专题11 解答压轴题：二次函数综合（原卷版）

专题11解答压轴题：二次函数综合一．解答题（共42小题）1．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．（1）求该抛物线的表达式；（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．2．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．3．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．4．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，点与点关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴经过点．点在新抛物线上，点在上，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．5．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线下方抛物线上的一个动点．过点作，垂足为，轴，交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点．是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．6．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．7．（2023•沙坪坝区模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；（3）在第（2）小问的条件下，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线过点，点在平移后抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2023•九龙坡区校级模拟）如图1，点为直线与抛物线在轴上的一个交点，点为直线上一点，抛物线与轴交于点．（1）求的面积；（2）点是直线上方的抛物线上一点，过作轴交直线于，作轴交直线于，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，平移后的抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上一点．若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．9．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作交对称轴于点，在直线下方对称轴右侧的抛物线上有一动点，过点作轴交直线于点，过点作交于点，求最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿着轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点是新抛物线上一点，点是平面直角坐标系内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为对角线的菱形，若存在，求所有符合条件的点的坐标．10．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与直线的交点为．（1）如图1，求直线的表达式；（2）如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值和此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移4个单位得到新抛物线，新抛物线与坐标轴轴交于点．点与点关于轴对称，连接，将沿直线平移得到△．平移过程中，在直线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程．11．（2023•九龙坡区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴于点，连接，为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点为直线下方抛物线上的一动点，过作于点，过作轴于点，交直线于点，求的最大值，以及此时点的坐标；（3）将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点为的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，点为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．在平面直角坐标系中确定点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．12．（2023•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．（1）求线段的长度；（2）如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，连接交于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点与点关于原抛物线对称轴对称，将原抛物线沿着射线方向平移个单位，得到新抛物线，为直线与轴的交点，为直线上一点，将直线绕着点逆时针旋转得到直线，交新抛物线于点，点为平面直角坐标系内任意一点，直接写出所有使得四边形为菱形的点的横坐标．13．（2023•沙坪坝区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到新抛物线，且新抛物线经过线段的中点，新抛物线与轴交于点，点为新抛物线对称轴上一点，点为坐标平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．14．（2023•渝中区校级二模）如图1，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点、．（1）求直线的函数表达式；（2）点是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到新抛物线，与原抛物线相交于点，点是新抛物线对称轴上的一个动点，点为平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．15．（2023•渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求的面积；（2）点是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点的坐标；（3）将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到△（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．16．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．（1）求点到直线的距离；（2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作，平行轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2023•两江新区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，为上一点，且，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与轴交于点，点是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．18．（2023•沙坪坝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．（1）求线段的长度；（2）点为直线下方抛物线上的一动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点．求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，为射线上的动点，过点作轴交新抛物线的对称轴于点，点为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•渝中区校级一模）已知抛物线与轴交于、两点点在点左侧），与轴交于点，且，该抛物线的对称轴为直线．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，为与轴的交点，为新抛物线对称轴上一点，点平移后的对应点为，平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出所有点的坐标，并写出其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．20．（2023•九龙坡区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于轴上的点，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．（1）求直线的解析式；（2）如图1，连接，点为直线、之间第二象限抛物线上的一动点，过点作轴交直线点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与直线交于第一象限的点记为，线段在直线上运动，记运动中的点为，点为，当△是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的横坐标．21．（2023•北碚区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）．（1）求直线的解析式；（2）如图1，点为线段上方的抛物线上任意一点，过点作轴于点，交于点．求的最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，为新抛物线的对称轴上一动点，为平面直角坐标系内的任意一点，请直接写出所有使以点、、、为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程．22．（2023•沙坪坝区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．（1）求的面积；（2）如图1，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为原抛物线的顶点，动点为新抛物线对称轴上一点，当为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．23．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．（1）求的面积；（2）点为直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交直线点，求的最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为新抛物线对称轴上一动点，点为新抛物线上一动点，当以、、、为顶点的四边形的对角线互相平分时，请直接写出此时点的纵坐标．24．（2023•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于点，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后点，的对应点分别为，，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．（1）求线段的长度；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线分别交，轴于点，，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，点是平移后的抛物线的对称轴上的一点，平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．26．（2023•重庆模拟）如图，抛物线与轴相交于点，点在的左侧），与轴相交于点，连接，．（1）求的面积；（2）如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，当有最大值时，求的最大值与点的坐标；（3）将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，点为原抛物线与新抛物线的交点，点是原抛物线对称轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．27．（2023•渝中区模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若点是第三象限抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；（3）若点在抛物线的对称轴上，线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标（如果有多个答案只需写出其中一个答案的解答过程，其余答案直接写出结果）．28．（2023•九龙坡区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．（1）求的面积；（2）点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的求解过程写出来．29．（2023•九龙坡区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．（1）求点的坐标；（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求直线的表达式；（2）如图1，连接，，若点是第二象限内抛物线上一点，过作轴，交于点，过作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，为轴右侧新抛物线上一点，过作轴交射线于点，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．31．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，．（1）求出的面积；（2）如图，点是直线上方抛物线上一点，是线段上一点且满足，求的最大值及此时点的坐标；（3）将该抛物线沿射线方向平移2个单位得到新的抛物线，为与轴的交点，为新抛物线对称轴上一点，点平移后的对应点为，在平面内确定一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的过程．32．（2023•大渡口区模拟）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．（1）求和的值．（2）若点与点关于直线对称，连接．①求点的坐标；②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．33．（2023•九龙坡区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知，直线的解析式为．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段上有一动点，过点作交抛物线于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值以及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿轴向下平移5个单位长度得到新抛物线，平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为、、，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．34．（2023•潼南区二模）抛物线交轴于、两点，交轴于点．直线交轴于点，交抛物线于、两点．（1）如图1，求，，的值；（2）如图2，为直线上方抛物线上一动点，轴交轴于点，交于点；过点平行轴的直线交于点，求线段的最大值及此时对应点的坐标；（3）如图3，将抛物线沿线平移一定的距离得新抛物线，使得抛物线过点，为新抛物线的顶点．点为抛物线上的一动点，点、为直线上的两个动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选一个点坐标，写出推理过程．35．（2023•铜梁区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，是线段上方抛物线上一动点，过作交于，交于，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，为直线上一动点，是坐标平面上一点，为（2）中取最大值时的点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．36．（2023•潼南区一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值以及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段的中点，且平移后抛物线的对称轴与轴交于点．，是直线上任意两点，为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的横坐标．37．（2023•重庆模拟）如图1，抛物线与轴交于，．两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过点，．（1）求直线的解析式；（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．38．（2023•江津区二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．（1）求的面积；（2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2023•万州区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在的右侧），与轴交于点，若．（1）求、的值；（2）如图1，若点是点下方轴上一动点，过作交直