．共弦角：共弦与离原正多边形最近的边组成的角叫做共弦角；如图1，是共弦角，因此

(1)如图1，四边形是正方形．求证：，并求出的值；(2)依照（1）的方法，有人求出了以下正多边形的共弦角：正五边形：正六边形：正七边形：请你根据以上结论，猜想任意正边形的共弦角的度数（用含的代数式表示）？并写出这样猜想的理由．(3)请审视以上数学问题、问题解决以及猜想过程，提出至少两个与之有关的、你认为需要进一步探究的的数学问题．29．（2023·全国·九年级专题练习）课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想”【阅读理解】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本图形”，这个模型称为“手拉手模型”．当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．【方法应用】

(1)如图1，在等腰中，，，点D在内部，连接，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，，．请直接写出和的数量关系：__________，位置关系：__________；(2)如图2，在等腰中，，，，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，，，取中点M，连接．①当点D在内部，猜想并证明与数量关系和位置关系；②当B，M，E三点共线时，请直接写出的长度．30．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．

(1)发现问题：发现的大小不变为．(2)分析问题：当时，分析判断的形状是三角形．(3)解决问题：请直接写出当为度时，是等腰三角形．31．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到．连接，延长交于点F．

(1)当时，如图1，①求的度数；②求证：．(2)当时，如图2，在旋转过程中，试探究与是否仍然相等，若相等，请说明理由；若不相等，请求出它们的数量关系．32．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）【初步感知】（1）已知，在中，．如图1，将边，同时绕着点分别按逆时针、顺时针方向旋转，得、，连接，，求证：；【类比探究】（2）如图2，在，，若，，将边绕着点逆时针旋转，得，连接，求的长．【拓展应用】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A为第二象限内一点，且，点B坐标为，若将边绕点A逆时针旋转得，点D恰好在y轴上．将边绕点B顺时针旋转得，求点C坐标．

33．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目：如图，与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与射线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点．

(1)如图1，点，O与点重合时，点分别在线段上，求证：；(2)当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：如图2，当点，在的延长线上时，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由．34．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践

(1)如图，在中，，，将边绕点逆时针旋转得到线段，是边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则与的数量关系为___________，位置关系为____________；(2)若是延长线上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图证明；若不成立，请说明理由；(3)如图在(2)的条件下，当点落在的边上时，求的长．35．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）综合与探究问题情境：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形的对角线和相交于点O，点E是正方形内的一点，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，E的对应点分别为点D，F，直线EF经过点O．特例探究：（1）如图2，当点O与点E重合时，判断和的数量关系并证明；操作探究：（2）如图1，当点O与点E不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由；类比探究：（3）如图3，将“正方形”改为“菱形”，将“绕点A逆时针旋转得到”改为“绕点A逆时针旋转得到”，其余条件不变，请直接写出，和之间的数量关系．

36．（2023春·山东济南·八年级统考期末）操作发现：（1）如图1，为等边三角形，点E是边上任意一点（），将绕点C顺时针旋转60°，得到，将三角板的30°角按如图所示方式放置，与边交于点D，E．连接．

请直接写出结果：①＝°；②与的数量关系是；类比探究：（2）如图2，在中，，，点E是边上的任意一点（），将绕点C顺时针旋转90°，得到．将一个含45°角的三角板按如图所示方式放置，与边交于点D，E．①求的度数；②若，，试求的长．37．（2023春·河南信阳·八年级校考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

(1)梳理，把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．，，点、、共线．根据，易证，得．(2)引申如图，四边形中，，点、分别在边、上，，