2021届高考数学圆锥曲线压轴题06 圆锥曲线离心率及范围问题（通用版解析版）

专题6圆锥曲演离心率及范围问题

离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆

锥曲线统一定义中的三要素之一.有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现.

关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个a,仇c的方程（或不等式），然后

再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式.一般建立方程有两种办法：①利用圆

锥曲线的定义解决；②利用题中的几何关系来解决问题。

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件（椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致），否则很

容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围.

一、圆锥曲线的离心率

方法1:利用定义法求离心率

知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。

方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单!

丫2h

例1.（2015年浙江15题）椭圆去■+%■=1（a>>>0）的右焦点尸（c,0）关于直线y=的对称点。在

椭圆上，则椭圆的离心率是.

法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算

量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。

b

【解析】利用点尸关于直线y=的对称点。在椭圆上，由b,。的关系列方程求出椭圆离心率。

c

n_c

由题意可得卜一fb,解得:c3-cb~2bc~

设〃),m-------7―,n-——

—n—.b--m--+--ca~cr

12c2

（c3-cb2]（2bc2\

代入椭圆方程可得：一一+——4=1，整体得:e2(4/-4e2+l)+4e2=1

/（而J

V2

化筒得：4『+e2T=（）,分解因式：（2e2-1）（2/+e2+1）=0解得：e

根法二：（定义法）这种解法是后来在做例2（成都诊断考试）的时候，联想到这种解法的。

h

【解析】设左焦点为耳，由尸关于直线y=±x的对称点。在椭圆上,

得到OM_LQR且M为QF中点，

又。为FF的中点，所以OM为中位线，且

由点到线的距离公式计算得至上MF=—,

a

再由tanNR9M=上h得到：OM=c—~.所以Q/=2上bc，。片

caa

2bc2c2b=c,即6=立.

据椭圆定义：。耳+Q尸=2。得到：——+—=2。，化筒得:

aa2

通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错.我在给学生讲题的时候学生经常会问我，

哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。

22

例2.（2020成都市高三模拟）.已知点P是双曲线事—4=1（。＞0力＞0）左支上一点，耳，人是双曲

a-b-

线的左右两个焦点，且PRP每=0,线段P用的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为

AV2B6C2DA/5

【答案】亚

【解析】由焦点到渐近线的距离为人，得出尸尸2=2匕

h

再根据题意，得出£尸_L尸耳,tanNPF也=二所以尸£=2a

a

根据椭圆定义：P入一尸£=2a,即处一2。=2a得到：b=2a,

例3.（2018年新课标II卷H题）己知耳，乃是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若「耳，尸行，且

ZPF2Ft=60°,则C的离心率为()

B.2-5/36-1D.>/3-l

【答案】V3-1

【解析】设椭网焦点在x轴上，则椭圆方程为三+方=1(。>0/>0).

因为NK尸4=90,NPg耳=60,寓阊=2c,所以忸玛|=(?，归耳|=辰

设”为椭圆右焦点，尸2为椭圆左焦点，则归耳|+归周=2。，所以(G+l)c=2a,

所以e=£=1.故选D.

G+i(73+I)(V3-I)

方法2：利用几何关系求离心率：

知识储备：初高中平面几何的全部知识都可以涉及。

22

例1、(2019年新课标II文⑵设F为双曲线C：—r-v^=1(«>0,b>0)供

a2b2

OF为直径的圆与圆x2+y2=/交于p、。两点.若『Q|=|Of],则C的离心率为

A.&B.73C.2D.

【答案】A

【解析】解法一：由题意，把％=]代入/+>2=〃，得归@=2,42一

再由|尸。卜|0目，得2a2一《=c，即筋2=。2,

所以==2,解得e=£=&.故选A.

aa

解法二：如图所示，由|PQ|=|O盟可知P。为以OF为直径圆的另一条直径,

所以0代入"+，=/得2a2=。2，

解法三：由=|。目可知PQ为以0尸为直径圆的另一条直径,

则[0耳=。=夜.=，e=-=\[2.故选A.

22

rv

例2、（2。18年新课标^2题）已知片"是椭圆。/+方=1（。>〃>0）的左、右焦点，A是C的左顶点,

点P在过A且斜率为出的直线上，百心为等腰三角形，Nf；鸟尸=120。，则C的离心率为

6

21八11

A.—B.—C.—D.一

3234

【答案】D

【解析】由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，

设|耳6|=2c,所以AP6鸟为等腰三.角形，且N£gP=12（）,

1=11|=c,...点尸坐标为(c+2ccos60,2csin60),即点尸(2c,J§c).

|PF2FXF2|=2c,

•.•点P在过点4,且斜率为立的直线匕

6

二百£=走，解得£=_L...e=_L,故选D.

2C+Q6a44

易错点：很多同学将点P画在了椭圆上，利用定义法求解导致错误。

例3.（2020年湖南永州市高三三模II题）已知双曲线C：二-二=1（。＞0,。＞0）的左、右顶点分别为

ab~

A,8,左焦点为尸，P为。上一点，且PFJ_x轴，过点A的直线/与线段PF交于点M（异于P,E）,

与y轴交于点N,直线MB与y轴交于点"，若小=-6H（。为坐标原点），则。的离心率为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】不妨设P在第二象限，|根|=加，"（0,〃）（〃＞0）,由HN=—3。”知N（0,-2〃），

由“网以与人次相似，得色二—~（1）,

2ha

hn

由△30”与△SBW相似，得一=——（2）

mc+a

Ic—ci

（1）,（2）两式相乘得一=----,即c=3a,离心率为3.选B.

2c+a

点评：此题类似于2016年新课标3卷12题

22

例4.已知椭圆三+方=1（。＞人＞0）的半焦距为c（c＞0）,左焦点为F，右顶点为A,抛物线

y2=?（a+c）x与椭圆交于民C两点，若四边形A3EC是菱形，则椭圆的离心率是（）

O

4812

A.—B.—C.-D.一

151523

【答案】C

22

【解析】由题意得，椭圆

5+y=1(。>〃>0，C为半焦距）,

aF

的左焦点为口，右顶点为A，则A（a,0）1（—c,0）,

抛物线y2="（a+c）x于椭圆交于8,C两点，

8

5,。两点关于4轴对称，可设3（以〃）,。（九-〃）,

四边形A3FC是菱形，二8。，4/,2〃2=。一。，则加=g（a-c）.

将3（〃%〃）代入抛物线方程得，n2—(a+c);n=-(«+€)(«-c)=­(a2

8、'16V八716V

15(i

21再代入椭圆方程1.（…）+空=1

n=77b2,则不妨设8—b

16224J4/16k

2

化筒得上，L=_L由e=£,即有4e?-8e+3=0,

a216a

方法3:定义法+几何关系结合

例1.（2020年衡水中学高三模拟16题）设椭圆C的两个焦点是公、玲，过£的直线与椭圆C交于P、Q,

若1利卜16勾，且51P用=6忻q,则椭圆的离心率为—

【答案】亚

【解析】由定义可知|尸用+|「&=|。制+|Q周=2a，历%|=2c.

•.［空卜忻闻，：.\PF2\=2C,归用=2（a-c）.

•••5附|=6忻Q|,QFt=|PF,=/"c）,."Q闯=卜卜.

在△尸石心中，由余弦定理可得cos/尸/居=伫£,

2c

在△。片心中，由余弦定理可得COSNQ65=网二主.

5c

■:/尸耳玛+NQ6鸟=180°・•・cos/尸耳外=—COS/Q6B，

.•.伫£=_生主，整理得9“=llc,，e=£=2,

2c5ca11

例2、（2019绵阳南山中学模拟）已知A,B,C是双曲线1-£=l（a>0,b>0）上的三个点，直线AB经

a-b~

过原点O,AC经过右焦尸，若BF_LAC,且3AF=CF,则该双曲线的离心率为（）

叵2

A.叵D.

23

【答案】A

【解析】设左焦点为广，连接AF',BF,CF',由04=08,OF=OF',BF1AC,

可得四边形AFB广为矩形，设AF="?,则FC=3/n,

由双曲线定义知：CF'=5m,AF'=FB=3m,

由双曲线定义知：AF'-AF=2m=2a,解得〃?=〃，

在AFA尸中,AF2+AF2=FF'2,即/+（3a）2=（2c）2,

即4廿=10。2,即所以e=®

22

X22

例3、（2019年长郡中学高三模拟12题）已知双曲线+—a=1（。＞0力＞。）的左、右焦点分别为片，K，

a

圆V+Vi?与双曲线在第一象限内的交点为加，若抽用=3阿勾.则该双曲线的离心率为（）

A.2B.3C.V2D.V3

【答案】D

【解析】根据题意可画出以下图像，过M点作片工垂线并交片鸟于点”，

因为|阿|=3|摩|,M在双曲线上，所以根据双曲线性质可知|阿1TM周=2。，

即31gl叫|=2a,段=a

因为圆丁+丁=6的半径为匕，OM是圆/+；/=〃的半径，所以="

因为°河=。,眼q=a,=＜?,/+〃=/,

所以NOg=90°,三角形OMg是直角三角形,

因为M/7J.OE,,所以，OF2xMH=OMxMF„MH即M点纵坐标为他，

CC

b2

将〃点纵坐标带入圆的方程中可得/+2-=〃，解得x=—

CC7

b4a2

将M点坐标带入双曲线中可得三•一彳=1,

化简得Z/1—a'=a'",（02—仪2）—〃4=。2（,2,=3/,=—=\f3,选D.

''a

二、圆锥曲线离心率的取值范围

方法1：利用三角形三边关系建立不等式。

22

例1、（2018年衡水金卷16题）已知椭圆二+==1（">匕>0）的左、右焦点分别为片（-c,0）,心（c,0）,

ab~

若椭圆上存在点P使---=---成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________.

sinNP好用sinZPF^

【答案】（四-1,1）

【解析】在△「片月中，由正弦定理得俨段=俨用,

12

sin/P耳外sinZPF2F1

则由己知得笆出=网，即4尸6|="居|，-用/叫='归周|尸用+|「周=2〃得忸用=含，

ac，

由三角形三边关系得：a-c<\PF2\<a-^c.,a-c<<ci-Vc

再同除以0整理得/+2e-1>0,解得e<-0-1或e>四-1,又ew（0,l）,

故椭圆的离心率ee（夜故答案为（血

22

例2、已知椭圆C：3+2=1（。>人〉0）的左、右焦点分别为月，B，若椭圆。上恰好有6个不同的点

ah

p,使得为等腰三角形，则椭圆c的离心率的取值范围是（）.

解析设椭圆的上、下顶点分别为小鸟,则△片片工与△66工均为等腰三角形.

由题知，椭圆C上恰有6个不同点P,使得为等腰三角形，

所以在四个象限各有一点P,使得鸟为等腰三角形，

由椭圆的对称性，只考虑第一象限的情况即可.

①令归耳|=内玛|=2c,如图所示，由图可得a<|P用<a+c,即a<2c<a+c,得;<e<L

②令|P周=|耳国=2c,如图所示，由图可得a-c<|P闾<a,即a—c<2c<a，得;<e<，

综上可得，离心率e的取值范围是（g,故选D.

评注本题利用对称性减少需考虑的对象，使问题变得简单明了.这种对称性思想在解决对称图形的相关问题

时应用得很普遍，请同学们尝试使用.

方法2：利用判别式建立不等式

22

例3、（2020广东佛山市高三上期检测）已知双曲线C:5-方=1。>。>0）的右焦点为尸，O为坐标原点，

若存在直线/过点F交双曲线C的右支于A,B两点，使。4•OB=0,则双曲线离心率的取值范围是

【答案】匕苴4e<6

2

【解析】设A（M，X）,3（X2,%），直线/的方程为x=〃7）,+c（0Wm<g）,

b

联立双曲线方程，消去X,得（82加2一。2»2+2〃2/次）+。4=0,

2b2me_b4

所以％+%=一师彳①，另.诙G②.

2

因为0A・08=%%2+%%=。，即机+“c（y+y2）+c+y[y2=0,

1/__〃222

代入①②整理，得b4m2-2b2m2c2+c2b2m2—ere1+Z?4=0r0<m2=------<—.

Ire-bb-

由z/—/从之。，得d—/y—a2c2NO,即c4—3a2c2+/2。，e-35+120,解得

人4一“222

4422222422422

由J_r<—,^b-a-ac<0,B|J（c-a）-a-ac<0,c-3ac<0,

be-bb“

所以£<百.综上所述，ee[匕且，百）.

a2

方法3：利用角度的余弦值或数量级建立不等式

例4、（2020年长沙市雅礼中学高三模拟11题）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在X轴上，4,4,

B},当为椭圆的顶点，外为右焦点，延长用工与4区交于点P,若N87与为钝角，则该椭圆的离心率

的取值范围是（）

A.*,DB.（号…。与…哼,D

【答案】C

【解析】设用（0,一与，&（。析），K（c,0），4（a析）.

所以4=（〃,—）），居B]=（―c,—Z?）.

因为/男尸不为钝角，所以月4与4人的夹角为锐角,

所以为4=-ac+〃2>0,即。2一02一a。〉。.

两边同时除以"并化简得e2+e-l<0,

解得逆二1<0<苴二1,又0<e<l,所以0<e<..

222

22

例5、已知。为坐标原点，双曲线「一斗=1（。乃>0）的右焦点尸，以尸为圆心，。尸为半径作圆交双曲

a~b'

线的渐近线于异于原点的两点A、B,若（MMF）GF<（）,则双曲线的离心率e的取值范围为（

A.(1,V2)B.(1,2)C.(2,+oo)

【答案】B

【解析】取M为0E中点，则（AO+AF>OF<0等价于

（2AM）^2MF）<0^MA-MF>0^0<ZAMF<^.

（X-C）2+>2-C2

也就是要求点A的横坐标与>£“由<b

2y=­x

a

202

解得与=旦，故需竺>二，解得e<2,则ee（l,2）.

cc2

方法4：利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式

例6、（2019年成都市树德中学高三模拟11题）已知耳，玛分别是双曲线j=l（。乃>0）的两个焦点,

a2b2

过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段大鸟为

直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1.V2)D.(夜,+8)

【答案】A

【解析】如图1,不妨设£（0,c）,E（0,-c）,则过人与渐近线^=@》平行的直线为y=@x+c,

bb

a__bc

y=—x+c,xX

b,2/即用（一女）

联立《a解得■

尸耳，2a2

)'=一工b元

因M在以线段不入为直径的圆/+,2=/内,

图1

故（—"）2+（为<。2,化简得力2<3标，即〃一〃<3标，解得£<2,又双曲线离心率0=£>1,所以双曲

2a2aa

线离心率的取值范围是（1,2）.

例7、（2020年绵阳市三台中学二诊模拟）椭圆*2+£=1（0<6<1）的左焦点为F，上顶点为A,右顶点

为B,若△7%?的外接圆圆心在直线y=—x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）

【答案】A

【解析】设/?（一。,0）,4（0,。）,8（。,0）,且此43的外接圆的方程为/+丁+6+4+歹=0,

将尸（一。,0）,4（0,。）,3（。,0）分别代入可得m=二黑,〃=勺。，

由机+“<0可得—上c+上〃+^/?*—■—c—ic<0,即1—C+〃一c上<0=8一。+h幺—上c<0,

22bbb

1J?

所以一c<0,即^<,2,则e2>_.所以故选A.

22

方法5：利用已知的角度关系建立不等式

例8、已知椭圆C:靛+铲=1（。>匕>0）的左焦点为F,经过原点的直线与C交于A,B两点，若

ZAFB>150°,则C的离心率的取值范围为.

【答案】ew（0,.叱乌

【解析】如图，设椭圆的右焦点为广，连接AF,BF'

■：AB,FF'互相平分，.•.四边形AFB厂为平行四边形NAEB+NEBR'=18O。,

•••NAFBN150。，NEBF'<30°由条件知，当8在短轴端点与时，/FBF'最大,

,屈

此时在RtA^O尸'中,N0y=15°,.*.e=sinZ6>B2F=sml5°

4

...0＜e＜妇乌即一0,渔渣.

44

1上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P,使得tan/A,叫=-2后，

则椭圆离心率的取值范围是（

争、亭）

(A)(B)(C)(D)

7

解析由题可知当尸为上顶点或下顶点时N4P4为最大，依题意得］2；：：笈嬴=—2#,

等，即。=乎。，若椭圆上恒存在一点P满足后,

可得tan/OPA

则a...逅即a23c2,所以工…且，即走”e＜l.故选D.

2a33

方法6：利用已知长度（面积）关系建立不等式

22

例10、已知直线l-y^kx+2过椭圆=+:=1（。＞。＞0）的上顶点B和左焦点F,且被圆/+丁=4截

ab

得的弦长为L,若LN拽，则椭圆离心率e的取值范围是（）

5

B.(0,哈c（0,李D.(0,卓］

A.

【答案】B

、2

L,416

【解析】依题意有女＜0,设圆的半径为「，圆心到直线的距离为d,则屋=，一W4—=—

2755

由点到直线距离公式有d=,2,故<-,\+k2>-,k2>~.

V17F1+公544

直线与坐标轴交点为：B(O,2),F(-1,O24

,即Z?=2,c=—,=〃+c2=4H--,

kk~

.答案选B

课后训练:

1、（2019年成都市石室中学高三模拟11题）如图，双曲线。：[-5=13＞0,。＞0）的左、右焦点分别

a-b~

为耳,外，过乃作线段工尸与C交于点Q,且Q为P工的中点.若等腰百鸟的底边2鸟的长等于。的

半焦距，则C的离心率为

—2+2>/152C2+2小3

A.----------B.一D.-

732

【答案】V5

【解析】连结Q"，由条件知Q片上咚且研=会

由双曲线定义知|Q6|=2a+],

在RtAF；。6中，2a+£（勿「

\2)0

解得C的离心率0=2+2后,故选C.

7

y2

2,（2019年河北衡水中学高三模拟12题）已知椭圆E：二+会=1（。＞。＞0）的左焦点为6，y轴上的点P

a

6

在椭圆外，且线段「片与椭圆E交于点M,若|。知|=|加大|=号|8|,则E椭圆的离心率为（）

C.V3—1

AD.---------D.空

-I2

【答案】C

【解析】因为所以/6。0=30。,/加耳鸟=60。,

连接MF2MF2，则可得三角形MFtF2为直角三角形，在Rt加鸣居中，MFt=c,MF2=&

根据椭圆的定义:c+百c=2a,所以e=6—l.

厂V

3.（2019年成外半期11题）已知直线丁=乙（火力0）与双曲线=一金7=1（。＞0/＞0）交于48两点，以

a-b

AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点尸，若八钻尸的面积为4a2,则双曲线的离心率为（

A.72B.#)C.2D.亚

【答案】石

【解析】设双曲线的左焦点为"，连接46，86，则528尸=52底

\AF.\-\AF\=Sa2]A耳|=4”

所以《

扁叫・网=2。

所以|£尸「=|A[「+\AFf=20a2,

即4c2=20a2,‘2=5/,c=氐，离心率e=-=s/5.

a

4、如图，在AA3C中，ZC4B=ZCA4=30°,AC.8c边上的高分别为BD、AE,若以A、B为

焦点，且过。、E的椭圆与双曲线的离心率分别为弓，%,则'的值为

4%

【解析】由于A、B为焦点，设|AB|=2c,则AE=8D=c;8E=AO=JGc.

a1+y/3

在椭圆中，由椭圆的定义有2a=AD+B。，即c+百c=2a,

42

同理在双曲线中，有2a=AE+3E,即、&—c=2a,二-1-=刊=无二^

e2c2

=A/3

e\e2

5、已知椭圆E的左、右焦点分别为耳，F2,过耳且斜率为2的直线交椭圆E于尸，。两点，若△尸片工

为直角三角形且归用＜忻用，则椭圆E的离心率为（）.

A布2c变1

A.-----B.-D.-

33-33

2

解析由题意得尸与，。工，由tan8=2,得sind=cos6=­,

亚

所以归周=生叵c,俨用=短0,从而|P周+|以4=丹3=20,故e=£=^.故选A.

x~9

6、以双曲线J=1的两焦点为直径作圆，且该圆在x轴上方交双曲线于A,B两点;再以线段AB为

a

直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为.

解析由题意画出示意图，如图所示.

222

x+y=c

以两焦点片，尸为直径作圆的方程为炉+尸=。2,联立«y2

[a23b-1

a2^c2+/）

2

ayJc2+b2b2

c2（加

得,AB中点C0,—,B

£[c）

c2

,...,b4a-\c+b-cr-

由图可知|CB|=|C4j,即/+上=」^一L,化简得。=6,所以e='=&.

22

7、(2015年浙江理)如图,Fi,3分别是双曲线C:,-3=l(a,b>0)的左右焦点,2是虚轴的端点，直线FiB与

C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|M&|=|人尸2|,则C的离心率是

()

A.—B.—C.&D.百

32

【答案】B

【解析】如图：|0阴=/?,|0/||=，.；/尸片2,。=-

CC

b...

y=-OH-c)

直线PQ为:y=2(x+c),两条渐近线为:)，=2x.由|:，得©—

cabc-ac-a

山c，得:p(W,旦)..•.直线MN为，区

bc+aC+Q'c+acc+a

y=~—x

ra

令y=0得:冗2，2♦又***|A/F2|=|FIF2|=2C,/.3c=xM=:,

c^-ae-a

解之得:/=£1=3,即g=显.

aa22

8.（绵阳一诊11题）已知M为双曲线C:二一二二1（。＞0力＞0）的右支上一点，A,尸分别为双曲线。的

a~h

左顶点和右焦点，线段E4的垂直平分线过点M,NME4=60°,则。的离心率为（）

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】为方便运算，不妨设a=1，则A（—1,O）,E（c,O）,\1/

因为△ARW是正三角形，所以M

即^^—^^=1,所以(c—l)3—3(c+l)=4(c-l),

44(c-l)

(c-l)(c2-2x-3)=3(c+l)(c-l)(c-3)=3,c2-4c=0,/.c=4,

所以离心率e=£=4.

9、（2017年新课标I16题）已知双曲线C：*■-今=1（。＞0,〃＞0）的右顶点为A,以A为圆心.，〃为半径作

圆A,圆A与双曲线。的一条渐近线交于M、N两点。若NM4N=60。，则。的离心率为.

【答案】半

b

【解析】如图所示，APLMN,MN为双曲线的渐近线y=-x上的点，A（o,0）,AM=AN=b.

a

因为APLMN，所以NPAN=30,4a,0）到直线y=/x的距离4P=1出1,

0FS

在H/A/NN中，cosPAN=S,代入计算得/=3匕2,即。=3.

NA

所以0=£=半=毡

由得c=»,

a四3

10.（2019年衡水中学高三下期中11题）已知耳，居是双曲线

£一£=1（。〉0,。＞0）的左、右焦点，点《关于渐近线的对称点恰好落在以巴为圆心，|。玛|为半径的

圆上，则双曲线的离心率为（）.

(A)V3(B)73-1(C)V2(D)2

解析：如图所示，设左焦点K关于渐近线/:＞=—々X对称点4'落在圆（x—Cp+y2=c2上,

由几何性质得。耳=。工，MF{=MF2,

所以OM为△月6片'的中位线，得0MF?F；,

又耳耳，心得耳隹_L。耳且KA=2c,F[F2=c,

故N片写工=30,则2=有，因此e=£=2.故选D.

aa

X"y'.

11.（2020年湖南长郡中学高三月考11题）已知O为坐标原点，尸是椭圆。：/+万=1（。＞匕＞0）的左

焦点，A,B分别是C的左、右顶点.P为C上一点，且小，X轴.过点A的直线I与线段PF交于点M,

与y轴交于点七.若直线BM经过OE的三等分点（靠近。点），则C的离心率为（

123_

(A)(B)(C)-(D)

3234

解析解法一：如图所示，记OE得三等分点Q（靠近点O）的坐标为（0,加），则后（0,3m）,

从而直线AE的方程为：二+」L=i，直线8Q的方程为：±+'=1.

—a3mam

由题意，可设直线A石与直线BM的交点M的坐标为（一c,%）,

所以三+至