专题12 解答压轴题：几何综合题（解析版）

专题12解答压轴题：几何综合题一．解答题（共42小题）1．（2023•重庆）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．【答案】见解析【详解】（1）证明：为等边三角形，，，将绕点顺时针旋转得到线段，，，是等边三角形，，，，；（2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，是等边三角形，，，，垂直平分，，又，，，，在的垂直平分线上，，在的垂直平分线上，垂直平分，，，，又，，是等边三角形，，，，又，，，，，在与中，，，，，四边形是平行四边形，；解法二：连接，证明，可得结论．（3）解：依题意，如图所示，延长，交于点，由（2）可知是等边三角形，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，，，，是等边三角形，，由（2）可得，，，，，，四边形是平行四边形，，由（2）可知是的中点，则，，，折叠，，，又，，当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，，，．解法二：由两次翻折，推得，则，由，推出的最小值，只需要求出的最小值，当时，的值最小，最小值为1，的最小值为．2．（2023•重庆）在中，，，点为线段上一动点，连接．（1）如图1，若，，求线段的长；（2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：；（3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．【答案】见解析【详解】（1）解：在中，，，，，，；（2）证明：取的中点，连接，如图：在中，点为斜边的中点，，，为等边三角形，，，，为等边三角形，，，，即，，在和中，，，，，，在上截取，连接，点是的中点，．在和中，，，，，，，，又，，，，；（3）解：取的中点，连接，如图：在取得最小值时，，设，则，，，，，是等边三角形，，，，，，，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，，的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，点为的中点，为的中点，，的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当最大时，，，三点共线，过作于，过作于，如图：是中点，，，是等边三角形，，，，，，，，连接交于，如图：将沿所在直线翻折至所在平面内得到，，，，即，为中点，是的中位线，，同理可得是的中位线，，，，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，，，，，，，．3．（2022•重庆）如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点．（1）如图1，若，且，，求的度数；（2）如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值．【答案】见解析【详解】（1）如图1中，在射线上取一点，使得，在和中，，，，，，，，，，，，，；（2）结论：．理由：如图2中，，，是等边三角形，，，，，，，，如图中，延长到，使得，连接，，，，，，延长到，使得，则是等边三角形，，，，，，，是等边三角形，．证法二：延长到，使得，连接，，延长到，使得．，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，是等边三角形，；（3）由（2）可知，点的运动轨迹为红色圆弧（如图中），，，三点共线时，的值最小，此时，，，，如图中，过点作于点，设交题意点，设，，，，，．4．（2022•重庆）在中，，，为的中点，，分别为，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．（1）如图1，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；（2）如图2，的延长线交于点，点在上，且，求证：；（3）如图3，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到△，连接，直接写出线段的长度的最小值．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，连接，由旋转知，，，为等腰直角三角形，点是的中点，，点是的中点，，在中，，，；（2）证明：如图2，过点作交的延长线于，，由旋转知，，，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：点是的中点，，根据勾股定理得，，由折叠知，，点是以点为圆心，为半径的圆上，由旋转知，，点在点右侧过点与垂直且等长的线段上，的最小值为，要最小，则最大，即最大，点在上，点在点或点时，最大，最大值为，线段的长度的最小值．5．（2021•重庆）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．（1）如图1，当时，连接，交于点．若平分，，求的长；（2）如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值．【答案】见解析【详解】（1）连接，过点作于，平分，，，，，，，，，由旋转知，，，，，，，平分，，，，，，，，，；（2），理由：延长至点，使，连接，是的中点，，，，，，，，，，，；（3）如图3，连接，与的交点记作点，，，，，是等边三角形，，，，，在中，，，，，，点，，，四点共圆，，，，，，是的垂直平分线，，，，，，，，，，设，则，由（2）知，，，，，，过点作于，在中，，，，根据勾股定理得，，在中，根据勾股定理得，，，，．6．（2021•重庆）在等边中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．①如图1，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，求线段的长；②如图2，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接，求证：；（2）如图3，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积．【答案】见解析【详解】（1）①过作于，如图：线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，且的延长线过点，，，是等边三角形，，，等边，，，，，，，，，，中，，，中，，，，，中，；②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，如图：绕点逆时针旋转得到线段，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，、、、共圆，，而是等边三角形，，，即，，，①，，，，，，、、、共圆，，，，，②，而③，由①②③得，，，中点，，，，，中，，，，即，中，，中，，，；补充方法：构造等腰，使，且，如图：，与共线，可证，，，而，且，可得，；（2）以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图：中，，最小即是最小，此时、、共线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”，为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角，，，，，，，，，而，，四边形是矩形，，等边中，，，，又，，等边中，，点为中点时，点为中点，，，中，，，，，中，，，．7．（2023•沙坪坝区模拟）在中，，点是线段上一点，连接，过点作，垂足为点，过点作于点．（1）如图1，如果设交于点，且为的中点，若，，求线段的长；（2）如图2，如果，点是线段的中点，过点作，垂足为点，连接，求证：；（3）如图3，如果，求的最大值．【答案】见解析【详解】（1）解：为的中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，；（2）证明：如图，过点作，交直线交于点，连接，，，，又，，，点是线段的中点，，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，是等腰直角三角形，，，，，又，，，，，，；（3）解：，点在以为直径的半圆上运动，点在以为直径的半圆上运动，当点与点重合时，点与点重合时，有最大值为的长，的最大值为4．8．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，将的边绕点逆时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，连接，若，，，，求的长；（2）如图2，点在上，且满足，连接，点为上一点，连接交于点，若，，求证；（3）如图3，若，，，点在直线上且满足，将沿虚线折叠使得点的对应点落在上，连接；与折痕交于点，请直接写出最小时，点到的距离．【答案】见解析【详解】（1）如图1，延长至，使，连接，，，，，，，，，，，；（2）证明：如图2，延长至，使，连接，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图3，作，交于，，，，，，，，可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，设交于，连接，在上截取，连接，，，，，，点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，此时最小，如图4，作于，，，点在平行于的的中位线上运动，在中，，，，，，点到的距离为：．9．（2023•沙坪坝区校级一模）在等腰三角形中，．点为上一点，连接．（1）如图1，若，过点作交延长线于点，连接，过点作交于点，连接，求证：；（2）如图2，过作交延长线于点，将绕着点逆时针旋转至，连接，使得于点，与交于点，若点为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在延长线上，交于点，点、分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，，又，，，，又，，，，；（2）解：连接，，，，设，，，，又，，，，，又，，，，，，，，，，，，，，，；（3）由沿翻折至，可知，，、、、四点共圆，圆心为外心，最大时为直径，又，，，得为等边三角形，，，，在上取，作，连接，使，，得，在、射线上取，连接，由得，，，，，即点为条件中的点，，，又，，，，，当三点共线时，的最小值为，，，，作交延长线于点，，，，中，，最小时平方的值为．10．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在中，，点为边上一点，连接．（1）如图1，若，，，求线段的长；（2）如图2，若，为边上一点且，为上一点且，为的中点，连接，，，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，当，时，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．点、点分别是线段、上的两个动点，连接、．点为延长线上一点，连接，将沿直线翻折到同一平面内的，连接．在、运动过程中，当取得最小值且，时，请直接写出四边形的面积．【答案】见解析【详解】（1），．将绕顺时针旋转得，如图由旋转可得：，，，．，在、中，根据勾股定理得：，即：；解得．．（2）猜想．过作于，找到中点，连接、．如图为等边三角形，又，得：；又，，．，得．，得；；、分别为、的中点，得；，得；，又；得，；；；；．即．（3）将绕着点沿顺时针方向旋转得到；，又，．在上找到，使；连接．△；，可得：．当、、共线且时取得最小值，如图：，，．；，；．根据题意将沿直线翻折到同一平面内的，得，，；；．，；；；．，．，．；；；即．；．．11．（2023•九龙坡区模拟）如图，为等边三角形，为边上一点，过点作，交于点，连接，为的中点，连接．（1）如图1，，，求的面积；（2）如图2，点在内部，连接、，，过点作，垂足为，，垂足为，，连接．求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上运动，连接，延长交于点，将线段绕点顺时针旋转到，与相交于点，当最小时，求的值．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，作于，是等边三角形，，，，，在中，，，，，点是的中点，；（2）证明：如图2，连接，，是等边三角形，，，点在的垂直平分线上，，，，是等边三角形，，在的平分线上，点在的垂直平分线上，，在的垂直平分线上，点是等边三角形的中心，，是的中点，，，是的中点，，，，，，，，；（3）解：如图3，取的中点，作直线，交于，作于，点是的中点，，点在过中点，且与平行的直线上运动，由（2）知：，四边形是平行四边形，，，由旋转知：，，，，点在过的中点，且与平行的直线上运动，当时，最小，如图4，设与交于，交于，交于，作于，设，则，，，，，，，，，，．12．（2023•渝中区校级模拟）如图，在内部，以为斜边作，，连接，．（1）如图1，过点作交于点，若，，求的长；（2）如图2，点为上一点，连接，过点作分别交于点，交于点，若，，求证：；（3）如图3，若，，点为直线上一点，连接，将沿直线翻折至△，连接，，当△面积最大时，请直接写出的面积．【答案】见解析【详解】（1）连接，，则，又，，则，，，，，，在中，，，，在中，，，，，．（2）证明：如图2，取中点，连接，过点作于点，交于点，则，，，，，，则，，，，，且，，，，，，，又，则为等腰直角三角形，，又，．（3）由翻折可知，，，则点在以为圆心，为半径的圆上，作，，，，则当取最大值时，最大，而当经过圆心时，最大，由题意可知，为等腰直角三角形，则，当经过圆心，则平分，，则，△为等腰直角三角形，则，，，，则，，则为等腰直角三角形，，，，则，，由翻折可知，，，，，三点在同一直线上，，．13．（2023•沙坪坝区校级二模）在中，，点为上一点，点为的中点，连接．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，若，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交于点，过作交于点，求证：；（3）如图3，点为射线上一点，在（2）的条件下，连接，点为线段上一点且满足，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，当最小，时，直接写出的面积．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，取中点，连接，，，，，，在中，，，，、分别是、的中点，，，，；（2）证明：如图2，过点作于点，连接，．则，在中，点为的中点，，，，在中，点为的中点，，，，，，，绕点顺时针旋转得到，，，，，即，，，，，，，即，，；（3）解：如图3，以、所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，取、的中点、，连接、，则、分别是、的中位线，、，、、三点共线，过点作交延长线于，过点作交延长线于，设，，是等腰直角三角形，，，点的纵坐标为，设，由旋转的性质可得：，，，，又，，，，，点在直线上运动；，，，，由折叠的性质可得：，取点，，，，，△是等腰直角三角形，即，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，当、、三点共线时，最小，此时点与点重合，，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，设，，，解得：或（舍去），，，，，同理可求出直线的解析式为，联立，解得：，，，又，，，，点为的中点，，，．14．（2023•渝中区校级二模）如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，于点．（1）如图1，过作交的延长线于点．若，，求的长度；（2）如图2，将绕点逆时针旋转到，连接交于点，猜想和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在第（2）问的条件下，将沿着翻折得到，连接，当线段取得最大值，请直接写出的值．【答案】见解析【详解】，，，，（同角的余角相等），在和中，，，，，，，，，，即，；（2），证明如下：过点作交的延长线于点，则，在和中，，，，，由旋转可知，，，，在和中，，，，，；（3）如图3，设，取的中点为，连接、，过点作交的延长线于点，过点作交于点，则，由（2）得，，，，由翻折可知，，点在以为直径的圆上，，当经过的中点时，最大，此时，，，，，，，，，，，，，，，，，．15．（2023•渝中区校级三模）如图，在等边中，为内一点，连接、、，，为上一点，连接．（1）如图1，若平分，，，求的长；（2）如图2，若，且为的中点，求证：；（3）如图3，若，将沿翻折得到△，为上一点，，连接，当最小时，过作的垂线，是垂线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的最小值．【答案】见解析【详解】（1）解：过点作于点，如图1，则，，即，，平分，，，，，又，，在中，，设，则，在中，，，解得：，；（2）证明：在上截取，连接，延长至点，使，连接，如图2，是等边三角形，，，在和中，，，，，为的中点，，在和中，，，，，，，，，，又，，；（3）解：，点的运动轨迹是以为直径的，经过、中点，且以、中点为端点的弧，将沿翻折到△，则点的运动轨迹是以为直径的，经过、中点，且以、中点为端点的弧，连接，交于点，此时最小，分别取和，相应可得和，则点的运动轨迹为直线，过点作直线的垂线，垂足为，此时的值最小，等于，如图，，，，，是的中点，，连接，则，，，过点作于点，则，，，，△△，，即，，，，在△中，，线段绕点逆时针旋转得到线段，△是等边三角形，，，，在△中，，，的最小值．16．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在中，，，点为直线右上方一点，且满足，连接．（1）如图1，若，交于点，求的长；（2）如图2，点为线段上一点，连接、，且满足，试证明；（3）如图3，在（2）的条件下，以，为边构造平行四边形，当时，直接写出的面积．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）证明：如图2，延长、交于点，在上截取，过点作交延长线于点，连接，，，是等边三角形，，，又，，，，，又，，，，又，四边形是平行四边形，，；（3）解：如图3，过点作，垂足为点，四边形是平行四边形，，，，，由（2）知，，，设，则，，在中，，，，，，，（舍去），，，．17．（2023•两江新区一模）在中，，于点．（1）如图1，过点作，分别交，于，，求证：；（2）如图2，过点作交于点，点为左侧一点，且，连接，，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，，，点为内部一点，直接写出的最小值．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：结论：．理由：在上取点，使得，连接，，过点作交的延长线于点，延长交于点．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，；（3）解：如图3中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点．，，，，，四边形是矩形，在中，，，，，，，，，，的最小值为．18．（2023•沙坪坝区校级二模）等边中，点为直线上一动点，连接．（1）如图1，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．若点在边上，且，，求的长度；（2）如图2，若点在延长线上，点为线段上一点，点在延长线上，连接、．在点的运动过程中，若，且，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，将沿直线翻折至所在平面内得到△，点在边上，且，将绕点逆时针方向旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折至所在平面内得到△，在点，运动过程中，当最小时，若，请直接写出△的面积．【答案】见解析【详解】如图1，作于点，，，，，，，，，，，，，，．（2）．如图2，作，交的延长线于点，，，即，，，即，，，，，，，，，，，，；（3）如图3，若将沿直线翻折得到△，则，点在过且平行于的直线上，若将沿直线翻折得到△，则，点定在以为圆心，为半径的上，过作于，交于点，则的长为最小值，连接，作直线，交于，作于，由题得点在上，且，，，，，，，由折叠得，，，，，，，，，，，，，，，，，，．19．（2023•渝中区校级一模）如图，是等边三角形，为上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，分别交、于点、．（1）若，，求的面积；（2）请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）当周长最小时，请直接写出的值．【答案】见解析【详解】（1）如图，将绕点顺时针旋转，得到，则点在上，过点作，，，，为等边三角形，，，根据旋转的性质可得，，，，，，点、、在同一直线上，，；（2）．证明如下：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，，，，，四边形为菱形，，，，为的中位线，，，，；（3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，作点关于的对称点，连接，，，，，交于点，则，，要使周长取得最小值，即取得最小值，，当、、三点共线时，取得最小值，如图，连接，交于点，连接，连接，为等边三角形，，，四边形为菱形，，，且，四边形为矩形，设的边长，，设，则，由（2）知，，则，，为中点，为的中位线，，，，，，，，，，设到的距离为，到的距离为，，，，，，．20．（2023•九龙坡区模拟）如图，在等边中，点是边上的一个动点，点是射线上的一个动点，连接，．（1）如图1，若点为线段的中点，点在线段上，，，求的面积；（2）如图2，若点在延长线上，以为边，在右侧作等边；过点作交于点，当时，求证：；（3）如图3，点在延长线上，，将沿直线翻折得到，点的对应点为点；内部有一动点，满足，若，当的长度最小时，求的最小值．【答案】见解析【详解】（1）解：过点作于点，如图：是等边三角形，点为线段的中点，，，，，设，，，，，，解得：，即，，，，，；（2）证明：过点作，交于点，，，，，、为等边三角形，，，，，在和中，，，，，为等边三角形，为等边三角形，，，，，为等边三角形，，，，在和中，，，，，即，，，；（3）解：，，，，以为边在右边作等边三角形，则，，点、、、四点共圆，过点作，过点作，、相交于点，，，，，，，点、、、四点在以点为圆心，为半径的圆上，过点作于点，，，，当点、、在同一条直线上时，取最小值，将沿直线翻折得到，，，点在与夹角为的直线上运动，当时，取最小值，，，，连接交于点，，．21．（2023•北碚区校级三模）在中，，是边上的高，点是线段上一点，点是直线上的点，连接、，直线交直线于点．（1）如图1，点在线段延长线上，若，，证明：．（2）如图2，点在线段上，连接并延长至点，使得，连接，若．证明：．（3）如图3，点在线段延长线上，若，，点为上一点，，连接，点在的下方且，，连接，．点为的中点，连接，点为线段上的动点，连接，将沿直线翻折得到△，连接，点为的中点，连接，．当最大时，直接写出的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：设，，是上的高，，，，，，，，，，，，；（2）证明：如图1，连接，作，交的延长线于点，作于，延长至，使，连接，，，，，，，，，设，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）解：如图2，，，，，，，，，，取的中点，连接，点是的中点，，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点，，共线时，最大，此时最大，，，点在上，且，．22．（2023•沙坪坝区校级三模）如图，为等边三角形，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角得线段，连接、，其中与交于点．（1）如图1，若为中点，，，求的长；（2）如图2，若，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得，为的中点，连接，当最小时，在内找一点，使的值最小，若，直接写出的最小值．【答案】见解析【详解】（1）证明：为等边三角形，为中点，，，，，，，，，，，，，，，，，解得；（2）解：．理田如下：延长到点，使，连接，为等边三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，是的中位线，，．（3）解：如图所示，设交于点，由（2）可得，△，，，，，翻折，，，将绕点顺时针旋转得到△，，，△是等边三角形，，，当时，最小，过点作于点，，，，在和△中，，△，，，，，，，，，如图所示，过点作，，垂足分别为，且，，在中，，则，，，，当，，，四点共线时，取最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，，，，，，，，，，．23．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在等腰中，，，点在线段的中垂线上，连接、．（1）如图1，若时，连接并延长交于点，若，求的面积；（2）如图2，连接，若，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点．求证：；（3）在等腰内部有一点，连接、、，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的值．【答案】见解析【详解】（1）解：如图，过作，交于，点在的中垂线上，，，，，，，，，；（2）证明：在线段上截取，过点作，交于，如图：，，，，，，，，，，，，，即，在和中，，，，在和中，，，，，，在的中垂线上，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，；（3）解：如图，过作，使，作，使，，，，，，，，，，如图，当、、、在一条直线上时，的值最小，即的值最小，如图，过作，交于，过作交的延长线于，过作，交的延长线于，，，，，设，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，由翻折得：，，，，，，，设，则，，，解得：，，，，．24．（2023•大渡口区模拟）如图，中，，，点在的延长线上．（1）如图1，若，求出的度数；（2）如图2，以为腰在上方作等腰直角三角形，，，点是的中点，过点作于，求证：；（3）当时，仍按（2）的方式作等腰直角三角形和，把沿翻折到平面内，点的对应点为，若，请求出的长．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，过点作于点，，，，，，，，，，即的度数为；（2）证明：如图2，连接，，，即，又，，，，，，，，，点是的中点，点为的中点，是的中位线，，，，，是等腰直角三角形，，，，；（3）解：如图3，过点作，交的延长线于点，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，点是的中点，，由翻折的性质得：，，，，，，，，，，，即的长为．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）在中，，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．（1）如图1，，，点在射线上，求的长；（2）如图2，，于点，，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，，点在射线上，点是上一点且满足，连接，直接写出当最小时，点到的距离．【答案】见解析【详解】（1），，，，，，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到线段，，，，，，，，即，；（2），，，，同理，，，，，，，，，，，，，即，，如图2，作，垂足为，则，在和中，，，，，，，，，又，，，，，即；（3），，和是等边三角形，，，点在的外接圆上，如图3，作的外接，连接，并延长交于点，则垂直平分，作点关于的对称点，则，连接、，，，，，，，连接、，在上截取，作，交于点，则，，，，是等边三角形，是的外接圆，，，，，，点在以为圆心，以为半径的圆上，当、、三点共线时，的值最小，如图4，作于点，作于点，则，，，在中，，，，由勾股定理得，，，，．26．（2023•重庆模拟）在中，，过点作于点，点为线段的中点，连接．（1）如图1，，，求的长度；（2）如图2，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时，连接，点为的中点，连接，求证：；（3）如图3，，，点是线段上一点，连接，将沿翻折到同一平面内得到，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当最小时，直接写出的面积．【答案】见解析【详解】（1）解：，，，，，，，，，；（2）证明：过点作于点，过点作于点．连接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图3中，以为边向上作等边三角形，连接．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，此时．．共线，作于点，，，此时的面积．27．（2023•渝中区模拟）如图所示，和均为等腰直角三角形，其中，，，以，为边作平行四边形，以，为边作平行四边形，点，分别是，的中点．（1）证明：；（2）求的面积；（3）当绕点旋转时，直接写出的长度的最大值．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，在和中，，．（2）解：如图1，过点作于点，延长交于点，则，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，设，，，，，，，点、分别是、的中点，，，，，的面积为；（3）解：如图2，连接、交于点，连接，取的中点，连接、，设与的交点为点，点是平行四边形的对角线的中点，经过点，即、、三点在同一条直线上，且是的中点，，，，在和中，，，，，，，，，，，，点是的中点，是的中点，是的中点，是的中位线，是的中位线，，，，，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，，当的长度最大时，的长度有最大值，，的最大值是5，此时，的长度有最大值为．28．（2023•九龙坡区模拟）在中，，，点为线段上一点，将射线绕点顺时针旋转得到射线，交线段于点，过点作交射线于点，连接．（1）如图1，若点为线段的中点，且，，求的面积；（2）如图2，若，过点作的垂线，在的垂线上取一点，使得，连接，，在的延长线上取一点，连接，使得，当时，证明：；（3）如图3，若，，，点为线段上一点，取线段的中点，连接，，将沿翻折得到△，连接，，取线段的中点，连接．当线段取得最大值时，直接写出△的面积．【答案】见解析【详解】（1）如图1，作于，，，，为线段的中点，，，，，．（2）证明：，，为等边三角形，，，，且，，，，，，，，，，，，，即，，，，，即，．（3），，，，，，，，点为中点，，由折叠得，，点的运动轨迹在以为直径的上，点为中点，，点的运动轨迹在以为直径的圆上，取中点，当过时，长最大，如图所示，作，，，，，，，，，，，，，，，，即，，点为中点，．29．（2023•九龙坡区校级模拟）已知，在中，，，为线段上一点，连接，过点作，，连接，延长到点，连接，使得．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，点是线段上一点，连接，过点作，过点作，交于点，求证：；（3）如图3，点为上一点，连接，若，请直接写出的最小值．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1中，，，，，，，，，，，，；（2）证明：过点作于点，过点作交的延长线于点，连接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）解：如图3中，在的下方作，过点作于点，过点作于点，在上取一点，使得．，，，，的最小值是线段的长，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为．30．（2023•沙坪坝区校级模拟）在中，，，是等边三角形，连接、．（1）如图1，当、、三点在同一直线上时，、交于点，且．若，求的长；（2）如图2，当、、三点在同一直线上时，是中点，连接、，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，，在直线上运动，将沿翻折得到，连接，是上一点，且，是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点到直线的距离．【答案】见解析【详解】（1），，，，，，，是等边三角形，，，，，，在中，，，，，在中，，，；（2）证明：如图1，延长至，是，连接，，设与交于，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，，即：，是等边三角形，，，，；（3）解：如图2，作于，取点，连接，，，，，，，由（2）得，是等边三角形，，，，，即：，，，点在过点且与垂直的直线上运动，，点在以点为圆心，2为半径的上运动，作直线于，当点在处时，交圆于，最小，作于，，，，，，，，在中，，，，，，作于，，，，，，所以此时点到直线的距离为：．31．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，在上，，求证：；（3）如图3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，，，；（2）证明：延长至使，由（1）得，，，延长至使，连接，则，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：延长至使，，，，，，，，，过作的对称点，连接、、、，，当、、三点共线时周长最小，当周长最小时如图所示：，，，是正三角形，，，，，，，，，，，，，．32．（2023•大渡口区模拟）在中，，将绕点旋转，得到．（1）如图①，当时，四边形是什么四边形？并说明理由；（2）将绕点由图①的位置开始顺时针旋转，的延长线交直线于点．①旋转至如图②，用等式表示与的数量关系，并证明你的结论；②旋转至如图③，在①的结论下，的延长线交于点，为的中点，且，，直接写出的长．【答案】见解析【详解】（1）如图①中，四边形是菱形．理由：，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）①如图②中，结论：．理由：由旋转变换的性质可知．，，，；②连接，，过点作于点，于点，设交于点．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．33．（2023•九龙坡区模拟）在等腰中，，，将斜边绕点逆时针旋转一定角度得到线段，交于点，过点作于点．（1）如图1，当旋转时，若，求的长；（2）如图2，当旋转时，连接，恰好使，延长交于点，连接，求证：；（3）如图3，点是边上一动点，在线段上存在一点，使的值最小时，若，请直接写出的面积．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，当旋转时，则，过点作于点，则，在等腰中，，则，则，在等腰中，；（2）证明：如图2，延长交的延长线于点，，，，，，，，，，，，则，，，，，；（3）解：如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，．则，是等边三角形，，，，当，，，共线时，的值最小，此时，，，，，，，，，，即，，则，则的面积．34．（2023•潼南区二模）等腰中，，，点为平面内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．（1）如图1，连接、，若、、三点共线，，当时，求的值；（2）如图2，连接、，点为上一点，连接，若，求证：点是的中点；（3）如图3，连接并延长至点，以为斜边构造，交于点，连接，已知，，，求的最小值．【答案】见解析【详解】（1）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，，，，，，，，，又，，，，又，，，；（2）证明：如图所示，将绕点旋转，得到，是等腰直角三角形，，则，，延长交，于点，，，，，又，，，，，又，，，，又，，四边形是平行四边形，是的中点，是的中点；（3）解：如图所示，连接，是直角三角形，，，，，，是定值，则点在上运动，当最小时，，重合，此时，．35．（2023•铜梁区模拟）如图，在中，，，，为上一动点，以为边作等边．（1）如图1，若，求的面积；（2）如图2，在上取一点，使，连接．将绕着点逆时针旋转，使落在上，连接，取的中点，连接，．请你猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，若在直线上运动，连接，当取最小值时，直接写出的值．【答案】见解析【详解】（1）如图1中，，，，，．是等边三角形，的面积；（2）结论：．理由：如图2中，延长到，使得，连接，．，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，；（3）是含有的直角三角形，当时，的值最小，此时，，，，．36．（2023•潼南区一模）在中，，为射线上一点，，为射线上一点，且，连接．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，若，连接并延长，交于点，求证：；（3）如图3，若，垂足为点，猜想、、的数量关系，并证明．【答案】见解析【详解】（1）解：，，，，，，，，，（2）证明：如图，过作交的延长线于点．，，，，，，，，，，，，，，，，，为等腰三角形，，为的中点，．（3）解：结论：．理由：如图3，取中点，延长至，使，连接，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，．37．（2023•重庆模拟）已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．【答案】见解析【详解】（1）如图1，过点作于点，为等边三角形，，，，，，，，，，，，，，；（2），理由如下：如图2，延长到，使，连接，过点作，交于点，为等边三角形，，，由旋转的性质得，，，，，，，，，，，，，又，，，，，又，，，，，同理，，，；（3）如图3，过、分别作的垂线，分别交于点，交于点，作，交于点，为等边三角形，，，，，，，又，，，，，，，，，，，设，则，，，，，的周长，当的周长最小时，的值最小，当时，的值最小，此时，，即点、重合，如图4，的面积．38．（2023•江津区二模）（1）如图1，等腰为底）与等腰为底），，判断与的数量关系，并说明理由；（2）如图在，在矩形中，，，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接，当时，求的长度；（3）如图3，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结，中点为，中点为，若，直接写出的长．【答案】见解析【详解】（1）；理由：，，即，在和中，，，．（2）点在线段上运动，如图，作于，，，，，，由旋转的性质可得，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，．；（3）连接，并延长交的延长线于，连接，，为的中点，，，，，，，是的中点，，是的中位线，，矩形中，，，，，延长至，使，连接，，，同（1）①可知，，，，，