第12讲角平分线的性质（4种题型）（解析版）

第12讲角平分线的性质（4种题型）【知识梳理】一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.【考点剖析】题型一：角平分线性质定理例1.（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线．

【详解】证明：如图，过点E作于点F，

∴，平分，∴．∴点E是BC的中点，∴，∴．又∵，，∴是的平分线．【变式1】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，中，，平分，，，求的面积．

【答案】5【详解】解：作如图，∵平分，，，∴，．

【变式2】（2023春·湖南常德·八年级统考期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点到边的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图，∵点P是的内角平分线的交点，∴，又的周长为，面积为，∴，∴∴【变式3】（湖南省郴州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在中，，平分，于点E．如果，那么______．

【答案】8【详解】解：∵在中，，平分，，∴，∵，∴，【变式4】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）把两个同样大小的含角的三角尺像如图所示那样放置，其中是AD与BC的交点，若，则点到的距离为______．

【答案】4【详解】解：由题意，得：，∴，∴，∴平分，过点作，交于点N，∴．故答案为：4．

【变式5】如图，P为三条角平分线的交点，PH、PN、PM分别垂直于BC、AC、AB，垂足分别为H、N、M．已知的周长为，，则的面积为______．

【答案】22.5【详解】解：连接、、，

为三条角平分线的交点，、、分别垂直于、、，，的面积的面积的面积的面积．【变式6】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，在中，平分，，.(1)求的度数；(2)若，垂足为，，，求的面积.【答案】(1)(2)6【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴；（2）如图，过点作于点，

∵平分，，∴，∵，，∴，∴的面积.题型二：角平分线性质定理及证明例2．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在的两边上分别取点，连接．若平分，平分．(1)求证：平分；(2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．【答案】(1)证明过程见详解(2)【详解】（1）证明：如图所示，过作，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴平分．（2）解：如图所示，过作，连接，∵，∴，由（1）可知，∵，∴，即，∴，∴．【变式1】（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是的中点，，平分．求证：(1)平分；(2)．【详解】（1）证明：如下图，过E作于F，∵，平分，∴，∵点E是的中点，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）知，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在中，，，于点E，平分，点F在上，．求证：．【详解】证明：∵平分，，，∴，，∴在和中，∵，∴，∴．【变式3】如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．(1)求证：BE＝CD；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．（1）证明：、是的高，且相交于点，，在和中，，(AAS)，，，，即；（2）解：点在的平分线上，理由如下：连接，如图所示：、是的高，且相交于点，，由（1）得，在和中，，(AAS)，，由（1）得，在和中，，(SAS)，，点在的平分线上．题型三：角平分线的判定定理例3.如图，，是的中点，平分，求证：平分．

【详解】证明：如图：过点作，垂足为，平分，，，（角平分线上的点到角两边的距离相等），又，，，，平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．【变式1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，，点E是的中点，平分．

(1)求证：是的平分线；(2)已知，，求四边形的面积．【详解】（1）证明：如图，过点作于点，

∵，平分，∴，∵是的中点，∴，∴，又∵，，∴平分．（2）解：∵，，∴和都为，又∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴和都为，又∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴．∴四边形的面积为．【变式2】如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接．

(1)求证：；(2)用表示的大小；(3)求证：平分．【详解】（1）证明：，，即，在和中，，，，（2）解：由三角形的外角性质得：，由（1）得，，，（3）证明：作于，于，如图所示，

则，在和中，，，，于，于，平分，【变式3】如图，已知，，是的角平分线，且交于点P．

(1)______．(2)求证：点P在的平分线上．(3)求证：．【详解】（1）解：证明：，，是的角平分线，，，，；（2）如图，过作，，，，分别平分，，，，，点在的平分线上；

（3）如图，在上取点使，连接，

是的平分线，，在与中，，，，，，，是的角平分线，，在与中，，，，．【变式4】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）已知O是四边形内一点，且，，．

(1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：①；②平分；(2)如图2，若，E是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上．【详解】（1）①∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；②如图所示，过点O作于点H，于点F，

∵，，∴，∴点O在的角平分线上，∴是的角平分线，∴平分；（2）证明：连接，并延长到，使，连接，

∵E是的中点，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，，，，在和中，，，，，，，，点在同一条直线上．题型四：尺规作图—作角平分线例4．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知，利用尺规，在边上求作一点，使得.（保留作图痕迹，不写作法）

【详解】解：如图点即为所求.

.【变式1】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，中，，为边上的高．

(1)尺规作图，在边上求作点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写做法）：(2)连接（为所求作的点）交于点，若，求的度数．【详解】（1）解：如图：点即为所求；

作法：作的角平分线，与的交点即为所求；理由：∵是的角平分线，∴点到的距离等于点到的距离，∵，∴点到的距离即为的值，故点到边的距离等于．（2）解：如图：

∵，，∴，又∵为边上的高，∴，∴，由（1）可知是的角平分线，∴，∴．【变式2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【详解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分线；故答案为：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分线；（3）如图，点即为所求作的点；

．【变式3】（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）如图，已知在中，，于点．

（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）在（1）的条件下，求证：．__________又______________________________平分__________．【详解】（1）如图所示，

（2）又平分．故答案为：；；；；．【过关检测】一、单选题1．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．【详解】解：∵，，，∴平分，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．2．（陕西省榆林市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．若，则点D到的距离是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解．【详解】∵平分，，，∴，∴点D到的距离是．故选：A．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．3．（2023春·河南焦作·七年级校考期末）如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则的长不可能是（

）

A． B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】根据余角的性质可得，即平分，作于E，则，再根据垂线段最短即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，即平分，作于E，则，∵P是边上一动点，则，即，∴的长不可能是；故选：A．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，得出平分是解题的关键．4．（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（

）

A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．【详解】解：由作图过程可得：，∵，∴．∴．∴A选项符合题意；不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定,故C选项不符合题意，不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．5．（2023春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）如图，分别平分于点D，，的面积为12，则的周长为（

）

A．4 B．6 C．24 D．12【答案】C【分析】过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．【详解】解：过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，

∵平分，，，∴，∵平分，，，∴，∴的面积的面积的面积的面积，∴，即的周长为24．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2023春·湖南永州·八年级统考期末）点在的平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则关于长度的选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角平分线的性质得到，再根据垂线段最短即可解答．【详解】解：过点作于点，过点作于点，∵点在的平分线上，∴，∵，∴，∴根据垂线段最短可知：，故选．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键．7．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，在中，，，，平分，则点D到的距离等于（

）

A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】由题意可求的长，由角平分线的性质可求解．【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，

∵，∴，∵平分，，∴，∴点D到的距离等于1，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．8．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（

）

A．三角形三个内角的角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，平分，于点E，，F是射线上的任意一点，则的长度不可能是（

）

A．4 B．5 C． D．6【答案】A【分析】过Ｄ点作于H，根据角平分线的性质得，再利用垂线段最短得到，然后对各个选项进行判断即可，【详解】过Ｄ点作于H，

平分，，，，，，故选A【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键．10．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据角平分线的性质得出结论：；②证明，得平分；③由四边形的内角和为得，再由平角的定义可得结论是正确的；④由得，再由，得出结论是正确的．【详解】解：①，平分，，；所以此选项结论正确；②，，，，，平分，所以此选项结论正确；③，，，，所以此选项结论正确；④，，，，所以此选项结论正确；本题正确的结论有4个，故选D．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．二、填空题11．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为________．

【答案】5【分析】先根据尺规作图描述得出为的角平分线，再根据角平分线的性质得到点到的距离，进而求出三角形的面积．【详解】由作法得平分，如图所示，过点D作于E，∵，

根据角平分线的性质，得，的面积．∴，故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用．12．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．

【答案】2【分析】根据尺规作图可得平分，再利用角平分线的性质定理可得出，最后根据垂线段最短即可得出的最小值是2．【详解】解：如图，过点F作于D．

由作图可知，平分，∵，，∴．根据垂线段最短可知，的最小值为的长，即为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出是的角平分线．13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且．若，，则AE的长为________．

【答案】4【分析】过点作于点F，由角平分线的性质得出，证明，得出，求出，由证明，得出，即可求出结果．【详解】解：过点作于点F，如图所示：

∵，AD平分交BC于点D，，∴，在和中，，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴．故答案为：4．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据证明直角三角形的全等解答．14．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，①在上分别截取线段，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若，则_________．

【答案】【分析】由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：由题意可知，是的角平分线，∴．故答案为：【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．15．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知，如图，中，在和边上分别截取，，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E，作射线，点P，D分别是射线，上一点，过点P作，垂足为点C，连接，若，，则的面积是______．

【答案】6【分析】过点P作交于点F，由作图可知是的平分线，根据角平分线的性质得，即可求得的面积．【详解】解：如图，过点P作交于点F，

由作图可知，是的平分线，∵，，∴，∴的面积为：，故答案为：6．【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．16．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在锐角中，，、为的角平分线．且、交于点，连接．有下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是__________．

【答案】①③④【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出；在上取，证明，再证明；过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质和三角形面积公式分别对各个结论进行判断即可．【详解】解：∵的两条角平分线和交于点，，∴，∴，故结论①正确；∴，在上取，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，故结论③正确；∵没有条件得出点是的中点，∴不能得出与一定相等，故结论②错误；过点作于点，于点，于点，∵、为的角平分线，∴，，∴，∵，，，∴，∴，故结论④正确，∴结论正确的序号是①③④．故答案为：①③④．

【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题17．（2023春·重庆江北·七年级统考期末）完成下面的解答过程，并填上适当的理由．已知：如图，，平分，平分．求证：．

解：∵（已知）∴（

①

）．∵平分，平分，∴，．∴___②___（

③

）．∴（

④

）．【答案】两直线平行，同位角相等

等量代换

同位角相等，两直线平行【分析】先分析角的位置关系，根据平行线的性质及判定定理，即可写出答案．【详解】证明：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．∵平分，平分，∴，．∴（等量代换）．∴（同位角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等；

；等量代换

同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等），及平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行）．牢记平行线的性质和判定方法是解题的关键．18．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．求证：

(1)；(2)平分．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）证明，由三角形全等的性质得出，由三角形的外角性质得：，可得出的度数；（2）作于，于，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法即可得证．【详解】（1）证明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵是和的外角∴，∴；

（2）如图所示，作于，于，∴是中边上的高，是中边上的高，由（1）知：，∴，∴点在的平分线上，即平分．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识．证明三角形全等是解题的关键．19．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，在中，平分，平分，于点．(1)若，，求的度数；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平分，平分得，，根据，得，，根据三角形内角和定理即可得；（2）过点作于点，根据平分，，得，根据得，即可得．【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，，∴在中，；（2）解：过点作于点，∵平分，，，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．20．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．

【答案】，【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出的度数．【详解】解：∵中，，平分，，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键．21．（2023春·广西南宁·七年级南宁十四中校考期末）如图，已知．

(1)尺规作图：作的角平分线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）；(2)如果，，的面积为18，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）如图所示，过点G作垂足分别为E、F，证明，得到，根据面积法求出，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：如图所示，过点G作垂足分别为E、F，∴，∵是的角平分线，∴，又∵，∴，∴；∵，的面积为18，∴，即，∴，∴，∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的尺规作图，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．22．（2023春·山西太原·七年级统考期末）如图，在中，是它的角平分线，于点于点，且．线段与相等吗？说明理由．【答案】，见解析【分析】根据角平分线的性质得出，根据垂直定义得出，根据证明，得出即可．【详解】解：；理由如下：∵是的角平分线，，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂线定义理解，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．23．（重庆市大渡口区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，，．

(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作的角平分线，交于点，与的延长线交于点E；（不写做法，保留作图痕迹）(2)求证：．证明：∵（已知），∴（①__________）．∵平分，∴②__________（角平分线的定义）．∴（③__________）．∵（已知），∴④__________（⑤__________）．∴（两直线平行，同位角相等）．∴（等量代换）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，则，接着证明得到，然后利用等量代换得到．【详解】（1）解：如图，为所作；

（2