S10-数学7-函数的概念与表示法

【知识要点】1、函数的概念：在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数函数的三要素：定义域、值域、对应法则。其中对应法则是核心。两函数相同的充要条件是三要素相同，但因为定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也就随之确定，因此判断两函数相同，则只需看定义域和对应法则是否一致。（注意：值域和对应法则相同，不一定有定义域相同）2、函数的表示法:（1）列表法:用表格的形式表示两个变量之间的函数关系的方法;（2）图象法:用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法;（3）解析法:用解析式把两个变量间的函数关系表示出来的方法.3、分段函数:在定义域的不同部分有不同的对应法则的函数,称为分段函数.4、复合函数:如果y是u的函数,即u是x的函数,即那么y关于x的函数叫做和的复合函数,其中为中间变量.【典例精析】题型一、函数的概念例1、下列各题中的两个函数是否表示同一函数(1);(2)（3）（4）(5)（6）【规律方法总结】：抓住函数三要素判断函数异同，其中定义域与解析式是函数两核心要素，这两个要素共同决定第三要素值域。因此要判断两函数是否为同一函数，只需判断其定义域与值域是否均相同即可。例2、题型二、函数的定义域问题1、已知函数解析式，求定义域，是求使函数式有意义的一切实数的集合，解答的主要依据有：（1）是整式时，定义域是全体实数；（2）是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；（3）是偶次式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合；（4）零指数幂的底数不能为零；（5）若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。（6）由实际问题给出的函数定义域的确定，除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义。2、复合函数的定义域：已知的定义域是，求的定义域。对于复合函数，若的定义域为，则的值域为。即满足的集合为的定义域。例2求下列函数的定义域：（1）（2）（3）【变式训练】（1）函数的定义域是_______________（2）函数的定义域是_______________（3）函数的定义域为_______________（4）函数的定义域是____________例3（1）已知函数定义域是[0，2]，求函数定义域；（2）已知函数的定义域是[0,2]，求函数的定义域。巩固练习（1）若函数的定义域为，求函数的定义域（2）若函数的定义域为，则函数的定义域是____________（3）已知函数的定义域为，则的定义域是____________（4）设函数的定义域为，求函数的定义域（5）、函数的定义域是R，求实数k的取值范围（6）当为何值时，函数的定义域为全体实数（7）若函数的定义域是一切实数，求的取值范围题型三求函数解析式的问题配凑法：根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式例1：已知，求的表达式巩固练习：已知，求。2、换元法1：若的表达式为（）（A）2x+1（B）2x—1（C）2x—3（D）2x+72：已知，则函数的解析式为（）（A）（B）（C）（D）3、待定系数法（已知函数特征，求解析式可用待定系数法，设出待定系数，根据已知条件建立方程组求出待定系数的值）例3：设是一次函数，且，求。练习（1）若是二次函数，且满足，，则=（2）已知是一次函数，且满足，求（3）设二次函数满足且的两实根平方和为，图象经过点，求的解析式（4）已知函数（为常数），且方程有两个实根为，求函数的解析式4、消元法（此方程的实质是解函数方程）例4：已知，求的解析式练习：设是定义在上的一个函数，且有，则=5.方程组法例.已知是奇函数，是偶函数，且+=,求【变式训练】（1）已知，求（2）已知，求6、赋值法（指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予适当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法）例5：已知，，求【变式训练】（1）函数对一切实数、均有成立，且，①求；②求（2）若是定义在R上的函数，且，并且对于任意的实数总有，求的解析式题型五分段函数相关问题(1)求函数值问题例3、已知，则的值是。变式：，若，则。(2)方程问题例3、设若则关于的方程的解的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4(3)不等式问题例4、已知则不等式的解集是题型六复合函数（1）求值问题例5、设函数，求的值.变式：，则，。（2）求解析式例6：已知，，求和的表达式。练习：已知函数，，求和的表达式。（3）找规律例6、设记（表示的个数）,则是()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【规律方法总结】：复合函数求值或求表达式时，遇到多层复合形式，我们的基本解题思路是：首先确定式子是存在规律性的；然后验证并得到规律；最后利用规律求值或求表达式。例7、已知函数求下列式子的值。【课后作业】1、下列函数与表示同一函数的是（）A.B.C.D.2、下列的四种说法①与是同一个函数;②与不可能是同一个函数;③与是同一个函数;④定义域和值域都相等的函数是同一个函数.其中正确的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)43、若，那么的表达式为4、已知则()(A)(B)(C)(D)5、已知,则()(A)(B)(C)(D)6、函数，则不等式的解集是（）A、B、C、D、7、函数的值域是（）A、B、C、D、8、已知,则.