专题01第一章 勾股定理（基础类型10大类型）（解析版）

专题01第一章勾股定理【专题过关】类型一、判断勾股数【解惑】下列各组数中，是勾股数的是（）A．8，24，25 B．8，15，17 C．10，20，26 D．14，36，39【答案】B【分析】根据勾股数的定义进行判断即可．【详解】解：A、∵，∴，，不是勾股数，故A不符合题意；B、∵，∴，，是勾股数，故B符合题意；C．∵，∴，，不是勾股数，故C不符合题意；D．∵，∴1，，不是勾股数，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，求出两个较小数的平方和与较大的数进行比较．【融会贯通】1．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，1，2 B．2，3，4 C．6，8，10 D．6，6，6【答案】C【分析】根据勾股数的定义和勾股定理的逆定理，逐项判断即可．【详解】A、，不是勾股数，该选项不符合题意；B、，不是勾股数，该选项不符合题意；C、，是勾股数，该选项符合题意；D、，不是勾股数，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查勾股数和勾股定理的逆定理，牢记勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数）是解题的关键．2．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：为正整数，为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理得，，解得，弦是，故选：C．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．3．（2023春·安徽·八年级统考期末）下列各组数为勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，10，12 C．，，1 D．8，15，16【答案】A【分析】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数；据此进行逐一判断即可．【详解】解：A.，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；B.，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；C.，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；D.，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义是解题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（）A．67 B．34 C．98 D．73【答案】C【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．【详解】解：由题可得：，，，∴当时，，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键．5．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______；(2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______；(3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律．【答案】(1)60，61(2)，(3)，，【分析】（1）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将11代入第一个数即可；（2）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将代入第一个数即可；（3）根据勾股定理来验证即可．【详解】（1）解：由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，第二个数是，第三个数是．故答案为60，61；（2）由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，第二个数是，第三个数是．故答案为，；（3）由题意可得，，勾股数的规律是，，．【点睛】本题是规律性问题，考查了勾股数之间的关系和勾股定理，能够根据条件分析数字规律以及熟练掌握勾股定理是解题的关键．类型二、判断三边形成直角三角形【解惑】以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用勾股定理的逆定理判定即可．【详解】解：A．∵，∴不能构成直角三角形，该选项不符合题意；B．∵，∴不能构成直角三角形，该选项不符合题意；C．∵，∴能构成直角三角形，该选项符合题意；D．∵，∴不能构成直角三角形，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17【答案】D【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故此选项错误；B、，不能组成直角三角形，故此选项错误；C、，不能组成直角三角形，故此选项错误；D、，能组成直角三角形，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．2．（2023春·全国·八年级期中）若的三边为下列四组数据，则能判断是直角三角形的是（）A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10【答案】D【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：不是直角三角形，故不符合题意；不是直角三角形，故不符合题意；不是直角三角形，故不符合题意；是直角三角形，故符合题意；故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．3．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期中）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．【详解】解：故不符合题意；故不符合题意；故符合题意；故不符合题意；故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键4．（2021秋·贵州贵阳·八年级校考期中）以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，16，25【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：故错误；故错误；故正确；故错误；故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．5．（2021春·全国·八年级专题练习）判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析；（3）是，理由见解析；【分析】（1）计算，再计算，若两者的值相等则是直角三角形，否则不是；（2）先判断出a最大，并计算，再计算，若两者的值相等则是直角三角形，否则不是；（3）根据，判断出b最大，并计算，再计算，若两者的值相等则是直角三角形，否则不是．【详解】（1）∵

，，∴

．∴

由线段组成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴

．∴

由线段组成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴

，．∵，，∴

．∴

由线段组成的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键是准确地判断哪一条边最大，即首先确定最大边，然后验证两短边的平方和与最大边的平方是否具有相等关系．类型三、用勾股定理求面积【解惑】已知Rt△ABC中,，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（

）A．24 B．14 C．10 D．16【答案】A【分析】根据已知及勾股定理可求得直角三角形两边的长，再根据面积公式即可求得其面积．【详解】∵Rt△ABC中,，a+b=14，c=10∴由题意得，把c=10代入其他两方程得：，由①得：a=14−b，代入②得：(14−b)2+b2=100,即b2−14b+48=0因式分解得：(b−6)(b−8)=0，解得b=6或b=8，把b=6代入①得a=8；把b=8代入①得a=6，∴方程组的解为：或，不论a,b取哪一组数据,Rt△ABC的面积均是S△ABC=×6×8=24.故选择A.【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.【融会贯通】1．（2019秋·八年级课时练习）直角三角形两直角边，分别为6，8，则以该三角形的斜边为边长的正方形的面积等于.【答案】100【分析】根据勾股定理算出斜边c的平方，正方形的面积就等于c的平方.【详解】解：∵直角三角形两直角边，分别为6，8，∴斜边，故以c为斜边的正方形的面积为100.【点睛】本题考查勾股定理，在直角三角形中已知两直角边可根据勾股定理求出斜边（或斜边的平方）.2．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）如图，，，，则阴影部分的面积是．【答案】【分析】根据勾股定理计算出的值，再根据圆的面积公式即可求解．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理及圆的面积，熟练掌握勾股定理及圆的面积公式是解题关键．3．（2023春·陕西安康·八年级统考期末）如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是．【答案】20【分析】由勾股定理求出即可．【详解】解：由勾股定理得，，正方形的面积是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积.【答案】114【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．【详解】解：如图所示，连接AC，∵，∴，∵，，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积．

【答案】【分析】先利用勾股定理计算的长，再利用长方形的面积公式进行计算即可．【详解】解：∵，∴．∴阴影部分的面积为．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理并灵活运用是解本题的关键．类型四、用勾股定理求边长【解惑】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意，中间小正方形的边长为，，，∵，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．【融会贯通】1．（2023秋·山西运城·八年级统考期中）据说古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角．现有一根长24厘米的绳子，请你利用（它拉出一个周长为24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形的斜边长为厘米．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，自由选择拉出一个直角三角形即可，因此，利用常见勾股数，设拉出的直角三角形三边长为，从而列方程求解即可得到答案．【详解】解：根据题意，设拉出的直角三角形三边长为，则，解得，斜边长为，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，利用常见勾股数列方程求解是解决问题的关键．2．（2023春·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的边长是【答案】或5；【分析】根据勾股定理分类讨论求解即可得到答案；【详解】解：①当4为斜边时，第三边长为：；②当3和4为直角边时，第三边长为：；故答案为：或5；【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，解题的关键是注意分类讨论．3．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是．【答案】4或/或4【分析】求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】解：当5是斜边时，第三边长；当5是直角边时，第三边长．综上所述：第三边长是4或．故答案为：4或．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．4．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边上的高等于是．【答案】或5【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】解：（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，设第三边上的高为，由勾股定理，得，∴，∴，∴，∴第三边上的高为．（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，第三边上的高为5．故答案为：或5．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．5．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）一个直角三角形的两边长为6和8，则它的斜边长为.【答案】10．【分析】根据勾股定理进行计算即可．【详解】设斜边长为x，根据勾股定理得

∴它的斜边长为10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．已知一个直角三角形中，任意两边长，可以根据勾股定理求出第三边的长．熟练掌握勾股定理是解题的关键．类型五、勾股定理与网格【解惑】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的中，边长为有理数的边数为（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据勾股定理，分别求出的三边长，然后判定哪条边的长度为有理数即可．【详解】解：根据勾股定理可知：，是无理数；，是无理数；，是有理数；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，将的三边分别放在不同的直角三角形求解是解决本题的关键．【融会贯通】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】假设第一正方形网格边长为，第二个网格正方形边长为，然后根据勾股定理可得到，，然后利用计算即可得到和的比值．【详解】解：设第一正方形网格边长为，第二个网格正方形边长为，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：D【点睛】本题主要考查网格中面积的计算和勾股定理，利用勾股定理用网格的边长表示正方形面积，然后转化为网格正方形面积的比值是解题的关键．2．（2023春·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据网格的性质，证明得到，结合证明即可．【详解】．如图，根据网格的性质，得，∴，∴，∵，∴，故选B．【点睛】本题考查了直角三角形的全等，等量代换，直角的意义，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．3．（2023秋·北京西城·九年级北京四中校考开学考试）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为．

【答案】【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，，，

∴的面积，由勾股定理得，则，解得，故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．4.（2023春·安徽宣城·八年级校联考期中）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格上．于点D，则．【答案】3【分析】正方形边长为1，则,，为3，等面积法,即可求得．【详解】如图所示，过A作，因为的顶点都在边长为1的正方形网格上，所以，，,因为，所以，即，故答案为：3【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长，以及运用等面积法列式．5．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称．

(1)求出的面积；(2)请在如图所示的网格中作出对称轴；(3)请在直线上作一点，使得最小；(4)请在线段的上方找一点，画出，使．【答案】(1)5(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）用边长为4的正方形的面积减去四周三个三角形的面积即可；（2）连接、，利用网格特点作、的垂直平分线，即为所求；（3）根据轴对称性质及两点之间线段最短，连接，与直线的交点即为所求；（4）在的上方找一点，根据“”判定即可．【详解】（1）解：的面积为；（2）如图所示，直线即为所求；

（3）

（4）如下图，即为所求．

∵，，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了网格与图形、轴对称变换、最短路径问题、全等三角形的判定、勾股定理，理解题意，熟练运用相关知识是解题关键．类型六、旗杆高度问题【解惑】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．【详解】解：设旗杆高度为x米，则，，在中，由勾股定理得即解得：∴旗杆的高度为17米．故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．【融会贯通】1．（2023春·云南昆明·八年级校考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理求解．【详解】解：由题意得：，则故选C．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据实际情况抽象出数学模型．2．（2023春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出方程，此题得解．【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高尺，由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关正确列出方程是解题的关键．3．（2023春·重庆渝北·八年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（

）．

A． B．C． D．【答案】B【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．【详解】解：设绳索有尺长，

则，即，∴，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．4．（2023春·河南安阳·八年级校考期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着着冉升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，为旗杆上用来固定国旗的绳子，点距地面的高度．将绳子拉至的位置，测得点到的距离，到地面的垂直高度，求旗杆的高度．【答案】【分析】设，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，设，则，，由题意可得：，在中，，即，解得：，即，∴旗杆的高度为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．5．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．根据以上信息，求旗杆的高度．

【答案】旗杆的高度为米．【分析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设米，则，，，，即：，，，．答：旗杆的高度为米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．类型七、大树折断问题【解惑】如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．【详解】解：如图；．在中，米，，由勾股定理，得：，

，即大树折断之前有高．故选：D．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形中运用勾股定理求出的长．【融会贯通】1．（2021春·广东惠州·八年级校考期中）如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，根据勾股定理求得，结合树高为计算即可．【详解】如图，设，，

∴，∴树高为，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023秋·河北廊坊·九年级校考开学考试）一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，则折断处离地面的高度是多少米？

【答案】折断处离地面的高度是米【分析】设米，则米，根据勾股定理得出，列出方程求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得米，米，设米，则米，根据勾股定理可得：，即，解得：，答：折断处离地面的高度是米．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．4．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）在一棵大树距地面10米的地方有两只猴子，一只猴子往上爬到树顶后，再沿直线由树顶跳到地面的池塘边喝水，另一只猴子沿树干滑到树底，再沿地面爬到同一地方喝水，结果两只猴子经过的路程都为15米，则大树的高为．【答案】12米/12m【分析】设树高为x米，则可用x分别表示出，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得x的值．【详解】解：如图，

设树高为x米，则，则题意可知，∴，∵为直角三角形，∴，即，解得，即树高为12米，故答案为：12米．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键．5．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）《九章算术》中“折竹”问题（如图）．今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？答：折者高尺（1丈=10尺）

【答案】【分析】根据勾股定理，列方程求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：

由题意可知，，设，则，在，，则由勾股定理得，解得，折者高尺，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理解决实际应用题，读懂题意，根据勾股定理列方程求解是解决问题的关键．类型八、水中筷子问题【解惑】一个圆柱形铁桶（厚度不计）的底面直径为，高为，则这个桶内所能容下的最长木棒长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将圆柱形铁桶横截面表示为长方形，进而得到木棒长为对角线长，利用勾股定理即可得出答案．【详解】解：如图：

为圆通底面直径，∴，，∴线段的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，其中能够通过实际问题抽象出具体的几何图形是解题的关键．【融会贯通】1．（2023春·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）

A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶，，露出杯口外的长度为．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．2.（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高．若这支笔长，则这支笔在笔筒外面部分的长度是(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求得的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：，在中：，所以．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围为．

【答案】【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大（cm）．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图，此时（cm），（cm）．∴h的取值范围是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．4．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是．

【答案】/【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，，当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，，的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一个直径为的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外，当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度．

【答案】杯高，筷子长【分析】设杯子的高度是，那么筷子的高度是，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设杯子的高度是，那么筷子的高度是，，，．答：杯高，筷子长．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．类型九、航海问题【解惑】如图，一轮船从港口出发以16海里/时的速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里/时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，两船相距（）

A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．60海里【答案】C【分析】由题意可知，海里，海里，，，再利用勾股定理求出海里，即可得到两船的距离．【详解】解：由题意可知，海里，海里，，，，在中，海里，即两船相距40海里，故选：C．

【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，正确理解方位角，熟练掌握勾股定理是解题关键．【融会贯通】1．（2023春·山西大同·八年级统考阶段练习）如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为海里．

【答案】25【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：连接如图，

∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴，在中，（海里），（海里），根据勾股定理得（海里）．故答案为：25．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理进是解决问题的关键．2．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）解放军某连一、二班进行野营训练，一班以的速度向北偏东方向行进；与此同时，二班在同一地点以的速度向南偏东方向行进，后，两班相距．【答案】【分析】根据题意可得两班训练营的方向成角，分别求出2小时两个班行进的路程，然后利用勾股定理求得两班的距离即可．【详解】解：由题意得：两班训练营的方向成角，两个班2小时行进的路程是两直角边长，分别为：，，两班的距离是直角三角形的斜边，由勾股定理得：．故两班相距为：．【点睛】本题主要考查了方位角和勾股定理的应用，熟练掌握方位角的定义是解题关键．3．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？

【答案】海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，，∵，∴，∴，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船，∴海里，在中，海里，海里，∴海里，∴我军巡逻艇的航行速度是海里/小时，答：我军巡逻艇的航行速度是海里/小时．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键．4．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如图，已知，两艘船同时从港口出发，船以40km/h的速度向东航行，船以的速度向北航行，它们离开港口后相距多远？

【答案】【分析】由题意知：两条船的航向构成了直角．再根据路程速度时间，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵，两艘船同时从港口出发，船以40km/h的速度向东航行；船以的速度向北航行，∴，它们离开港口后，，，∴，故它们离开港口后相距．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出，的长是解题关键．5．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．【答案】(1)海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：；∴；∵；∴海里；（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．

∵；∴；∵；∴；∵；∴；则信号次数为（次）．答：