专题11 解答压轴题：二次函数综合（解析版）

专题11解答压轴题：二次函数综合一．解答题（共42小题）1．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．（1）求该抛物线的表达式；（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．【答案】见解析【详解】（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）令，则或3，则点，由点、知，直线的表达式为：，过点作轴的平行线交于点，则，则，则，则，设点，则点，则，即的最大值为：，此时点；（3）平移后的抛物线的表达式为：，则点，设点，，则，，，当时，则，解得：，则点的坐标为，；当时，则，解得：或，则点的坐标为：，或，；综上，点的坐标为：，或，或，．2．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）令，解得：或，即点，轴，则，则，则，，由点、的坐标得，直线的表达式为：，则，即的最大值为2，此时，点，则周长的最大值，即周长的最大值为，点；（3）抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，则平移后抛物线的对称轴为，设点，，点，由点、的坐标得，，当是对角线时，由中点坐标公式和得：，解得：，即点的坐标为：，；当或是对角线时，由中点坐标公式和或得：或，解得：（不合题意的值已舍去），即点的坐标为：，；综上，点的坐标为：，或，或，．3．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）把，代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；（2）设直线解析式为，把，代入得：，解得，直线解析式为，设，则，在中，令得，，，，，，当时，取最大值，此时，，；答：的最大值为，此时点的坐标是，；（3）将抛物线向左平移5个单位得抛物线，新抛物线对称轴是直线，在中，令得，，将，向左平移5个单位得，，设，，①当、为对角线时，、的中点重合，，解得，，，；②当、为对角线时，、的中点重合，，解得，，，；③当、为对角线时，、的中点重合，，解得，，，；综上所述，的坐标为：，或，或，．4．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，点与点关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴经过点．点在新抛物线上，点在上，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．【答案】见解析【详解】（1）抛物线与轴交于点，与轴交于点．，．抛物线的函数表达式为；（2），，，，由勾股定理得，，，，，，，，，，，，设，，，，，开口向下，，当时，的最大值为，此时；（3）由知，对称轴，，直线，抛物线向右平移个单位，平移后抛物线解析式为，设，，①与为对角线时，，，，②与为对角线时，，，，③与为对角线时，，，，综上：或或．5．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线下方抛物线上的一个动点．过点作，垂足为，轴，交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点．是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．【答案】见解析【详解】（1）抛物线经过，，，解得：，该抛物线的函数表达式为；（2）如图1，设直线的函数表达式为，，，，解得：，直线的函数表达式为，令，得，解得：，，设，其中，点在直线上，轴，，，，，，，，又轴，，，，，，的周长为，令的周长为，则，，当时，周长取得最大值，最大值为．此时，点的坐标为．（3）如图2，满足条件的点坐标为，，．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线，①若是平行四边形的对角线，当与互相平分时，四边形是平行四边形，即经过的中点，点的横坐标为2，点的横坐标为2，点的坐标为，②若是平行四边形的边，Ⅰ．当且时，四边形是平行四边形，，，点的横坐标为2，点的横坐标为，点的坐标为；Ⅱ．当且时，四边形是平行四边形，，，点的横坐标为2，点的横坐标为，点的坐标为；综上所述，点的坐标为或或．6．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】见解析【详解】（1）将，代入得，，，（2）当时，，点，点与点关于直线对称，且对称轴为直线，，，直线的函数关系式为：，设，作轴交直线于，，，，当时，最大为8，（3）直线与轴正方向夹角为，沿方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，，，抛物线平移后，抛物线的对称轴为：直线，当为平行四边形的边时：若平移到对称轴上点，则的横坐标为，代入得，，若平移到对称轴上点，则的横坐标为，代入得，，若为平行四边形的对角线时，若平移到对称轴上点，则平移到点，的横坐标为，代入得，或或.7．（2023•沙坪坝区模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；（3）在第（2）小问的条件下，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线过点，点在平移后抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，则点，，设抛物线的表达式为：，即，即，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）由点、、的坐标知，，，，则为直角三角形且为直角，，为直角，则，由点、的坐标得，直线的表达式为：①，同理可得：直线的表达式为：，直线的表达式为：，设点，则点，，则直线的表达式为：②，联立①②得：，解得：，则面积，，故面积有最大值，最大值为：，此时，，点，；（3）存在，理由：，设抛物线沿向右个单位，则向上平移个单位，则平移后的抛物线表达式为：，将点的坐标代入上式得：，解得：，则新抛物线的对称轴为，则设点，，点，由点、的坐标得，，当为菱形的边时，则，即，解得：或，即点的坐标为，或，，当为菱形的边时，的中点即为的中点，由中点坐标公式得：，则点的坐标为：，或，．8．（2023•九龙坡区校级模拟）如图1，点为直线与抛物线在轴上的一个交点，点为直线上一点，抛物线与轴交于点．（1）求的面积；（2）点是直线上方的抛物线上一点，过作轴交直线于，作轴交直线于，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，平移后的抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上一点．若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）当时，解得：，即点；令，则或3，即点，设直线和轴的交点为点，则点，则的面积；（2）如图2，由直线的表达式知，，轴，则，则，则，则，设点，则点，则，即的最大值为，则的最大值为：，此时，点，；（3）①，则平移后的抛物线表达式为：②，联立①②得：，解得：，则点，设点，由点、、的坐标得，，，，当时，则，解得：，则点的坐标为：或；当时，则，解得：，即点的坐标为：或，综上，点的坐标为：或或或．9．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作交对称轴于点，在直线下方对称轴右侧的抛物线上有一动点，过点作轴交直线于点，过点作交于点，求最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿着轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点是新抛物线上一点，点是平面直角坐标系内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为对角线的菱形，若存在，求所有符合条件的点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）抛物线与轴交于点，、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，设抛物线的顶点式为，将，代入得，，；（2），，，，，，，是等腰直角三角形，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，设，则，，，，，，当时，最大值为，此时点的坐标为，；（3）由题意得，将原抛物线沿着轴正方向平移个单位，新抛物线经过原点，新抛物线的解析式为，作的垂直平分线交轴于，垂足为，抛物线与轴交于点，、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，，、，，，垂直平分，，，，，，，，设直线的解析式为，，，直线的解析式为，联立得，解得或，或，以、、、为顶点的四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为，或，．10．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与直线的交点为．（1）如图1，求直线的表达式；（2）如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值和此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移4个单位得到新抛物线，新抛物线与坐标轴轴交于点．点与点关于轴对称，连接，将沿直线平移得到△．平移过程中，在直线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程．【答案】见解析【详解】（1）在中，令，得，，令，得，解得：，，，，，，设直线的表达式为，则，解得：，直线的表达式为；（2）设，则，，轴，轴，，，，记的周长为，的周长为，，，，，，，在中，，，即，，，，当时，取得最大值，当时，，此时点的坐标为，；（3）平移过程中，在直线上存在点，使得，，，为顶点的四边形是菱形．，原抛物线的顶点坐标为，，对称轴为直线，抛物线沿射线方向平移4个单位得到新抛物线，原抛物线向左平移个单位，再向上平移2个单位得到新抛物线，即新抛物线的顶点坐标为，，新抛物线的解析式为，令，得，，点与点关于轴对称，，原抛物线的对称轴与直线的交点为，，，，，，是等边三角形，将沿直线平移得到△，，，即向右平移个单位，向上平移个单位，得到等边△，，，，，，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，设，当、为菱形的对角线时，与的中点重合，，解得：，，；当、为菱形的对角线时，与的中点重合，，解得：，，；当、为菱形的对角线时，与的中点重合，，解得：，，；综上所述，点的坐标为，或，或，．11．（2023•九龙坡区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴于点，连接，为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点为直线下方抛物线上的一动点，过作于点，过作轴于点，交直线于点，求的最大值，以及此时点的坐标；（3）将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点为的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，点为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．在平面直角坐标系中确定点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）抛物线与轴交于点、两点，抛物线的表达式为：，即；（2），令，则，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，轴，轴，，，，，，，，，设，则，，当时，最大为2，的最大值为，此时点的坐标为；（3）将抛物线沿射线方向平移，，，设抛物线向上平移个单位，向右平移个单位，新抛物线的解析式为，平移后的图象经过点，，解得或（舍去），新抛物线的解析式为，点，，点的坐标为，设，，，，，①当时，，解得或（舍去），此时，、为对角线，，，，，，；②当时，，解得，此时，、为对角线，，，，，，；③当时，，解得或（舍去），此时，、为对角线，，，，，，；综上所述，点的坐标为或或．12．（2023•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．（1）求线段的长度；（2）如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，连接交于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点与点关于原抛物线对称轴对称，将原抛物线沿着射线方向平移个单位，得到新抛物线，为直线与轴的交点，为直线上一点，将直线绕着点逆时针旋转得到直线，交新抛物线于点，点为平面直角坐标系内任意一点，直接写出所有使得四边形为菱形的点的横坐标．【答案】见解析【详解】（1）抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，令，得，令，得，解得：，，，，，，，在中，；（2）如图1，过点作轴，交直线于点，交直线于点，作于点，交于点，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，，设直线的解析式为，把代入，得，解得：，直线的解析式为，令，得，，在中，，设，则，，轴，，，，，即，，，，当时，取得最大值，此时点的坐标为，；（3），抛物线的对称轴为直线，顶点为，点与点，关于直线对称，，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，将原抛物线沿着射线方向平移个单位，得到新抛物线，即将原抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到新抛物线，新抛物线为，为直线与轴的交点，，设，将直线绕着点逆时针旋转得到直线，则，当为菱形的对角线时，如图2、图3，设直线交轴于点，直线交轴于点，则，，，，，，，，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，联立方程组，得，，解得：，，当为菱形的对角线时，如图2、图3，设直线交轴于点，直线交轴于点，则，，，，，，，，，同理可得直线的解析式为，联立方程组，得，，解得：，，综上所述，点的横坐标为或或或．13．（2023•沙坪坝区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到新抛物线，且新抛物线经过线段的中点，新抛物线与轴交于点，点为新抛物线对称轴上一点，点为坐标平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）令，得，解得：，，，，令，得，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为；（2）设，则，，，，，，轴，轴，，，，，即，，，，当时，取得最大值，此时点的坐标为；（3），，抛物线沿着射线方向平移得到新抛物线，且新抛物线经过线段的中点，相当于向右平移1个单位，向下平移个单位，新抛物线的函数表达式为，即，新抛物线对称轴是直线，与轴交于点，设，，，又，当、是对角线时，与的中点重合，且，，解得：或，点的坐标为，或，；当、是对角线时，与的中点重合，且，，解得：，点的坐标为，；当、是对角线时，与的中点重合，且，，解得：或，点的坐标为，或，；综上所述，点的坐标为，或，或，或，或，．14．（2023•渝中区校级二模）如图1，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点、．（1）求直线的函数表达式；（2）点是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到新抛物线，与原抛物线相交于点，点是新抛物线对称轴上的一个动点，点为平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）抛物线，令，则，令，则，解得或，，，，直线经过点、，，解得，直线的函数表达式为；（2）过点作轴交于点，过点作于点，设，则，，，，，，轴，，，是等腰直角三角形，，，，，，面积的最大值为，此时点的坐标为，；（3），，，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到新抛物线，即将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，抛物线，新抛物线，解方程组得，，，新抛物线的对称轴为直线，设，，，，①当时，，，，点的坐标为，，点的坐标为；②当时，，，或，点的坐标为，，点的坐标为或；综上，点的坐标为或或．15．（2023•渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求的面积；（2）点是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点的坐标；（3）将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到△（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）当时，，当时，，解得：，，，，，，，，，；（2）过点作轴交于点，，，，，，轴，，，，则当最大时，也最大，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，设，，，当时，最大，则，线段的最大值为，此时点的坐标为，；（3），将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，即原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，原抛物线，新抛物线，令，解得，，，设向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，则，，，，，，，，①当时，，（舍去）或，点的坐标为，；②当时，，或，点的坐标为，或，；综上所述：点的坐标为，或，或，．16．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．（1）求点到直线的距离；（2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作，平行轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）连接，过作于，如图：在中，令得，，，在中，令得，解得：或，，，，，，，，，点到直线的距离为；（2）由，可得直线解析式为，，，轴，，是等腰直角三角形，，，设，则，，，当时，周长最大，最大为，此时，；（3）存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：将抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，由得，，设，，又，①以，为对角线，则，的中点重合，且，，解得或，，或，；②以，为对角线，则，中点重合，且，，解得与重合，舍去）或，；③以，为对角线，则，的中点重合，且，，解得，，；综上所述，的坐标为，或，或或，．17．（2023•两江新区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，为上一点，且，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与轴交于点，点是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）把，代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；（2）如图：在中，令得，，，，，，直线函数表达式为，设，则，，，轴，，，，，即，；，当时，取最大值，最大值为，此时，的最大值为，此时点的坐标是；（3）直线函数表达式为，将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，新抛物线函数表达式为，新抛物线和原抛物线交于点，，解得（舍去）或，新抛物线函数表达式为，新抛物线对称轴是直线，设，，在中，令得，，，，，，①若为腰，则，，解得，，；②若为腰，则，，解得或，，或，，综上所述，点的坐标为，或，或，．18．（2023•沙坪坝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．（1）求线段的长度；（2）点为直线下方抛物线上的一动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点．求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，为射线上的动点，过点作轴交新抛物线的对称轴于点，点为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）在中，令得；；令得：，解得或，，，，线段的长度为；（2），抛物线的对称轴是直线，设，由，得直线的解析式为，，，关于直线对称，，，，当时，取最大值6，此时的坐标为；（3），，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，新抛物线解析式为，新抛物线的对称轴为直线；设，，则，而，①若，为对角线，则，的中点重合，且，，解得：或（此时不在射线上，舍去）；，；②若，为对角线，则，的中点重合，且，，解得：（此时，重合，舍去）或，；③若，为对角线，则，的中点重合，且，，解得：或，，或，；综上所述，的坐标为，或或，或，．19．（2023•渝中区校级一模）已知抛物线与轴交于、两点点在点左侧），与轴交于点，且，该抛物线的对称轴为直线．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，为与轴的交点，为新抛物线对称轴上一点，点平移后的对应点为，平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出所有点的坐标，并写出其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）抛物线与轴交于点，，，，，称轴为直线，，解得，抛物线的解析式为；（2），，对称轴为直线，，，，过点作于点，则轴，，，，，即，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，设，则，，，，当时，的最大值为，此时，点的坐标为，；（3）抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，，抛物线向右平移3个单位，向上平移1个单位，抛物线的解析式为，，新的抛物线，平移后抛物线的对称轴为，与轴的交点，以、、、为顶点的四边形为矩形，为直角三角形，设，，，，，①当为对角线，时，，，，，，，，点的坐标为，；②当为对角线，时，，，或，的坐标为，或，，，，点的坐标为，或，；③当为对角线，时，，，，，，，，点的坐标为，；综上，存在，点的坐标，或，或，或，．20．（2023•九龙坡区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于轴上的点，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．（1）求直线的解析式；（2）如图1，连接，点为直线、之间第二象限抛物线上的一动点，过点作轴交直线点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与直线交于第一象限的点记为，线段在直线上运动，记运动中的点为，点为，当△是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的横坐标．【答案】见解析【详解】（1）抛物线与直线相交于轴上的点，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），当时，代入直线中，得，，将代入抛物线中，得，抛物线为，当时，，解得，，，，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，直线的解析式为．答：直线的解析式为．（2）设点为，则，，，如图，过点作于，设交于，交轴于，则，，，轴，，，，，，，，，，，，为等腰直角三角形，，设，则，，，，，，，，，当时，有最大值，此时点的坐标为．答：有最大值，此时点的坐标为．（3），设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，原抛物线向右平移3个单位，向上平移个单位，，，联立，解得（舍去），，，由（2）得，当时，，，设，，，，，当时，，，解得，或，当时，，，解得，，综上，点的横坐标为，或．答：点的横坐标为，或．21．（2023•北碚区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）．（1）求直线的解析式；（2）如图1，点为线段上方的抛物线上任意一点，过点作轴于点，交于点．求的最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，为新抛物线的对称轴上一动点，为平面直角坐标系内的任意一点，请直接写出所有使以点、、、为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程．【答案】见解析【详解】（1）抛物线，当时，；当时，则，解得，，，，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为．（2）设，，轴于点，交于点，，，，，当时，的值最大，最大值为，此时，．（3）如图2，设新抛物线交于点，作轴于点，则，，，，，，，，抛物线的顶点坐标为，，设抛物线的顶点坐标为，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，，，新抛物线的解析式为，它的对称轴是直线，设的中点为点，则，当菱形以为对角线时，则点与点关于点对称，点的横坐标为，设，由得，解得，，过点作直线的垂线，垂足为点，则，，当菱形以、为邻边，菱形以、为邻边时，则，，，，，，，，设，，将线段向右平移6个单位，再向下平多3个单位得到线段，，，；将线段向右平移6个单位，再向下平多3个单位得到线段，，，，，综上所述，点的坐标为或或，．22．（2023•沙坪坝区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．（1）求的面积；（2）如图1，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为原抛物线的顶点，动点为新抛物线对称轴上一点，当为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）令，则，解得或，，，，令，则，，，的面积为：；（2）如图1，过点作轴于点，，，，，，在中，，，，，，，设点的横坐标为，，，，直线的解析式为：，，，，，当时，的最大值为，此时，．（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向左平移1个单位，向上平移个单位，，，点为原抛物线的顶点，动点为新抛物线对称轴上一点，，的横坐标为，设点，，，，，若为等腰三角形时，则需要分以下三种情况：①，则，解得，②，则，解得，③，则，解得，综上，符合题意的点的坐标为或或或或．23．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．（1）求的面积；（2）点为直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交直线点，求的最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为新抛物线对称轴上一动点，点为新抛物线上一动点，当以、、、为顶点的四边形的对角线互相平分时，请直接写出此时点的纵坐标．【答案】见解析【详解】（1）在中，令，得，，，令，得，解得：，，，，，；（2）设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，设，则，，如图，过点作轴于点，则，在中，，，即，，，，当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为，；（3）在射线上取一点，使，过点作轴于点，则，如图，，，，，，，，即，，，沿射线方向平移个单位相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到新抛物线，，新抛物线的对称轴为直线，点为新抛物线对称轴上一点，点的横坐标为，设，，点是新抛物线与轴交点，，点为新抛物线上一动点，设，当以、、、为顶点的四边形的对角线互相平分时，有三种情形：①若、为对角线，则、的中点重合，，解得：，点的纵坐标为；②若、为对角线，则、的中点重合，，解得：，点的纵坐标为；③若、为对角线，则、的中点重合，，解得：，点的纵坐标为；综上所述，点的纵坐标为或或．24．（2023•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于点，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后点，的对应点分别为，，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）把，代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；（2）过作轴于，过作轴于，如图：由，得直线函数表达式为，设，直线函数表达式为，，解得，直线函数表达式为，联立，解得，，，，，，，当时，取最大值，最大值为，此时，，的最大值为，此时点的坐标是，；（3），将抛物线沿水平方向向右平移3个单位所得新抛物线函数表达式为，新抛物线对称轴为直线，又，，，，，，设，，，；①若以，为平行四边形对角线，则，的中点重合，，解得，；②若，为对角线，同理可得；，解得，；③若，为对角线，同理得；，解得，，综上所述，的坐标为或或．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．（1）求线段的长度；（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线分别交，轴于点，，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，点是平移后的抛物线的对称轴上的一点，平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】见解析【详解】（1）在中，令，得，，，令，得，解得：，，，，，，在中，；（2）设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，设，则，，，，，，当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为；（3），，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向下平移6个单位，新抛物线解析式为，新抛物线的对称轴为直线；为点的对应点，，平移后的抛物线与轴交于点，，点是平移后的抛物线的对称轴上的一点，点是平面直角坐标系内一点，设，，，①若，为对角线，则，的中点重合，且，，解得：或，，或，；②若，为对角线，则，的中点重合，且，，解得：，，；综上所述，点的坐标为，或，或，．26．（2023•重庆模拟）如图，抛物线与轴相交于点，点在的左侧），与轴相交于点，连接，．（1）求的面积；（2）如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，当有最大值时，求的最大值与点的坐标；（3）将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，点为原抛物线与新抛物线的交点，点是原抛物线对称轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）对于①，当时，，即点，令，则或，即点、的坐标分别为：、，则，则的面积，即的面积为9；（2）在中，，，则，则，则，由点、的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，则，的最大值为：，此时，点，；（3）②，联立①②得：，解得：，则点，设点，而点，则，，，当时，则，解得：，即点的坐标为：或；当时，则，解得：，即点的坐标为：；综上，点的坐标为：或或．27．（2023•渝中区模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若点是第三象限抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；（3）若点在抛物线的对称轴上，线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标（如果有多个答案只需写出其中一个答案的解答过程，其余答案直接写出结果）．【答案】见解析【详解】（1）抛物线与轴交于点和点，，解方程组，得．抛物线的表达式为；（2）如图，过点作轴于点，设，．，，．当时，．点的坐标为．．，当时，最大，且最大值为．此时，点的坐标为；（3），抛物线的对称轴为，点在抛物线的对称轴上，设，线段绕点时顺针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，分两种情况：①当时，要使，由图可知点与点重合．设抛物线对称轴与轴相交于点，，．．②当时，由题意，得，，如图，过作对称轴于点，，，，，△△，，，，代入得，解得，（舍去），．满足条件的点的坐标为或．28．（2023•九龙坡区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．（1）求的面积；（2）点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的求解过程写出来．【答案】见解析【详解】（1）令，则，解得或，，，，令，则，，，的面积为：；（2）如图1，过点作轴于点，，，，，轴，，设直线的解析式为：，，解得，直线的解析式为：，设点的坐标为，则，，，，当时，的最大值为，此时；（3）将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，，新的抛物线，平移后的抛物线对称轴为直线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上的一动点，，设，，，，，以点、、、为顶点的四边形是菱形时，则需要分以下三种情况：①当为对角线时，，则，解得，或，点的坐标为或；②当为对角线时，，则，解得，或，点的坐标为或；③当为对角线时，，则，解得，，此时，、、三点共线，是线段的中点，此种情况不存在；综上，符合题意的点的坐标为或或或．29．（2023•九龙坡区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．（1）求点的坐标；（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）点在抛物线的图象上，，点的坐标为；（2）过作于点，过点作轴交于点，如图，，是等腰直角三角形，，轴，，是等腰直角三角形，，当最大时，最大，设直线解析式为，将代入得，，直线解析式为，设，，则，，，当时，最大为，此时最大为，即点到直线的距离值最大；（3）存在，理由如下：，抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，点的坐标为，分三种情况：①当为平行四边形对角线时，，解得，点的坐标为；②当为平行四边形对角线时，，解得，点的坐标为；③当为平行四边形对角线时，，解得，点的坐标为；综上，点的坐标为：或或．30．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求直线的表达式；（2）如图1，连接，，若点是第二象限内抛物线上一点，过作轴，交于点，过作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，为轴右侧新抛物线上一点，过作轴交射线于点，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）在中，令，得：，，令，得，解得：，，，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为；（2）延长交轴于，如图：，，，是等腰直角三角形，，，，轴，是等腰直角三角形，，设，则，，，，，，当时，取最大值，此时；（3），，，，在中，，，将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于把抛物线向右移6个单位，再向上移3个单位，如图：新抛物线，新抛物线与轴交于点，，，直线解析式为，设，则，，，，当时，，解得（与重合，舍去）或或，或；当时，，解得（舍去）或，，，当时，，解得（舍去）或或，或，综上所述，的坐标为或或，或或．31．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，．（1）求出的面积；（2）如图，点是直线上方抛物线上一点，是线段上一点且满足，求的最大值及此时点的坐标；（3）将该抛物线沿射线方向平移2个单位得到新的抛物线，为与轴的交点，为新抛物线对称轴上一点，点平移后的对应点为，在平面内确定一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）对于①，当时，，令，则或，即点、、的坐标分别为：，、，、，则的面积；（2）由点、的坐标知，，则，由点、的坐标得，直线的表达式为：，设，则点，则，则，，故有最大值为4，此时点的坐标为：，；（3）抛物线沿射线方向平移2个单位，相当于抛物线向右平移个单位、向下平移1个单位，则点，，则，则点，设点，，点，由点、的坐标得，，由点、的坐标得：点向左平移个单位向下3个单位得到点，则点且向左平移个单位向下3个单位得到点且，则或，解得：或，故点的坐标为：，或，．32．（2023•大渡口区模拟）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．（1）求和的值．（2）若点与点关于直线对称，连接．①求点的坐标；②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）将点代入得：，，直线的表达式为，把点代入，得：，，将代入得：，；（2）①连接，过作轴于，如图：，，，是等腰直角三角形，，由点与点关于直线对称，知，，，即，，点的坐标为；②以点，，，为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：设，，又，，（Ⅰ）若，是对角线，则，的中点重合，，解得，，；（Ⅱ）若，为对角线，则，的中点重合；，解得，；（Ⅲ）若，为对角线，则，的中点重合，，解得，，综上所述，的坐标为，或或．33．（2023•九龙坡区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知，直线的解析式为．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段上有一动点，过点作交抛物线于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值以及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿轴向下平移5个单位长度得到新抛物线，平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为、、，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）对，当时，，当时，，，，抛物线经过点，，设抛物线的解析式为，将点代入得，，，二次函数的解析式为；（2）点，点，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，当取最大时，取得最大值，设点的坐标为，则点的坐标为，，时，的最大值为，的最大值为，点的坐标为，；（3）函数向下平移5个单位，平移后的抛物线的解析式为，的坐标为，令，得，解得：或，点，，设点为，当以为对角线时，有，解得：，点的坐标为；当以为对角线时，有，解得：，点的坐标为；以为对角线时，有，解得：，点的坐标为；综上所述，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或或．34．（2023•潼南区二模）抛物线交轴于、两点，交轴于点．直线交轴于点，交抛物线于、两点．（1）如图1，求，，的值；（2）如图2，为直线上方抛物线上一动点，轴交轴于点，交于点；过点平行轴的直线交于点，求线段的最大值及此时对应点的坐标；（3）如图3，将抛物线沿线平移一定的距离得新抛物线，使得抛物线过点，为新抛物线的顶点．点为抛物线上的一动点，点、为直线上的两个动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选一个点坐标，写出推理过程．【答案】见解析【详解】（1）设抛物线的表达式为，则，则，则抛物线的表达式为：；将点的坐标代入一次函数表达式得：，则，则一次函数的表达式为：，即，，；（2）由一次函数的表达式知，，则，则，，则有最大值，为，此时点，；（3）由抛物线的表达式知，其顶点为，设抛物线沿射线向左移动个单位，则平移后抛物线的顶点为，平移后抛物线的解析式为，新抛物线经过点，，解得或0（舍，，设点、的坐标分别为、，点，当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，则点的坐标为：，或，；当或为对角线时，同理可得：或，解得：或，即点的坐标为：或；综上，点的坐标为：，或，或或．35．（2023•铜梁区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，是线段上方抛物线上一动点，过作交于，交于，求的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，为直线上一动点，是坐标平面上一点，为（2）中取最大值时的点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：①；（2）由函数的对称性知，点，由抛物线的表达式知，点，则，则，由点、的坐标知，直线的表达式为：，设点的坐标为：，则点，则，即的最大值为4，此时点的坐标；（3）平移后的抛物线的表达式为：②，联立①②并解得：，即点，设点，点，当是对角线时，由中点坐标公式和得：，解得，即点的坐标为：，或，；当或是对角线时，由中点坐标公式和或得：或，解得：或，即点的坐标为：，或；综上，点的坐标为：，或，或，或．36．（2023•潼南区一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值以及此时点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段的中点，且平移后抛物线的对称轴与轴交于点．，是直线上任意两点，为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的横坐标．【答案】见解析【详解】（1）将，代入，，解得，；（2）当时，，，，点，，，轴，轴，，，，，设直线的解析式为，，解得，，设，则，，，当时，有最大值，此时，；（3），，的中点为，，设抛物线沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，平移后的函数解析式为，平移后的抛物线经过点，，，解得或（舍，平移后的函数解析式为，抛物线的对称轴为直线，，，设，，，当为平行四边形的对角线时，，解得或；当为平行四边形的对角线时，，解得或；当为平行四边形的对角线时，，解得或．综上所述：点的横坐标为或或或．37．（2023•重庆模拟）如图1，抛物线与轴交于，．两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过点，．（1）求直线的解析式；（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】见解析【详解】（1）在中，令得，，在中，令得或，，，设直线解析式为，，解得，直线的解析式为；（2）过作轴于，交于，连接，如图：，，，，，设，则，，，，，，，即，，，，，，，即，，，，，当时，的最小值为，此时，，的最大值为，此时点的坐标是，；（3），，将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移2个单位，再向上平移个单位，新抛物线解析式为，新抛物线的对称轴为直线，设，，，而，，，①若，为对角线，则，的中点重合，，解得，，；②以，为对角线，同理得：，解得，，；③以，为对角线，同理得：，解得；，；综上所述，的坐标为，或，或，．38．（2023•江津区二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．（1）求的面积；（2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）直线与轴交于点，，解得，点，抛物线经过点，，，解得，抛物线的解析式为，在中，令得，解得或，点坐标为，，，的面积为5；（2）过点作轴交于点，如图：由（1）知直线解析式为，设点，则点，，，，，当时，取最大值，最大值为9，此时点；（3）在抛物线上存在点，使，理由如下：当点在上方时，设交轴于点，如图：，，，，解得，，点，设直线解析式为，将点，点代入得：，解得，直线解析式为，联立解析式得，解得：或，点；当点在下方时，，，点的纵坐标为，在中，令得，解得或，点的坐标为．综上所述，点坐标为或．39．（2023•万州区模拟）如图，在平面直角