专题19 解答压轴题型：几何综合题（解析版）

专题19解答压轴题型：几何综合题1．（2023•安徽）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，．（1）如图1，求的大小；（2）已知点和边上的点满足，．如图2，连接，求证：；如图3，连接，若，，求的值．【答案】见解析【详解】（1）解：是的中点，，由旋转的性质得：，，，，，即的大小为；（2）证明：，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，，又，、、、四点共圆，，，；解：如图3，过点作于点，则，在中，由勾股定理得：，四边形是菱形，，，，，，，即的值为．2．（2022•安徽）已知四边形中，，连接，过点作的垂线交于点，连接．（1）如图1，若，求证：四边形是菱形；（2）如图2，连接，设，相交于点，垂直平分线段．（ⅰ）求的大小；（ⅱ）若，求证：．【答案】见解析【详解】（1）证明：设与交于点，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形；（2）解：垂直平分，且，，又且，垂直平分，，，，又，；证明：由得，又，，同理可得，在等腰中，，，在与中，，，，又，，即．3．（2021•安徽）如图1，在四边形中，，点在边上，且，，作交线段于点，连接．（1）求证：；（2）如图2．若，，，求的长；（3）如图3，若的延长线经过的中点，求的值．【答案】见解析【详解】解：（1）如图1，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，在和中，，；（2）方法①：，，，，，由（1）知：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，即，，，，，即，；方法②：由（1）知，，，，，，，，，，，，，即，；（3）如图3，延长、交于点，，均为等腰三角形，且，，，设，，，则，，，，，的中点，，，，，，（即，，，即，，解得：或（舍去），．4．（2020•安徽）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，．与相交于点，与相交于点，．（1）求证：；（2）若，求的长；（3）如图2，连接，求证：．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是矩形，点在的延长线上，，又，，，，，即，故，（2）解：四边形是矩形，，，，，，即，设，则有，化简得，解得或（舍去），．（3）证明：如图，在线段上取点，使得，在与中，，，，，，，，为等腰直角三角形，．5．（2019•安徽）如图，中，，，为内部一点，且．（1）求证：；（2）求证：；（3）若点到三角形的边，，的距离分别为，，，求证．【答案】见解析【详解】解：（1），，又，又，（2）在中，，（3）如图，过点作于，于，于点，，，，，，又，，，即，，，．即：．6．（2023•瑶海区一模）已知菱形中，，，分别在边，上，是等边三角形．（1）如图1，对角线交于点，求证：；（2）如图2，点在上，且，若，，求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是菱形，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，；（2）解：连接，由（1）知是等边三角形，，，，四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，在和中，，，，四边形是平行四边形，，，，．方法二：，，，，，，设，则，，，．7．（2023•合肥一模）已知：正方形中，为边中点，为边上一点，、交于点，连接．（1）如图1，若为边中点，求证：；（2）如图2，若．①求证：；②求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形为正方形，，，、为、边中点，，在与中，，，，；（2）①证明：连接，并延长交于．，，，，，，，，，，，，，；②解：由①可知，，，，，，，，，，，解得．8．（2023•庐阳区校级一模）已知，，为边上一点（不与、重合），以为底作等腰，使、位于两侧，且．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，若，，交于点，求的值；（3）如图1，连接，求证：．【答案】见解析【详解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：如图1，作于，设，则，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）证明：如图2，以为圆心，为半径作圆，交于，，设，则，，，点在，．9．（2023•合肥三模）已知：中，，，点为边上一动点，点关于、的对称点分别为、，以、为邻边作，交边于．（1）是；（填特殊平行四边形的名称）（2）连接交于点，求证：；（3）点在上移动的过程中，求的最小值．【答案】见解析【详解】（1）解：是正方形，理由：点关于、的对称点分别为、，，，，，，，四边形是平行四边形，是正方形；故答案为：正方形；（2）证明：，，，、是关于和的对称线段，，，，，．，，．，，，；（3）解：连接、，设，则由对称可知，，，，，，当时，的最小值为．10．（2023•庐阳区一模）如图，正方形中，点在边上（不与端点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，设．（1）求的大小；（2）过点作，垂足为，连接．①求证：；②连接，若，求的值．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，连接，点关于直线的对称点为点，，，，，，四边形是正方形，，，，；（2）①证明：如图2，连接，，四边形是正方形，，，，，点，点，点，点四点共圆，，由（1）知，，；②解：如图3，连接，，四边形是正方形，，，由①知：，，，，和均为等腰直角三角形，，，，，，，，点关于直线的对称点为点，，，，，，，在中，，，，．11．（2023•合肥模拟）在四边形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直于，垂足为，且．（1）求证：；（2）如图2，连接，点、、分别为线段、、的中点，连接、、．①求证：；②若，求的面积．【答案】见解析【详解】（1）证明：、都是等腰直角三角形，，，，，，；（2）①证明：，，，，如图，作延长线，交于点，点、、分别为线段、、的中点，、，四边形为平行四边形，，；②如图，作，交延长线于点，，，，为中位线，，同理，又，，，．12．（2023•蜀山区二模）如图，矩形中，平分交、于点、，交的延长线于点，点为的中点，连接，，．（1）求证：；（2）若，．①求的值；②请直接写出的值为．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，平分，，，，，点为的中点，，，，，，在和中，，．（2）解：①，，，，，，，，，，，，，，的值为．②连接，，，，，，，故答案为：2．13．（2023•蜀山区校级一模）已知四边形，，，相交于点，且，，设，，．（1）①如图1，当时，时，；；②如图2，当时，时，；；（2）观察（1）中的计算结果，利用图3证明，，三者关系．（3）如图4，在平行四边形中，点，，分别是，，的中点，，，，求的长．【答案】见解析【详解】解：（1）①，，，，，，，，，，故答案为：，；②，，，在中，，，，，，，，，故答案为：，；（2）．证明：设，，则，．根据勾股定理得：，同理，，又，；（3）如图，连接，交于，与交于点，设与的交点为，点、分别是，的中点，是的中位线，，，，四边形是平行四边形，，，，，分别是，的中点，，，，，四边形是平行四边形，，，在和中，，，，，分别是的中线，由（2）的结论得：，，，．14．（2023•瑶海区二模）在正方形中，点为边上一点．连接，将沿折叠得到，，分别交于点，，连接．（1）如图1，点是的中点；（ⅰ）若，则（用含的式子表示）；（ⅱ）求证：；（2）如图2，若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）（ⅰ）解：将沿折叠得到，，，，点是中点，，，；（ⅱ）证明：，，，，；（2）解：如图，过点作于点，连接，四边形是正方形，，，，，四边形是正方形，，，，；，，，，，，，，，，在中，，，在中，，，，即．15．（2023•包河区二模）如图1，已知四边形中，，，．（1）求证：；（2）求证：；（3）如图2，若平分交于点，，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，为的垂直平分线，；（2）证明：如图1，在上取一点，使，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：平分，，，，，由（2）知：，，，由勾股定理得：，，，，设，则，，，解得，．16．（2023•庐阳区二模）正方形中，点是延长线上一点，点是平分线上一点，连接，交于点．（1）如图1，若，求证：平分；（2）如图2，过点作，并截取，连接，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，则的长为．【答案】见解析【详解】（1）证明：是正方形的角平分线，平分，，，，，，，，平分；（2）证明：如图2，连接并延长交于，交于，，，四边形是平行四边形，，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．故答案为：．17．（2023•庐阳区校级二模）如图1，在中，，点为延长线上一点，．（1）求证：；（2）作，，垂足分别为点，，交于点．①如图2，当平分时，求的值；②如图3，连接交于点，当，时，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1中，，，，，又，，；（2）解：①平分，，设，，，，，，，，，（负值已经舍去），，，，，；②连接，，设交于点．．，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，，，，，，，，，解得，，．18．（2023•庐江县模拟）（1）如图1，过等边的顶点作的垂线，点为上点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．①求证：；②连接并延长交直线于点．若，，求的长；（2）如图2，在中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，，求长．【答案】见解析【详解】（1）①证明：，理由如下：在等边中，，，由旋转可得，，，，，即，，；解：②连接，，如图：由旋转可得，，，是等边三角形．，．是的垂直平分线，．在等边中，，，．，即．，．，．．，．在中，，，．，，．，．．；（2）解：将边绕点顺时针旋转得到线段，则，，连接，如图：是等腰直角三角形，，，．，．在中，．，．即，，，．．．19．（2023•合肥二模）问题背景：如图1，在等腰中，，，垂足为点，在中，，，连接，是中点，连接和，在绕点旋转过程中，线段和之间存在怎样的数量关系？观察发现：（1）为了探究线段和之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将绕点旋转，使与重合，如图2，易知和之间的数量关系为；操作证明：（2）继续将绕点旋转，使与重合时，如图3，（1）中线段和之间的数量关系仍然成立，请加以证明．问题解决：（3）根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由．【答案】见解析【详解】解：（1），，为的中点，，，，为的中点，，．故答案为：．（2）证明：延长交于点，如图所示：，，，，，，，，，，，，，即，为的中点，为的中点，，同理得：，．（3）成立；理由如下：延长到点，使，连接，，，如图所示：，，，，，，，，，，，，即，，，，，为的中点，为的中点，，根据解析（2）可知，为的中点，，．20．（2023•庐阳区校级一模）【初步尝试】（1）如图1，在正方形中，点，分别为、边上的点且，求证：．（2）【思考探究】如图2，在矩形中，，，点为中点，点为上一点，连接、且，求的值．（3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．直接写出的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，，；（2）解：如图1，延长，交的延长于，四边形是矩形，，，，，，，，，，点、、在以点为圆心，为半径的圆上，，，，，，；（3）解：如图2，过点作于，作于，作，，四边形是矩形，，四边形是平行四边形，，，，，同理（1）可得：，，，，，，，，设，，，．21．（2023•庐阳区校级一模）【问题提出】如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．【模型应用】（1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则，劣弧的长为．（2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．①求的度数；②连接，若正方形的边长为4，求的最小值．【答案】见解析【详解】解：（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，，，，，，，，，，劣弧的长为故答案为：，；（2）①，，，点是的内心，，平分，，，，，，，，，；②如图，作的外接圆，圆，连接，，，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，，设优弧所对的圆心角优角为，则，，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，．的最小值为．22．（2023•庐阳区校级一模）如图1，平行四边形中，，，点是边上的点，连结，以为对称轴作的轴对称图形．（1）如图1，连接，若，求的长；（2）如图2，当点，，三点共线时，恰有，求的长；（3）如图3，若点在边运动的过程中，点到的最短距离为1，求的长．【答案】见解析【详解】解：（1）如图1，与关于对称，，，，，，，，，；（2）如图2，四边形是平行四边形，，，，，，，与关于对称，，，，，，设，则，，，，，，即，，解得：，；（3）如图3，以点为圆心，为半径作，延长交于，交的延长线于，过点作交于，设，，点始终在上运动，点到的最短距离为1，当时，，，，在中，，四边形是平行四边形，，，，，，即，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，解得：，．23．（2023•合肥模拟）如图，在矩形中，点是的中点，连接，，过点作的垂线交，于点，．设．（1）求证：；（2）如图1，连接，若，求的值；（3）如图2，若平分，过点作的垂线交，及的延长线分别于点，，．若，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：由题意得，，，，又点为的中点，，即，又，；（2）解：由（1）得：，，即，，，在中，设，则，，，，，，；（3）解：平分，，又，，由（2）知，，，连接，又，，，，，，为等腰直角三角形．过点作垂线交延长线于点，则为等腰直角三角形，，，又，，，，，解得：．24．（2023•包河区一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）【答案】见解析【详解】（1）证明：由旋转得，，，，，，，，，，在与中，，；（2）证明：如图1，由（1）得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图2，由（2）得，，，，，，，又，，，，又，，，，，，，，，（负值已舍），由（2）得，，，，在与中，，，，，，．25．（2023•合肥模拟）在四边形中，对角线，相交于点．（1）如图1，若平分，，，求证：；（2）如图2，点在边上，，分别垂直平分，，若，求证：；（3）如图3，，，分别为，，的中点，连接分别交，于，，若，求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：平分，，，，在与中，，，；（2）证明：连接，，，分别垂直平分，，，，在与中，，，，，，，，即；（3）解：分别过，作，的平行线交直线于，，，分别是，的中点，，又，，，同理，，．，，，，，，，，，．26．（2023•庐阳区校级三模）问题情境：如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点，延长交于点，连接．猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：（3）在（2）的条件下，、交于点，若，则．【答案】见解析【详解】解：（1）结论：四边形是正方形．理由如下：是由绕点按顺时针方向旋转得到的，，，又，，四边形是矩形，由旋转可知：，四边形是正方形；（2）结论：，证明：如图②，过点作于点，则，，，，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，由旋转可知：，由（1）可知：四边形是正方形，，，；（3）由（1）可知：四边形是正方形，，由（2）可知：，，．故答案为：．27．（2023•庐阳区模拟）如图①，是等腰直角三角形，在两腰、外侧作两个等边三角形和，和分别是等边三角形和的角平分线，连接、，与交于点．（1）求证：；（2）如图②，点为角平分线上一点，且，求证：；（3）在（2）的条件下，求的值．【答案】见解析【详解】解：（1）是等腰直角三角形，和分别是等边三角形和的角平分线，，，，，，，；（2），，，又，；（3）如图②，连接，，，，，，四点共圆，，，，．又．，①；，②，由①可得，；由②可得，，．．28．（2023•合肥二模）在正方形中，点、、分别为、、边上的一点，垂直平分，垂足为．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，交于点，连接，．①求证：是等腰直角三角形；②当时，求值．【答案】见解析【详解】（1）证明：过点作交于点，交于点，如图：在正方形中，，，，四边形是平行四边形，，垂直平分，，，，，，在和中，，，，；（2）①证明：过点作于，于，如图：，四边形为矩形，四边形为正方形，，，四边形为正方形，，，垂直平分，，，，，为等腰直角三角形；②解：过点作于，于，延长交于，如图：，，，即，由①知，，，，，，，由①知为等腰直角三角形，，，设，则，，，，，四边形是矩形，是等腰直角三角形，，，．的值是．29．（2023•瑶海区三模）已知和是有公共顶点的等腰直角三角形，且，．（1）若，在线段上，连接并延长交于，如图1．①求证：；②求的长．（2）若，点、、在一条直线上，是中点，是中点，连接、，如图2，求的值．【答案】见解析【详解】解：（1）①在线段上，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，又，，；②由①可得，，，，，，；（2）如图2，连接，中，，等腰中，，等腰中，，是的中点，是的中点，是的中位线，，，，又，，，，，，．30．（2023•庐江县二模）如图，点，分别在矩形的边和（或延长线）上，连接，，若．（1）求证：是等腰三角形；（2）当为中点时，交于点，若，，求的长；（3）当为上任意一点，探究，，间的数量关系，并证明．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，是等腰三角形．（2）解：如图1，作于点，，，四边形和四边形都是矩形，为中点，，，，，设，则，，，解得，，，，，，，的长是（3）解：，证明：如图2，作于点，，，，，，，，．31．（2023•蜀山区校级一模）通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：（1）【问题探究】如图2，在正方形中，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想；（2）【知识迁移】如图3，在矩形中，，，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；（3）【拓展应用】如图4，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且，求的值．【答案】见解析【详解】解：（1），理由如下：如图1，过点作交于点，作交的延长线于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，在和中，，，，，，即，．故答案为：1；（2）如图2，过点作交于点，作交的延长线于点，，，在长方形中，，，，，，，，，，；（3）如图3，过点作于点．设交于点．，，，，，，，又，，，，，．32．（2023•芜湖模拟）如图，为菱形边上一点，过点作于，交于，连接．过点作，交的延长线于点．（1）若，求证：；（2）在（1）的条件下，若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：设，则，四边形是菱形，，，，，，，，，；（2）解：由（1）可知，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，即的长为3．33．（2023•包河区校级一模）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．如图1，当点与重合时，四边形是平行四边形．（1）如图2，当点不与重合时，判断四边形的形状，并说明理由．（2）如图3，延长交于点，若，且．①求的度数；②当，时，求的长．【答案】见解析【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：如图2，过作交于，，四边形是平行四边形，，，，，，在和中，，，，，，四边形是平行四边形；（2）①如图3，取线段中点，连接，是的中线，为线段的中点，是的中位线，，，，，，；②设，则，，，在中，由勾股定理得，，，，，，，即，整理得，解得：，（不合题意，舍去），的值为．34．（2023•瑶海区模拟）在菱形中，．（1）如图1，点为线段的中点，连接，，若，求线段的长；（2）如图2，为线段上一点不与，重合），以为边，构造如图所示等边三角形，线段与交于点，连接，，为线段的中点，连接，，求证：．【答案】见解析【详解】解：（1）如图1，连接，则平分，四边形是菱形，，，，，，是等边三角形，，是的中点，，由勾股定理得：，，，在中，，；（2）如图2，延长至，使，连接、，，，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，是的中点，是的中点，是的中位线，，．35．（2023•庐阳区校级一模）已知：如图1，在中，，是的平分线，连接、，且于点．（1）求证：；（2）如图2，点、分别是边、上的点，且于点，求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：在中，，是的平分线，，，，点，，，四点共圆，，；（2）解：，，是等腰直角三角形，，，，，点，，，四点共圆，，是等腰直角三角形，，，点，，，四点共圆，，，．36．（2023•安庆一模）如图1，在中，，，，点在边上（不与点重合），以为一边作正方形，连接．（1）如图2，当时，①求正方形的边长；②求证：；（2）当点在上运动时，求面积的最大值．【答案】见解析【详解】（1）①解：如图2，，，，，，，，，．②证明：由①可知，，，，，，；（2）解：如图，过作交延长线与，，，，，，，，设长为，，，当时，面积的最大值．37．（2023•合肥模拟）如图，点、分别是矩形边、上的点，