专题2.5圆的有关性质大题专练（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】（解析版）

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.5圆的有关性质大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．(1)试说明：点C也一定在⊙O上．(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠PFE的度数不变，是45°(3)42≤EF≤8【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得EF是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点C在圆上即可；（2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得PE=PF，得到∠PCB=45°，进而根据∠PCB=45°以及等弧所对的圆周角相等即可解决问题；（3）根据E点的移动，可知当E与C重合时，EF最长，而当EF为△ABC的中位线时，EF最短，即可求出线段EF的取值范围.(1)如图，连接OP,OC，∵FP⊥PE，∴∠FPE=90°，∴EF为直径，∴OP=OE=OF，∵∠C=90°，∴OC=OE=OF，∴点C在⊙O上，(2)连接PC∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP=45°，∵EP=∴∠BCP=∠PFE=45°，由于∠BCP的度数不变，∴∠PFE的度数不会发生变化,为45°．(3)当E与C重合时，EF最长，此时EF=AC=8；当EF为△ABC的中位线时，EF最短，根据勾股定理可得AB=82，根据三角形的中位线可得EF=42，所以42≤EF≤8【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90度，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆心角相等，三角形中位线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上定理是解题的关键．2．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学九年级期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？【答案】相等，理由见解析．【分析】先根据圆内接四边形的性质可得∠DAE=∠DCB，再根据圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，然后根据等量代换可得∠DCB=∠DBC，最后根据等腰三角形的判定即可得出结论．【详解】解：DB=DC，理由如下：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠DCB，由圆周角定理得：∠DAC=∠DBC，∵∠DAE=∠DAC，∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．3．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【答案】（1）10；（2）30°【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，设OB=x，则OD=x,得出OE的长，再利用勾股定理列方程，解方程即可；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形两锐角互余可以求得结果；【详解】解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，则OD=x,又∵BE=4，∴OE=x-4,∵OD∴x解得：x=10，∴⊙O的半径是10．（2）∵∠M=12∠BOD∴∠D=1∵AB⊥CD，∴∠D+∠BOD=3∠D=90°,∴∠D=30°．【点睛】本题考查了的是垂径定理，圆周角定理，勾股定理的应用，直角三角形的两锐角互余，掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”是解题的关键．4．（2021·江苏南京·九年级期中）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据垂径定理可得，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找到相应的格点，作出弦AB的垂直平分线即可；（2）根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，即可画出一个含有50°角的直角三角形．【详解】解：（1）如图1，线段EF即为所求；（2）如图2，Rt△BEF即为所求．【点睛】本题考查作图，应用与设计，垂径定理、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法保留作图痕迹）（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）分别以E、B为圆心，大于12BE为半径，画圆弧交于两点，进而即可作出BE的中垂线交⊙O于点C（2）先推出DE∥CF，从而可得∠BDE=∠BCF，结合等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：（1）如图所示：（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵CF是BE的垂直平分线，∴∠CFB=90°，CE=CB，∴DE∥CF，∴∠BDE=∠BCF，又∵∠BCF=∠ECF，∴∠BCE＝2∠BDE．【点睛】本题主要考查尺规作图和圆周角定理的推论，熟练掌握尺规作垂直平分线的基本步骤是解题的关键．6．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E．（1）求证：∠EAD＝∠BAC；（2）若AB的度数为64°，则∠E的度数为°．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，进而得到∠EAD＝∠BCD，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质证明即可；（2）先求出∠ACB＝32°，圆内接四边形性质得出∠EDA＝∠ABC，再根据三角形内角和定理计算得出∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，求出∠E．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC=∠BCD，∴∠EAD＝∠BAC；（2）解：∵AB的度数为64°，∴∠ACB＝32°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠EDA＝∠ABC，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，∴∠E＝∠ACB＝32°，故答案为：32．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键．7．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．（1）求证AE＝AH；（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．【详解】（1）证明：连接DE、BH，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，∴△ADE≌△ABH．

∵AE＝AH．

（2）连接DE，DF．

∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝∠BFD＝90°．∴∠AED＝∠CFD＝90°．∵AD＝CD，∠A＝∠C，∴△ADE≌△CDF．∴AE＝CF∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG∴AH＝CG．∴△AEH≌△CFG．∴EH＝FG．∴∠AHE＝∠AEH＝90°－12∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－12∠∴∠AHE＝∠ADB∴EH∥BD同理可证FG∥BD，∴EH∥FG∴四边形EFGH是平行四边形．∴∠FEH＝∠FGH．又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，∴∠FEH＋∠FGH＝180°，

∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．8．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D，E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．（1）如图1，求∠F的度数：（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．【答案】（1）40°；（2）15°【分析】（1）根据直角三角形的性质先求出∠BAC，连接DO，求出∠AOD，再根据圆周角的性质求出∠F；（2）连接DO，同（1）先求出∠AFD，根据AE=AD得到∠AED=65°，故可求出∠FAO=25°，根据等腰三角形的性质求出∠AFO，故可得到∠DFO的度数．【详解】（1）∵∠B＝90°，∠C＝40°∴∠BAC=50°，连接DO，∵AO=DO∴∠ADO=∠BAC=50°，∴∠AOD=180°-∠ADO-∠BAC=80°∴∠F=12∠AOD=40°（2）连接DO，同（1）先求出∠BAC=50°，∠AFD=40°∵AE=AD∴∠AED=12180°-∠BAC∴∠FAO=∠AED-∠AFD=25°，又AO=FO∴∠AFO=∠FAO=25°，∴∠DFO=∠AFD-∠AFO=15°．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰三角形的性质和外角定理的运用．9．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点A在⊙O上，用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，满足下列要求：（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°即可作图；（2）根据三角形垂心的性质和垂径定理即可作图．【详解】（1）如图①即为所求；（2）如图②即为所求．【点睛】此题主要考查根据圆的性质作图，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角．10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）直接写出OF与CD的数量关系，并证明你的结论．（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．【答案】（1）OF=12CD，证明见解析；（2）⊙【分析】（1）连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是△ABG的中位线，则有OF=12BG，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠AGB=∠ECB，直径所对的圆周角是直角可得∠ABG=90°，则有∠BAG+∠AGB=90°，根据AC⊥BD，∠ECB+∠EBC=90°，从而可得∠BAG=∠EBC，BG=CD（2）在Rt△AOF中，根据勾股定理可求得⊙O的半径．【详解】解：（1）OF=12CD连接AO并延长交⊙O于点G，连接CB、BG，∵OF⊥AB，∴AF=BF，∵AO=GO，∴OF是△ABG的中位线，∴OF=1∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG=90°，∴∠BAG+∠AGB=90°，∵AC⊥BD，∴∠CEB=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∵∠AGB=∠ECB，∴∠BAG=∠EBC，即∠BAG=∠EBC，∴BG=CD，∴OF=1（2）由（1）得：OF=12CD=在Rt△AOF中，OA=A∴⊙O的半径为52【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形．11．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，连结AD．（1）若∠AOD＝54°，求∠BAD的度数；（2）若AB＝25，ED＝1，求OA【答案】（1）∠BAD的度数为27°；（2）OA的长为3．【分析】（1）根据垂径定理可得AD=（2）设半径是r，根据垂径定理即可求出AE，根据勾股定理列出方程即可求出r，从而求出结论．【详解】解：（1）∵OD⊥AB，∴AD=∴∠DOB=∠AOD=54°，∴∠BAD=12∴∠BAD的度数为27°；（2）设半径是r，则OE=OD-ED=r-1，∵OD⊥AB，OD为半径，∴AE=1在直角△AOE中，OE则r-12解得r=3，∴OA的长为3．【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理，圆周角定理，掌握圆周角定理，垂径定理和勾股定理会联合应用是解题关键．12．（2020·江苏南京·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．（1）求证：AB//CD；（2）连接AF，求证：AB＝AF．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）借助弦相等对应的弧相等，弧相等所对的圆周角得到∠A＝∠C，进而AB∥CD；（2）连接AF，，由（1）知四边形ABCD是平行四边形，得到∠B＝∠AFB，故AB＝AF．【详解】解：（1）∵AD//BC，∴∠A+∠B＝180°，∵DE＝DF，∴DAE=DCF∴DAE+∴DAF=∴∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB//CD；（2）连接AF，∵AB//CD，AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵四边形AFCD是圆内接四边形，∴∠AFC+∠D＝180°，∵∠AFC+∠AFB＝180°，∴∠AFB＝∠D＝∠B，∴AB＝AF．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题关键是熟练掌握在同圆或者等圆中，有两条弦、两条弧、两个圆周角，其中有一组量相等，其它的量全部相等．13．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AC=BC，连接CD，交AB于点E，连接BC，（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．【答案】（1）∠BEC＝110°；（2）证明见解析．【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF＝∠CFB，则可得出结论【详解】解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC=∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠AOD＝130°，∴∠ACD＝65°，∵∠BEC是△ACE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．（2）证明：∵BF平分∠ABD，∴∠EBF＝∠DBF，∵AC=∴∠ABC＝∠CDB，又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．14．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．求证：AD＝BD+CD．【答案】见解析．【分析】连接BC，证明∠ADB＝∠ADC＝60°，在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，证明△BDE、△CDF为正三角形，再证明∠AEB＝∠CFA＝120°，∠EAB＝∠FCA，证明△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，从而可得结论．【详解】解：连接BC，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AC∴∠ADC＝∠ABC=60°,∠ADB＝∠ACB=60°,在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，∴△BDE、△CDF为等边三角形，∴∠DEB＝∠DFC＝60°，DE=BD,CF=DC,∴∠AEB＝∠CFA＝120°，又∠FAC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠FAC+∠EAB＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵{∠EAB=∠FCA∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．15．（2020·江苏·海安市海陵中学九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，点E在CA延长线上．（1）若∠ABC＝55°，求∠EAD的度数；（2）若AD＝52，BC＝6，求AC【答案】(1)100°；(2)8【分析】(1)由AB是直径得到∠ACB=90°，由CD平分∠ACB得到∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等得到∠BAD=∠DCB=45°，由∠ABC=55°得到∠CAB=35°，由此即可求出∠EAD；(2)由CD平分∠ACB得到劣弧AD等于劣弧BD，进而得到AD=BD=52，在Rt△ADB中由勾股定理求出AB，然后再在Rt△ABC中由勾股定理即可求出AC【详解】解：(1)∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=45°，∴∠BAD=∠DCB=45°，∵∠ABC=55°，∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-55°=35°，∴∠EAD=180°-∠CAB-∠BAD=180°-35°-45°=100°，故答案为：100°；(2)∵CD平分∠ACB，∴劣弧AD=劣弧BD，即AD=BD=52∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，由勾股定理可得：AB在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AC=A故答案为：8．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，勾股定理等相关知识点，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．16．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．【答案】（1）见解析；（2）S=34x2；（【分析】（1）用同弧所对圆周角相等证即可，（2）如图所示，延长DA到点E，使EA=DB，由△ABC为等边三角形，推得∠EAC==∠DBC证△DBC≌△EAC（SAS）得出S四边形ADBC=S△DEC，可证△DEC为等边三角形S=1再限定范围，（3）分别作点D关于BC，AC的对称点D1，D2，要使△DMN周长最小，则当D1、M、N、D2共线时取最小值，则△DMN周长的最小值为D1D2的长，即t=D1D2,有对称知△CD1D2,为底角是30º，则D2H=D1H=CD2×cos30º，则D1D2=3x，给出23<x≤4即可．【详解】（1）证明△ABC是等边三角形，∠BAC=∠ABC=60º，BC弧所对圆周角相等，∠BDC=∠BAC=60º，AC弧所对圆周角相等，∠ADC=∠ABC=60º，∠BDC=∠ADC，AD平分∠ADB，（2）如图所示，延长DA到点E，使EA=DB，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60º，AC=BC，∴∠ADC=∠BDC=∠BAC=60º，在△ADB中，∠DAB+∠DBA=180º-∠ADC-∠BDC=60º，则∠EAC=180º-∠BAC-∠DAB=180º-60º-(60º-∠DAB)=60º+∠DBA=∠DBC，在△DBC和△EAC中，因为DB=EA，∠DBC=∠EAC，BC=AC，△DBC≌△EAC（SAS），∴S四边形ADBC=S△DEC，DC=EC，∠ADC=60º，△DEC为等边三角形，S=12⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，边长为2×2×cos30º=23，则23<x≤4，S=34x（3）如图所示，分别作点D关于BC，AC的对称点D1，D，要使△DMN周长最小，则当D1、M、N、D2共线时取最小值，连结D1，D2与BC的交点N，与AC的交点M，DM=D2M，DN=D1N，则△DMN周长的最小值为D1D2的长，即t=D1D2，过点C作CH⊥D1D2，由对称性DC=D1C=D2C=x，∠DCB=∠D1CB，∠DCA=∠D2CA，因为∠ACB=60º，则∠D1CD2=∠D1CB+∠DCB+∠DCA+∠D2CA=2∠BCA=120º，由因为D1C=D2C，所以∠CD2D1=∠CD1D2=30º，则D2H=D1H=CD2×cos30º=32x则D1D2=3x，因为23<x≤4，所以t的最大值为43．【点睛】本题考查圆中的计算问题，全等三角形的判定以及三角函数，会利用用同弧所对圆周角来证角相等，掌握三角形的证明方法，会用等边三角形△ABC，推得∠EAC==∠DBC条件，来证△DBC≌△EAC（SAS）得出S四边形ADBC=S△DEC，会证△DEC为等边三角形，利用面积公式求S，会限定范围，会利用对称性确定△DMN周长最小，当D1、M、N、D2共线时，会求△DMN周长的最小值为D1D2的长，由对称推得△CD1D2,为底角是30º，会用三角函数求D2H=D1H是关键．17．（2019·江苏南通·九年级期中）已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP

（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP（2）如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2【答案】（1）☉O的半径是32；（2）AB∥ON【分析】(1)连接AB，根据题意可AB为直径，再用勾股定理即可．(2)连接OA，OB，OQ，根据圆周角定理可得∠AOQOC⊥AB，延长PO交☉0于点R，则有2∠OPN=∠QOR【详解】解：（1）连接AB，在☉o中，∵∠APQ=∠∴∠∴AB是☉0的直径．∴在Rt∴AB=3∴☉0的半径是32（2）AB//ON证明：连接OA，OB，OQ，在☉0中，∵AQ=AQ，∴∠AOQ=又∵∠APQ∴∠AOQ=∠在ΔAOB中，OA=OB，∴OC⊥连接OQ，交AB于点C在☉0中，OP∴∠延长PO交☉0于点R，则有2∠∴∠NOP又:∠NOP∴∠NOQ∴∠NOQ+∠∴【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．18．（2019·江苏扬州·九年级期中）如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：AE=BE；（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．【答案】（1）见解析；（2）BE=EF，理由见解析；（3）小李的发现是正确的，理由见解析【分析】（1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论；（2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；（3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．【详解】（1）如图1，连接AP，∵BC是半⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=90°，∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ACB=∠BAD，∵点A是弧BP的中点，∴∠P=∠ACB=∠ABP，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE；（2）BE=EF，理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴∠BAD=∠ACB，∵A为弧BP中点，∴∠ABP=∠ACB，∴∠BAD=∠ABP，∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，∴EF=AE，∴BE=EF；（3）小李的发现是正确的，理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，在△PCF和△PBG中，∠PCF＝∴△PCF≌△PBG（ASA），∴CF=BG，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∵A为弧BP中点，∴∠GCA=∠BCA，在△BAC和△GAC中，∠CAB＝∴△BAC≌△GAC（ASA），∴AG=AB=12BG∴CF=2AB．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．19．（2020·江苏·南师附中宿迁分校九年级期中）已知：如图（1），在⊙O中，直径AB=4,CD=2，直线AD,BC相交于点E．（1）∠E的度数为___________；（2）如图（2），AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图（3），弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．【答案】（1）60°；（2）见解析，60°；（3）60°【分析】（1）连结OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数；（2）同理解答（2）（3）．【详解】（1）如图（1），连接OD,OC,BD．∵OD=OC=CD=2,∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DBC=30°．∵AB为直径，∴∠ADB=（2）如图（2），直线AD,CB交于点E，连接OD,OC,AC．∵OD=OC=CD=2,∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DAC=30°．∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=（3）如图（3），连接OD,OC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠CBD=30°，∵AB【点睛】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答．20．（2020·江苏·西附初中九年级期中）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD=∠ABC；（2）若AD=6，求CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）32π【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明；（2）可证得CD=AC，则CD的长为圆周长的14【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABC，∵∠CAD=∠DBC，∴∠CAD=∠ABC；（2）解：∵∠CAD=∠ABC，∴CD=AC，∵AD是⊙O的直径，且AD=6，∴CD的长=14×π×6=32【点睛】本题考查了角平分线的性质以及圆周角定理，证得CD=AC是解(2)题的关键．21．（2019·江苏泰州·九年级期中）如图，是一块含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0°），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE＝CE；（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是．②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是；③设旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是y＝．【答案】（1）见解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x【分析】（1）由于是每次都旋转2°且CP的旋转决定着∠ACE和∠ABE，且二者都是从0°开始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要证明：∠CBE＝∠BCE即可证明BE＝CE；（2）①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出点E处的度数；②当射线CP经过△ABC的内心时，内心到三边的距离相等，即CP为∠ACB的角平分线，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出点E处的度数；③由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，∠BCE的度数为90°﹣2x，从而得出∠BOE的度数，也即可得出y与x的函数式．【详解】（1）证明：连接BE，如图所示：∵射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转∴当旋转7.5秒时，∠ACE＝7.5×2°＝∠ABE＝15°又∵∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∠ACB＝90°∴∠CBE＝75°，∠BCE＝90°﹣15°＝75°，即：∠CBE＝∠BCE＝75°∴BE＝CE．（2）解：①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中点且此时有：CO＝AO；∴∠OCA＝∠CAB＝30°，∠AOE＝60°∴点E处的读数是120°．②当射线CP经过△ABC的内心时，即CP为∠ACB的角平分线，圆周角∠BCE＝12×90°＝45°，圆心角为∴点E处的读数是90°．③旋转x秒后，∠BCE的度数为90﹣2x，∠BOE的度数为180°﹣4x，故可得y与x的函数式为：y＝180°﹣4x．【点睛】解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，且由每次旋转的度数相等，由图得出相等的角，并掌握量角器的用法和对含有30°三角板的运用．22．（2019·江苏·泰州中学附属初中九年级期中）水平地面上有一个圆形水池，直径AB长为6m，长为3m的一旗杆AC垂直于地面（AC与地面上所有直线都垂直）．（1）若P为弧AB的中点，试说明∠BPC=90°（2）若P弧AB为上任意一点（不与A、B重合），∠BPC=90°还成立吗，为什么？（3）弧AB上是否存在点P使△PAB与△PAC相似，若存在求PBPA【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）存在，1111或【分析】（1）根据圆周角定理可得∠APB＝90°,根据线面垂直定理可得PB⊥面PAC，继而求证；（2）成立，根据圆周角定理可得∠APB＝90°,根据线面垂直定理可得PB⊥面PAC，继而得出结论；（3）分两种情况讨论，当△PAB∽△APC时，PAAP=PBAC，进而求出PB的长，根据勾股定理，求出PA的长，即可求PBPA的值；当△PAB∽△ACP时由勾股定理可得：PA2+PB2=36，可列关于PB的方程，解方程舍去负数即可得【详解】（1）∵AB是⊙O的直径∴∠APB＝90°∴BP⊥AP∵CA⊥面APB∴CA⊥BP∴BP⊥面PAC∴BP⊥PC∴∠BPC＝90°（2）∠BPC=90°成立．理由：∵AB是⊙O的直径∴∠APB＝90°∴BP⊥AP∵CA⊥面APB∴CA⊥BP∴BP⊥面PAC∴BP⊥PC∴∠BPC＝90°（3）存在，当△PAB∽△APC时，PAAP∵AC＝3，∴PB3∴PB=3又∵AB＝6，∠APB＝90°，由勾股定理可得：PA=APBPA当△PAB∽△ACP时,PAPB即PA∵PB=∴P∵在Rt△PAB中，AB＝6,由勾股定理可得：P∴3解得：PB＝33或PB＝-4∴P∴PA=3∴PB综上所述，弧AB上存在点P使△PAB与△PAC相似，PBPA＝1111或【点睛】本题考查立体几何的综合题、涉及到圆周角定理、点面垂直的判定及其性质、相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识。23．（2021·江苏镇江·九年级期中）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P．(1)若∠ABC=62°，∠APC=100°，则∠BAD=；∠CDB=；(2)若AD的度数为m度、BC的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论【答案】(1)∠BAD=38°(2)∠APD=1【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠BCD=38°，再根据圆周角定理可得∠BAD=38°，然后由直径所对的圆周角为直角可得∠ABD（2）根据AD的度数为m度、BC的度数为n度，可得∠ABD=(1)解：∵∠ABC=62°，∠APC=100°，∴∠BCD=∠APC-∠ABC=38°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠BAD=38∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°-∠BAD=52°，∵∠BPD=∠APC=100°，∴∠CDB=180°-∠ABD-∠BPD=28°；(2)解：∠APD=1证明：∵AD的度数为m度、BC的度数为n度，∴∠ABD=∵∠APD=∠ABD+∠CDB，∴∠APD=1【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质是解题的关键．24．（2021·江苏·海安市南莫中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'（B'，C'分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A0,t，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t（3）在△ABC中，AB=1，AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值．【答案】（1）B2C2；（2）t=3或-3；（3）【分析】（1）利用旋转的性质、点A到圆上一点的距离范围及“关联线段”的定义来进行判别即可；（2）先利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质求出B'C'（3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，求出四边形AB'O【详解】解：（1）由旋转的性质可知：AB=AB由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为2-1≤d≤∵AC∴C1∴B1C1不是⊙O的以点A为中心的“∵AC∴C2∴B2C2是⊙O的以点A为中心的“∵AC当B3'在圆上时，则B3由图可知此时C3∴B3C3不是⊙O的以点A为中心的“故答案为B2（2）设BC绕点A旋转得到⊙O的弦B'C'∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴根据旋转的性质可知△AB'C∵OB∴△OB'C∵A0,t，且t≠0∴点A与点O不重合，∴B'C'∴AO为B'C'边上的高的2∴t=3或-（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义可知：AB'=AB=OB'利用四边形的不稳定性可知，当A、O、C'在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2当A、B'、O在同一直线上时，OA最大，如图3此时OA=OB∴综上所述：OA的最小值为1，最大值为2．【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及圆的综合，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及圆的综合问题是解题的关键．25．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，已知圆O上依次有A、B、C、D四个点，AD=BC，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接（1）若BD＝5，求BF的长；（2）设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．【答案】（1）BF=52；（2）存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF，且BP⊥AE【分析】（1）如图，连接AC，利用三角形中位线定理得出BF=12AC，根据AD=BC可得DAB=CBA，根据圆心角定理可得AC=BD，即可得出（2）过点B作BP⊥AE，交⊙O于P，根据G是BD的中点，结合（1）中结论可得BF=BG，根据三角形中位线的性质可得BF//AC，根据平行线的性质可得∠FBE=∠CAE，根据圆周角可得∠CAE=∠DBA，即可得出∠FBE=∠DAB，根据角的和差关系可得∠PBG=∠PBF，利用SAS可证明△PBG≌△PBF，可得PG=PF，即可得答案．【详解】（1）如图，连接AC，∵BE＝AB，F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=12AC∵AD=∴AD+AB=∴AC=BD，∵BD＝5，∴BF=12BD=5（2）如图，过点B作BP⊥AE，交⊙O于P，连接PG、PF，∴∠PBA=∠PBE=90°，∵G是BD的中点，BF=12BD∴BF=BG，∵BF为△EAC的中位线，∴BF//AC，∴∠FBE=∠CAE，∵AD=∴∠CAE=∠DBA，∴∠FBE=∠DAB，∴∠PBA-∠DBA=∠PBE-∠FBE，即∠PBG=∠PBF，在△PBG和△PBF中，BG=BF∠PBG=∠PBF∴△PBG≌△PBF，∴PG=PF，∴存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF，且BP⊥AE．【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弦、弧、弦心距的关系及全等三角形的判定与性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等；在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；正确作出辅助线，熟练掌握相等定理及性质是解题关键．26．（2021·江苏南京·九年级期中）AB、CD是⊙O中的两条等弦．（1）如图①，点A与点C重合，求证：圆心O在∠BAD的平分线上；（2）如图②，用直尺和圆规作弦CD⊥AB（保留作图痕迹，不写作法）；（3）若⊙O的半径为2，AB=m，记弦AB、CD所在的直线交点为P，且两直线夹角为60°．直接写出点P与⊙O的位置关系及相应的m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P在圆上时，m=23；点P在圆外时，m<23；点P在圆内时，【分析】（1）根据垂径定理可得O到AB、CD的距离相等，由角平分线判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可知圆心O在∠BAD的平分线上；（2）利用将△AOB顺时针（或逆时针）旋转90°得到△COD，则即得CD⊥AB，作法：过O点作直径AE的垂线交与圆O相交于两点，任取一点为C，再在圆上取点D，使CD=AB（取能使CD⊥AB的一点）即可；（3）根据交点为P与圆位置关系分三种情况：在圆内、在圆外、在圆上进行讨论即可．【详解】解：（1）过O点作OE⊥AB，垂足为E，过O点作OF⊥CD，垂足为F，∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴OE=OF，∴圆心O在∠BAD的平分线上；（2）如图2-1，弦CD为所求，（附：如图2-2，弦CD、弦C'（3）I、当弦AB、CD交于圆内时，即：点P在圆内时，如图3-1：∠APD=60°，则弦AB的取值范围为：0<m≤2r，即：0<m≤4；II、弦AB、CD所在的直线交点P在圆外时，过点O作⊥CD,垂足为E，连接OP，∴DE=1∵∠APC=60°，由（1）可知点O在∠APC的平分线，∴∠OPC=1∴OE=12OP∴PE=3∵DE<PE，∴DE<3∵当OP最小时，PE最小，DE最大，OP最小值大于r，故DE最大小于DE<3∴12m<3III、当点P在圆上时，如图3-3，由前可知：PE=DE=3∴12m=综上所述：当点P在圆上时，m=23；点P在圆外时，m<23；点P在圆内时，【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理及点与圆的位置关系，解题（3）关键是根据点与圆位置关系分三种情况进行讨论，难度不大，但思维要求全面．27．（2020·江苏苏州·九年级期中）在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为等垂弦，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，BEAE=1（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝12AB，且CD⊥AB，垂足为F．若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，请求出点F在⊙O内时对应的m【答案】（1）见解析；（2）25或45；（3）当455＜m≤2时，点【分析】（1）连接BC，先证明∠AOB＝∠COD，得到AB＝CD，再证明∠ABC＝∠BCD45°，得到AB⊥CD，问题得证；（2）分点E在⊙O内或⊙O外两类讨论，当E在⊙O内时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，先证明四边形OHEG是矩形，进而证明是正方形，根据BEAE=13得到AH＝2BE＝2OH，根据勾股定理即可求解，当点E在⊙O外，同理求出AH=（3）如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，证明四边形OHBG是矩形，根据勾股定理得到r2=m【详解】证明：（1）如图②，连接BC，∵OC⊥OA、OD⊥OB，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，∵∠ABC＝12∠AOC＝45°，∠BCD＝12∠BOD＝∴∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝90°，即AB⊥CD，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴AB、CD是⊙O的等垂弦；（2）如图，若点E在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，∵AB、CD是⊙O的等垂弦，∴AB＝CD，AB⊥CD，∴四边形OHEG是矩形，∵OH⊥AB，OG⊥CD，∴AH＝12AB，DG＝12∴AH＝DG，又∵OA＝OD，∴△AHO≌△DGO（HL），∴OH＝OG，∴矩形OHEG为正方形，∴OH＝HE．∵BEAE=13，且∴AH＝2BE＝2OH，在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2．即（2OH）2+OH2＝AO2＝25，解得OH＝5，∴AB＝4HE＝45；若点E在⊙O外，如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，同理，AH＝5，则AB＝4AH＝45；（3）如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，同理可证四边形OHBG是矩形，∴BH＝mr2，OH＝BG＝mr∵OB2＝BH2+OH2，∴r2∴m=4∴当455＜m≤2时，点F在【点睛】本题为与圆有关的新定义问题，综合性较强，根据题意理解等垂弦的定义并结合圆的有关知识解题是解题关键，本题要注意分类讨论思想的应用．28．（2020·江苏·盐城市初级中学九年级期中）[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．[类比应用]已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围；[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接写出答案）