第二十四章 圆（知识归纳+题型突破）（十一大题型176题）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十四章圆（知识归纳+题型突破）1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系.2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.4.了解三角形的内心与外心.5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念(例75).6.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形.7.*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线(例76).8.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等.9.会计算圆的弧长、扇形的面积.10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.一、圆的基本性质1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补.二、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞rd＝rd＜r3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.6.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等7.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等三、正多边形和圆1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2四、弧长和扇形面积的计算1..弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝2.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：圆锥S侧==πrl，S=πr（l+r）注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积题型一垂径定理及其应用【例1】（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，（非直径）为的两条弦，与交于点，请从①为直径；②为中点；③为中点；中选择两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，并完成证明．

【答案】见解析【分析】分三种情况分别进行推理论证即可．【详解】（1）知①，②推③：如图，连接，

为中点，，为中垂线，∵为直径，∴,所以为弧中点,（2）知①③推②：如图，连接，为中点,,又,为的中垂线,为中点（3）知②③推①：如图，连接，

∵为中点，∴,,∵为中点，∴，为中垂线,即为圆直径.【点睛】此题考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．【例2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米的厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？

【答案】3米【分析】过作于，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：过作于，

则，米，由垂径定理得：（米），在中，，米，米，由勾股定理得：（米），即这辆卡车的高为3米．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．巩固训练：1．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】由三角形有一个外接圆可得答案．【详解】解：∵要恢复圆形镜子，则碎片中必须有一段完整的弧，才能确定这条弧所在的圆的圆心和半径，∴只有③符合题意，故选C【点睛】本题考查的是根据残弧确定残弧所在圆的圆心与半径，理解题意是解本题的关键．2．（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点；（2）作直线交于点．

若，则的长等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解．【详解】解：根据作图可得，则，在中，∴，故选：C．【点睛】本题考查了作垂线，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键．3．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．【详解】解：是的一部分，是的中点，，，．设的半径为，则．在中，，，，，即的半径为．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．4．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度．则截面圆中弦的长为（

）

A． B．6 C．8 D．【答案】B【分析】由垂径定理和勾股定理分别求出的长，即可得出答案．【详解】解：如图所示，

由题意得：，，，∵，∴，在中，根据勾股定理得，，∴，即截面圆中弦的长为，故选：B．【点睛】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．5．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，为的一条弦，直径于点E，连接、，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先由垂径定理求得，再由，得出，然后根据勾股定理求出，最后证明是等边三角形，得出．【详解】解：∵直径于点E，∴，，∵，∴，，由勾股定理，得，即，∴，∵，∴是等边三角形，∴．故选：B．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．6．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）如图，当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位：），那么该圆的半径为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，过点O作于点D，由垂径定理可知，，设，则，在中利用勾股定理求出r的值即可．【详解】解：连接，过点O作于点D，

∵，∴，设，则，在中，，即，解得．故选：A．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（

）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】A【分析】作于点，确定盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，进而结合垂径定理以及勾股定理进行计算即可．【详解】解：如图所示，作于点，盛水桶在水面以下的最大深度即为的长度，

∵，∴根据垂径定理，，∵，∴中，，∴，∴盛水桶在水面以下的最大深度为2米，故选：A．【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，理解圆的基本性质，熟练运用垂径定理是解题关键．8．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则．

【答案】8【分析】延长交于E点，交于点F，连接，由与垂直，根据垂径定理得到E为的中点，然后利用D是的中点和对称即可求出的长，从而求出，然后由的长，根据勾股定理求出的长，进而得出半径的长．【详解】解：延长交于E点，交于点F，连接，

∵，∴E为的中点，∵，∴，∵D是的中点，，∴，，根据对称的性质可得：，，在中，根据勾股定理可得：即∴（负值舍去）故答案为：8．【点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长并连接作辅助线是本题的突破点．9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，、、都是的弦，，，垂足分别为、，若，则的长为．【答案】【分析】根据垂直定理得出，，根据三角形的中位线性质得出，再求出即可．【详解】解：，，垂足分别为、、过圆心，过圆心，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的中位线和垂直定理，能根据垂径定理求出和是解题的关键．10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦上，，，，则这个花坛的半径为．

【答案】【分析】通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可．【详解】解：如图，连接，过点O作，垂足为D，

∵是弦，，，，∴，∴，∴，∴．故答案为：20．【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，已知是直径，为上一点不与、两点重合），弦过点，．

（1）若，，则的长为；（2）当P点在上运动时（保持不变），则．【答案】【分析】（1）作于，得到，由，，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．（2）由，，得到，因此，得到，即可解决问题．【详解】解：（1）作于，

，，，，，，，是等腰直角三角形，，，．故答案为：．（2）由（1）知，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题．12．（2022秋·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，过内的一点P画弦AB，使P是AB中点．（保留作图痕迹，不写画法）

【答案】见解析【分析】先作过P点的半径，然后过P点作的垂线交于A、B，则满足条件．【详解】解：如图，为所作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理．13．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【答案】(1)5米(2)2米【分析】（1）作于点E，交于点D，由垂径定理可得，，再由勾股定理即可求出圆的半径；（2）当米时，米．在中，由勾股定理可得，，则米，即可求出的长．【详解】（1）解：如图，作于点E，交于点D．则米，米．设圆的半径为r米，在中，，∴，解得，∴该圆的半径为5米；

（2）解：当米时，米．在中，，∴，∴米，∴（米）．答：水面下盛水筒的最大深度为2米．【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．14．（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，求点C到弦所在直线的距离．【答案】点C到弦所在直线的距离为米．【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．【详解】解：如图2，连接交于，连接，点为运行轨道的最低点，，米，（米，在中，（米，点到弦所在直线的距离米，点C到弦所在直线的距离为米．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．15．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图所示，一装有部分油的圆柱形油罐的横截面．若油面宽，油的最大深度为，

(1)用尺规作图（保留作图痕迹，不用证明），找出圆心O；(2)求该油罐横截面的半径．【答案】(1)见解析(2)该油罐横截面的半径为．【分析】（1）在横截面上取一点C，连接，作、的垂直平分线，它们的交点即为圆心O；（2）如图，连接，交于E，设该油罐横截面的半径为r，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，求解即可．【详解】（1）解：圆心O的位置如图所示：

（2）解：如图，连接，交于E，设该油罐横截面的半径为r，∵，∴，由题意得：，∴，在中，，∴，解得：，即该油罐横截面的半径为．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．16．（2023·江苏·九年级假期作业）平面直角坐标系中，点、、、在上．(1)在图中清晰标出点P的位置；(2)点P的坐标是___________，的半径是___________．【答案】(1)见解析(2)；5【分析】（1）根据垂径定理可知，点P的坐标是弦，的垂直平分线的交点；（2）根据两点间距离公式求出圆的半径即可．【详解】（1）解：∵弦的垂直平分线是，弦的垂直平分线是，∴与的交点即为圆心P，如图所示：（2）解：根据解析（1）可知，点P的坐标为，的半径为：，故答案为：；5．【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握垂径定理及其推论，是解决本题的关键．17．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．(2)已知的半径为4，，求弦的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵与轴相切于点，∴轴．∵，∴，∴四边形是矩形．（2）如图，连接．

四边形是矩形，．在中，，．点为圆心，，．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．题型二圆心角、弦、弧【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是上的点，为直径，．

(1)求证：点C平分．(2)利用无刻度的直尺和圆规做出的中点P（保留作图痕迹）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，因为，得到，，又因为半径相等，则，即可证明点C平分；（2）分别以A、B为圆心，大于为半径，画弧交于一点，连接该点与圆心交于一点即为的中点P．【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，∴，，∵，∴，∴，∴点C平分；（2）解：如图所示：点P为所求：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及基本作图等知识内容，正确掌握基本作图的方法是解题的关键．巩固训练1．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校联考期中）下列说法正确的是（

）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等【答案】B【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．2．（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【详解】解：∵在中，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则．【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．

【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（2023·河北·统考中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(

)

A． B． C． D．a，b大小无法比较【答案】A【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．【详解】连接，

∵点是的八等分点，即∴，∴又∵的周长为，四边形的周长为，∴在中有∴故选A．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，是的直径，若，则的度数是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义求出的度数即可．【详解】解：∵，，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．6．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么．

【答案】【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．7．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为．【答案】50【分析】根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出．【详解】解：连接．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：50．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆的知识，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．8．（2022·广东湛江·一模）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=．

【答案】【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解．【详解】解：如图，连接，，

根据题意得，，，∴，，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键．9．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，是的直径，，，求的度数．

【答案】【分析】根据圆的性质进行计算即可得．【详解】解：在中，AB是的直径，∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等．10．（2022秋·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．

【答案】见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【详解】证明：，，

，即，

，

；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图所示，是的两条弦，且，则与的大小有什么关系？为什么？

【答案】相等，理由见解析．【分析】连接AD，利用圆心角、弧、弦的关系解答即可．【详解】解：相等．理由是：连接，

∵，∴，∴，∴．【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．12．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．

(1)连接，判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求圆O的半径；【答案】(1)，证明见详解(2)5【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；（2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可．【详解】（1）解：，理由如下：延长交于点，连接，

，，；（2）解：由（1）中结论，，，，设的半径为，则，在中，，即，解得：，即的半径为5．

【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．题型三圆周角定理及其应用【例4】（1）（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理求解即可．【详解】，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，熟记同圆中一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．（2）（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图，为⊙的直径，点在圆上且在直径的两侧，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，由圆周角定理即可求出的度数．【详解】解：连接，

∵为的直径，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．【例5】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，弦平分交于点．交于点D．连接，．

(1)求四边形的面积；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）四边形的面积可以分为两部分，分别求解两部分三角形的面积，即可求解；（2）作，根据直角三角形的性质，分别求得，，即可求解.【详解】（1）解：∵是的直径，∴,又∵弦平分，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，由勾股定理得，，解得，∴，；（2）解：作，如下图：

由（1）得，，∴是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，解得，∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴.【点睛】此题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质.巩固训练1．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，内接于，，的半径为2，则的长等于（

）

A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据圆周角定理求出，再根据半径，利用勾股定理计算结果．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（

）A． B．4 C．6 D．【答案】A【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接，根据作图知垂直平分，

∴，，∴，即，∵线段是半圆O的直径，∴，在中，根据勾股定理得，，故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质、直径所对的圆周角为直角、勾股定理知识，掌握相关的性质进行正确求解是解题的关键．3．（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）如图，为的直径，弦于点E，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由得到是等腰三角形，根据垂径定理得到垂直平分，则，利用圆周角定理得到即可．【详解】解：∵，∴是等腰三角形，∵为的直径，弦于点E，∴垂直平分，∴，∴．故选：A【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键．4．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，于，，连接．图中与相等的角有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据圆的基础知识可得，是等腰三角形，可证；根据平行线的性质可得；如图所示，延长交于点，连接，根据垂径定理可得，再根据同弧所对圆周角相等可得，由此即可求解．【详解】解：∵，∴是等腰三角形，∴，∵，∴，如图所示，延长交于点，连接，∵是直径，，∴，即，∴，∴根据垂径定理可得，，，∴，∵与所对弧相同，∴，∴；综上所示，与相等的角有，，，共个，故选：．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的基础知识（垂径定理）的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．5．（2023·河南安阳·统考一模）如图，四边形是⊙O的内接四边形，四边形是平行四边形，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由已知、根据“平行四边形对边相等”得：、，从而可得，即①结论正确；进而得出、都是等边三角形，可得③结论正确；由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得出，即②结论正确；由点的不同位置，的长度也发生变化可知④结论错误，即可得出结论；【详解】连接，∵四边形是平行四边形，结论正确；∴、都是等边三角形∴，即③结论正确；∴，即②结论正确；∵在优弧上（不含端点）∴随着点的不同位置，的长度也发生变化，不是常数，故④结论错误；综上所述，正确结论有3个；故选：C

【点睛】该题主要考查了圆部分知识点、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，解答该题的关键是掌握相关知识点并能够熟练运用.6．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，是的直径，、为上的点，且点在上．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆内接四边形的性质求出，再求出即可．【详解】解：，，，是直径，，．故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2023·全国·九年级专题练习）已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦把圆周分成两部分，∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆周角的度数为，优弧的度数为：，即：优弧所对的圆周角的度数为，∴弦所对圆周角的度数为或；故选：D．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系，解题的关键是注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．8．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图，在⊙O中，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案．【详解】如下图，连接，，，，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2022秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（

）

A．若点是的中点，则B．若，则C．若，则D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形【答案】D【分析】由圆的性质逐项判断即可得到答案．【详解】解：点是的中点，，，故选项A是真命题，不符合题意；为的直径，，即，若，则，，故选项B是真命题，不符合题意；若，则是等腰三角形，，，故选项C是真命题，不符合题意；由半径平分弦，不能证明四边形是平行四边形，故选项D是假命题，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了判断命题的真假、圆的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．10．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，，若弦，则．

【答案】【分析】根据等边对等角得出，再求出，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，得出根据三角形内角和定理得出答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键．11．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么．

【答案】【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．【详解】解：∵，∴，∵四边形内接于，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．12．（2023年辽宁省营口市中考模拟考试（一模）数学试卷）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则．

【答案】/61度【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论．【详解】解：如图，连接．

∵是直径，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．13．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，，，对角线平分，则边的长为．

【答案】【分析】连接，根据圆周角定理得到，利用直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，继而求出结果．【详解】解：连接，，是的直径，，对角线平分，，，，，，，，，．故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．14．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）有三个边长都为的正方形硬纸板，将这三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住．下面是三种不同的摆放类型：(1)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板的最小直径应为；(2)图①②③中能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板直径最小的是图(填序号)，最小直径为．【答案】③/【分析】（1）利用的圆周角所对的弦是直径，易知为圆的直径，应用勾股定理结论可得；（2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设，依据勾股定理列出方程可求半径，直径可得．最后比较圆①②③直径的大小，即可得出结论．【详解】解：（1）如下图，①∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，，∴为圆的直径．∵（cm）．圆①的直径为，故答案为：；（2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径，∴圆的半径为．∴圆②的直径为．

②如下图③，设圆心为O，与交于点P．连接．③由题意，垂直平分，．∴O在上，．设，则．在中，．在中，．∴．∴．解得：．∴ON=．∴圆③直径为．∵∴图①②③中能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板直径最小的是图③，最小直径为cm．故答案为：③，．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理，依据图形特点，正确找出圆心的位置是解题的关键．15．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，为半径为3的的直径，弦、相交于点E，，求的长．

【答案】【分析】先由，得出，再由又为半径为3的的直径，得到，，从而可求得，然后利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接，

∵，∴，又为半径为3的的直径，∴，，∴∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理及其推论求得是解题的关键．16．（2023·河南信阳·统考一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接．(1)求证：；(2)连接，，当__________时，四边形为菱形；(3)若，，则__________．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）设，在圆内接四边形中，，则，得出，即可得证；（2）根据四边形为菱形，得出，进而得出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；（3）连接在，中，勾股定理分别求得，在在中，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】（1）证明：，设．在圆内接四边形中，．．．；（2）若四边形为菱形，则．．同理．．．．为等边三角形．故答案为：．（3）如图，连接，，．在中，．在中，．如图，连接，则．．在中，．

故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，是上两点，，C为弧上一点．

(1)写出弦对的弧的度数；(2)若是劣弧的中点，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)60或120(2)菱形，见解析【分析】（1）在优弧上取一点，连接、，先由圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质即可得出答案；（2）证和都是等边三角形，则，根据菱形的判定方法即可得到结论．【详解】（1）解：在优弧上取一点，连接、，如图所示：

，，，；弦对的弧的度数为或；（2）菱形，理由：连接，

∵是弧的中点，∴，又∵，∴和都是等边三角形，∴，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．18．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，以为直径的半圆O经过斜边的两个端点，交直角边于点E，B、E是半圆弧的三等分点．请你仅用无刻度的直尺：(1)请在图①中画出一条的平行线；

(2)请在图②中画出一条直线平分面积．

【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图所示，连接，则即为所求；（2）如图所示，连接交于F，作直线，则直线即为所求．【详解】（1）解：如图所示，连接，则即为所求；∵为的直径，∴，∵在中，为斜边，∴，∴；

（2）解：如图所示，连接交于F，作直线，则直线即为所求；∵B、E是半圆弧的三等分点，∴，∴，∴点F为的中点，∴为的中线，∴直线平分的面积．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，三角形中线的性质，平行线的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．题型四点与圆的位置关系【例6】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由勾股定理求出的长度，再由点C在内且点B在外求解．【详解】解：在中，由勾股定理得，∵点C在内且点B在外，∴，故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理、明确判断的方法．巩固训练1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知的直径为，若点到圆心的距离为．则点与的位置关是（

）A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系即可得．【详解】解：由题意得：的半径为，点到圆心的距离为，点在外，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．2．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，在中，是斜边上的中线，以为圆心，为半径画圆，则下列各点中，在内的是（

）

A．点A B．点B C．点C D．点O【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．【详解】解：因为三角形是直角三角形又是斜边上的中线故三点均在上，只有点在内故选：D【点睛】本题考查直角三角形的“斜中半”定理．掌握定理结论是解题关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，，点在对角线上，圆经过点．如果矩形有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，连接，交于点F，作于点E，求得，再根据圆的运动过程，判断出r的取值范围即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴∵，∴∴由勾股定理得，，连接，交于点F，作于点E，

∵∴点O从点D开始向B移动，移到E时，的长度从1减到，再移到点F，此时，在这一范围内，，,∴当时，A，B都在圆外，不满足条件；当点O从点F移到点B时，，此时，，，∴当时，满足两点在圆内的条件；当，即，点O在点F的位置，，此时四点都在圆上，不满足条件；当，即，点O在点B的位置，此时，，A和B在圆内，点D在圆外，满足条件，故r的取值范围是：．故选：B．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确进行分类讨论是解答本题的关键．4．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于．【答案】3【分析】根据直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，计算圆的半径为3．【详解】∵直角的斜边长为6，∴这个三角形的外接圆的半径等于3，故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径计算，熟练掌握直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点是解题的关键．5．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为．【答案】12【分析】根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】解：∵是内一点，∴的直径为最小距离与最大距离的和，∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，∴的直径为，故答案为：12．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．6．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）是内一点，是上任意一点，若，则的半径为．【答案】【分析】根据点到圆上的距离分析即可求解．【详解】解：如图所示，∵是内一点，是上任意一点，，∴的直径为，∴的半径为，故答案为：．【点睛】本题考查了点到圆上的距离，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．7．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是.【答案】【分析】因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，所以半径比大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于或等于．【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外．因为点B在圆内，所以cm．当点A在圆上时，cm．当点A在圆外时，cm．因此：．故答案是：．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定⊙C的半径．8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，，，，经过，，三点．

(1)点的坐标为．(2)判断点与的位置关系．【答案】(1)(2)点在内【分析】（1）分别作的垂直平分线，交点即为点；（2）计算圆的半径与的长度，比较大小即可；【详解】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点，

坐标为：，（2）解：，，，，，点在内．【点睛】本题考查了三点确定圆，确定圆心的位置、点与圆的位置关系等知识点，准确找到圆心的位置是解题关键．题型五直线与圆的位置关系【例7】（1）（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知，P是上一点，.以r为半径作，若，则与直线OB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】B【分析】先根据题意画出图形，过点作，判断与半径的大小即可解答．【详解】解：如图：根据题意过点作，则,∵，∴，∴，∴，∵，∴，⊙P与OB的位置关系是相切．故选B．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、含直角三角形的性质等知识点，握直线与圆位置关系的判定方法是解题的关键掌．（2）（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．【详解】解：，∴，∵原点O在圆A的外部，∴，即，∵圆A与x轴相交，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键．【例8】（2022秋·九年级单元测试）如图，，，当的半径r为何值时，与直线相离？相切？相交？

【答案】见解析【分析】作于，根据含角的直角三角形的性质得出，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法即可得出结论．【详解】解：作于，如图所示：，，当时，和直线相离；当时，和直线相切；当时，和直线相交．

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、含角的直角三角形的性质；设的半径为，圆心到直线的距离为．若直线和相交；直线和相切；直线和相离．巩固训练：1．（2022秋·重庆·九年级重庆十八中校考周测）若的直径为1，圆心O到直线l的距离是方程根，则与直线l的位置关系是（）A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交【答案】B【分析】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案．【详解】解：，，解得：，点到直线距离是方程的一个根，即为1，点到直线的距离，，，直线与圆相离．故选：B．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．2．（2022秋·九年级单元测试）已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答．【详解】如图，

当点与重合时，与直线相切；当点与不重合时，与直线相离，∴与直线的位置关系是相切或相离．故选：D．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．3．（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（

）

A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【答案】D【分析】由勾股定理求出，再根据等面积法求出斜边上的高为，再根据半径的情况，分别作出图形，进行判断即可得到答案．【详解】解：，，，斜边上的高为：，当时，画出图如图所示：

，此时在圆内部，与只有一个交点，当时，画出图如图所示，

，此时与只有一个交点，当时，画出图如图所示：

，此时与只有一个交点，三人的答案合在一起才完整，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．4．（2023·江苏·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是．【答案】相切【分析】求出圆心到x轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案．【详解】解：如图，作轴与点A，作轴与点B，∵点，∴，∵的半径为4，∴与x轴相切，故答案为：相切．

【点睛】本题考查直线与圆的位置的关系，理解圆心到直线的距离与半径的关系是正确判断直线与位置关系的基本方法．5．（2022秋·九年级单元测试）平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么与轴的位置关系是．【答案】相交【分析】根据圆心坐标可得出点P到y轴的距离，再与圆的半径比较，即可得出结论．【详解】解：的圆心坐标为，点到轴的距离为，∵与轴相交，故答案为：相交．【点睛】本题考查的是点到坐标轴的距离、圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离；小于半径，直线与圆相交；等于半径，则直线与圆相切．6．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是．【答案】【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可.【详解】解：∵直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，∴d的取值范围是；故答案为：.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交；反之也成立.7．（2022秋·九年级单元测试）已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是．【答案】【分析】若直线和圆相离，则应满足即可．【详解】解：直线和圆相离，且点到直线的距离为5，，故答案为：．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相离，则应满足是解题的关键．8．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．

【答案】/【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．【详解】解：的圆心P的坐标为，，的半径为2，，，，当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，平移的距离d的取值范围是，故答案为：．

【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．9．（2022春·九年级课时练习）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标．【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标．【详解】如图，与分别切AB于D、E．由，，易得，则A点坐标为．连接、，则、，则在中，，同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为，当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为，横坐标为整数的点P的坐标为、、．故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键．题型六切线的性质和判定【例9】（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点E在弦的延长线上，过点E作交于点D，若平分．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）如图所示，连接，根据等边等角和角平分线的定义证明，进而证明，由，得到，据此即可证明结论；（2）连接交于，根据圆周角定理可得，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出的长，进而求出，再求出的长，根据矩形的判定与性质求出的长，即可求出的长．【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵，∴，∵平分，∴∴，∴，∵，∴又∵是的半径，∴是的切线；（2）解：连接交于，如图所示，∵为直径，∴，又∵，∴，

∴，∴为的中点，即，又∵，∴根据勾股定理得：，∴，∴，∴，∵，，，∴四边形为矩形，∴，∴．【点睛】本题考查切线的判定，周角定理，平行线的判定和性质，矩形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理，综合利用相关的知识解决问题是本题的关键．【例10】（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接延长，交点E．

(1)求证：；(2)如果，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由切O于点D，得到，由于，得到，得出，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结论；（2）由平行线的性质可得，利用直角三角形所对的边是斜边的一半，再可利用勾股定理求出的长，根据，求出，利用直角三角形所对的边是斜边的一半即可求出．【详解】（1）证明：如图，连接，

切于点，．，，，，，，．（2）解：，，，，，是直角三角形，，，设的长为，则的长为，，，，解得：或（舍去），，，，，，交的延长线于点C，，，．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质及直角三角形中所对的边是斜边的一半，正确的画出辅助线是解题的关键．【例11】（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）探究问题：(1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．(2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径．(3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径．【答案】(1)的周长，证明见解析(2)6cm(3)1或2【分析】（1）根据切线长定理由、分别切于、得到，由于过点的切线分别交、于点、，再根据切线长定理得到，，然后根据三角形周长的定义得到的周长，用等线段代换后得到三角形的周长等于；（2）连接，，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论；（3）根据题意作出图形，设与射线、射线相切于，，与相切于，于是得到，连接，，，推出四边形是正方形，得到，设的半径为，根据切线长定理列方程即可得到结论；得到三角形的内切圆，根据勾股定理和三角形面积公式可得半径为1．【详解】（1）解：的周长，证明：、分别切于、，，与为的切线，，同理得到，的周长；（2）解：如图1所示，连接，，是的切线，，，的周长为，，，的半径为；（3）解：如图2所示，设与射线、射线相切于，，与相切于，则，连接，，，，，，四边形是正方形，，设的半径为，，，，，，，即，．如图3所示，，，解得．的半径为2或1．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，三角形的周长公式，正方形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．巩固训练：1．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）如图，是的切线，点为切点，交于点，，点在上，连接，，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据切线的性质得出，进而得出，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接，

∵是的切线，∴，∵，∴，∵∴，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2023秋·青海西宁·九年级统考期末）如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．是等边三角形【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理即可判断．【详解】解：由切线长定理可得：，，∴，，∴，故A，B，C正确，而中只满足，无其他条件证明是等边三角形，故选D．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理，关键是利用切线长定理得到垂径定理的前提条件．3．（2023·山东滨州·统考一模）如图，与分别相切于点A，B，，则（）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据切线长定理得到，由此推出是等边三角形，即可得到答案．【详解】解：∵与分别相切于点A，B，∴，∵，∴是等边三角形，∴．故选：B．【点睛】此题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，熟记切线长定理是解题的关键．4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则半径为．【答案】2【分析】直接利用切线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出的半径．【详解】解：连接，为半径的圆与相切于点，，，，，，，，，设，则，故，解得：，则的半径为：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确得出的度数是解题关键．5．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图，是的切线，A、B为切点，且，若，则．

【答案】【分析】运用切线长定理可得是等边三角形，解题即可．【详解】解：∵是的切线，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．6．（2022秋·安徽合肥·九年级统考阶段练习）如图，已知与的边，，的延长线分别相切，，请完成下列问题：

（1）°；（2）若的半径为3，则的周长．【答案】60【分析】（1）如图，设，，分别切于点，，，连接，，，证明，，，可得．（2）如图，连接，求解，，．证明，，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，设，，分别切于点，，，连接，，．∵，是的切线，，∴，∴．

∵，是的切线，，是的切线，∴，，∴．故答案为：；（2）如图，连接，

∵，是的切线，，∴，∵，∴，．∵，是的切线，，是的切线，∴，，∴的周长．故答案为：．【点睛】本题考查的是切线的性质，切线长定理的应用，熟记切线长定理并灵活应用是解本题的关键．7．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为．

【答案】56°【分析】由圆的切线的性质，得，结合得．由切线长定理得到，得是等腰三角形，从而可得．【详解】∵是的切线，为的直径，∴，即．∵，∴．又∵切于点A、C，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质定理和切线长定理．8．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）等腰和如图放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5.若两个图形同时向右移动，的速度为每秒2个单位，的速度为每秒1个单位，同时的边长、都以每秒0.5个单位沿、方向增大.的边与圆第一次相切时，点运动的距离是个单位长度.【答案】【分析】设运动的时间为秒，根据三角形与圆第一次相切时三角形所走的路程等于与之间的距离加上所经过的路程解答．【详解】解：设经过秒的边与圆第一次相切，移至△处，与所在直线的切点移至处，如图，与切于点，连接并延长，交于，设与直线切于点，连接，则，直线，由切线长定理可知，设，则，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，也是等腰直角三角形，，，则，，，，，由切线长定理得，，解得：，点运动的距离为,故答案为：．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合常见的函数进行综合分析是解题的关键，也考查了学生数形结合的分析能力．9．（2023秋·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，(1)求证：是的切线．(2)当，时，求的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）如图，连接、，证明，则，可证是的切线；（2）由，可得，由，可得，由，，可得，则，由，可得，由勾股定理得，，进而可求的半径．【详解】（1）证明：如图，连接、，在和中，∵，∴，∴，∴是的切线；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，由勾股定理得，，∴的半径为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边对等角，平行线的判定，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．

(1)求证：是的切线；(2)判断的形状，并说明理由；(3)当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)是等腰三角形，理由见解析(3)【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证；（2）根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论；（3）根据，，设，则，等边对等角得出，则．【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵∴，即，又是的直径，∴是的切线；（2）∵，是的直径，∴，，∴，∵，，∵，∴，又，∴，∴是等腰三角形，（3）∵，，设，则，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，交于点E，过点D作交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由垂径定理得，根据平行线的性质证明，进而可得结论；（2）设的半径为r，根据勾股定理列方程可得：，解得：，利用面积法求出，然后利用三角形面积公式即可求解．【详解】（1）连接，∵D是的中点，∴，∵，∴，∵为的半径，∴直线是的切线；（2）连接，作于点H，

设的半径为r，则，∵，∴，解得，∴，，∴．∵，∴，∴，∴的面积．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答此题的关键是正确作出辅助线．．12．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，．

(1)求证：是的切线：(2)求的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径．【详解】（1）证明：，，，，，，，为的切线；（2）解：在中，，，根据勾股定理得：，与都为的切线，，；在中，设，则有，根据勾股定理得：，解得：，则圆的半径为．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理,切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．13．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图，在中，为的直径，点在上，为的中点，连接并延长交于点．连接，在的延长线上取一点，，连接，使．

(1)求证：为的切线；(2)若，则______．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，再根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知推出，等量代换可得，即可证明；（2）根据求出，从而求出，根据半径相等和等边对等角可得，利用三角形内角和求出，继而求出．【详解】（1）解：证明：如图，连接，∵是圆的直径，∴，∵D为的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，圆的基本性质，切线的判定，解题的关键是掌握圆的基本知识，得出角的关系．14．（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

【答案】证明过程见解析；【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可．【详解】证明：如图：过点作于点，

是的角平分线，，，，是的切线．【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．15．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接交于点M，F是上的一点，且，连接．

(1)求证：；(2)求证：是的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，根据是直径，得出，根据菱形性质得出，根据等腰三角形性质得出即可；（2）连接，根据是直径，得出，求出，根据菱形的性质得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论．【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵是直径，∴，∴，∵四边形为菱形，∴，∴；（2）证明：连接，如图所示：

∵是直径，∴，∴，∵四边形为菱形，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵为直径，∴是的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，三角形全等的判定和性质，菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．16．（2023·河南安阳·统考一模）如图是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速公路转到另一条高速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡．如图是一种缓和曲线过渡匝道的示意图．若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿的切线经过切点驶入匝道，从的切线经过切点驶出匝道．已知，的半径为．

(1)若在点处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控，且高清摄像头可以有效监控以内的物体，问此摄像头能否有效监控整个匝道？并说明理由；(2)在图中，若连接，交于点，且，判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)此摄像头能有效监控整个匝道，见解析；(2)，见解析．【分析】（1）根据圆外一点与圆上最大距离即可求解；（2）根据切线的性质和角度和差求出同位角相等即可判定平行．【详解】（1）此摄像头能有效监控整个匝道，理由：连接，延长交于点，

∵与相切于点，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵点到上的点的最大距离是线段的长，∴，∵，∴此摄像头能有效监控整个匝道，（2），理由：连接，∵，∴，∵与相切于点，∴，∴，∴，由（1）可知，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了圆的切线的性质和平行线的判定，解题的关键是熟练掌握切线的性质与平行线的性质及其应用．17．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E．

(1)求证：；(2)若，，求的半径．【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）由圆周角定理及切线的性质证出，则可得出结论；（2）设，则．进而得，，然后由勾股定理得，求解得，即可求解．【详解】（1