2021届人教A版（文科数学） 集合与函数概念单元测试

2021届人教A版(文科数学)集合与函数概念单元测试

一、选择题

1.已知全集〃={0,1,2,3,4},林={0,1,2},后⑵3},则(C励04()

A.{2,3,4}B.{3}

C.{2}D.{0,1,2,3,4}

解析：选B全集〃=(0,1,2,3,4},M={0,1,2},则={3,4},又走={2,3},所以(C

励nn♦⑶.故选B.

2.设全集QR,集合，片{y|尸V+2,xGU\,集合—{y|y=3x,xR决,则MCN

等于()

A.{1,3,2,6}B.{(1,3),(2,6)}

C.MD.{3,6}

解析：选C#={y|y22},A—R,故选C.

3.已知全集公R,集合#={xCZ|—l〈xTW2}和A'={x|x=2/+1,MN*}的关系的

韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有()

A.2个B.3个

C.4个D.无穷多个

解析：选B阴影部分表示(北与，因为材={xGZ—1WX—1W2}={XGZ|0WXW3}

={0,1,2,3),则有材n([m={0,1,2}.故选B.

4.下列四组函数中，表示相等函数的一组是()

A.£(*)=,，g(x)=Wy

B.f(x)----g(x)=x+l

X-l

c.■力=3,g(力={?

D.f{x)=y[x+ly[x—l,g(x)=yfx—l

解析：选CA、B、D中的两个函数的定义域均不同，只有C中的定义域及对应关系都

相同，故选C.

5.己知x,则()

/\才+17、1—X

A."入)=於7B-"*)=中

C/\1+x/、2x

C.f(x)=7T^D-4)=市

1—v1—f1---t1---Y

解析：选B令市=3则片中，•'-At)=--即/'(x)=R；，故选B.

6.函数/■（*）=.（x>。）的值域是（）

A.(—8,1)B.(1,+°0)

v+2—11\

解析：选C・・・〃力=1^=1——访在（0,+8）上为增函数，.・.f（x）e1.故

x+2x+2V）

选C.

fl,x>0,

7.已知函数F（x）=｛。，x=0,设/x）=/f（x）,则对尸（x）描述正确的是（）

［-1,X0,

A.是奇函数，在（一8,十8）上递减

B.是奇函数，在（一8,十8）上递增

C.是偶函数，在（一8,0）上递减，在（0,+8）上递增

D.是偶函数，在（一8,0）上递增，在（0,+8）上递减

'-1,x>0

解析：选B•.•/'（一力=<0,x=0=—f（A）,

」，水0

・・・F(x)为奇函数.

又F(公=xf(x),

/.网一x)=(―x)=—/f(x)=—F(力,

・・・Kx)是奇函数,可排除C,D；

仔，x>0,

又分(x)=Zf(x)=，0,x=0,

JT<0.

・・・Hx）在（-8,+8）上单调递增，可排除A,故选B.

8.二次函数『（入）=81+22是区间［一&才］上的偶函数，又g（x）=/、（才一1）,则g（0）,

,g（3）的大小关系为（)

A.«|)<g(0)<g(3)B.g(0)〈4|}g(3)

C.]1)<g(3)<g(0)D.g(3)〈41}g(O)

aWO,

解析：选A由题意得解得a=L

—H=一才,

/.f{x)=x+2,

；・g(x)=(%—1)2+2.

・・・函数g(x)的图象关于直线X=1对称，

，g(0)=g(2).

又•:函数g(x)=(%-1)2+2在区间［1,+8)上单调递增，

.••8你式2)〈以3),

...8(*〈以0)<g(3).故选A.

9.已知函数/"(X)是定义在R上的奇函数，给出下列四个结论：

①F(0)=0；

②若f(x)在［0,+8)上有最小值一1,则F(x)在(一8,0］上有最大值1；

③若f(x)在［1,+8)上为增函数，则/'(X)在(一8,—1］上为减函数；

④若才>0时;f(x)=x—2x,则水0时，f(x)=—x-2x,

其中正确结论的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C由奇函数在x=0处有定义知，r(0)=0,故①正确；

由图象的对称性可知②正确；

由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故③不正确；

对于④，当K0时，一x>0,则F(—x)=(-x)2—2(—x),

/.一—'(x)—x+2x,

/.f(x)=-x—2x,故④正确.

综上可知，正确结论的序号为①②④，共3个.故选C.

—x—1(—1Wx〈0),

10.己知函数/"(*)=,“一则/'(x)—F(—x)>—1的解集为()

A.(-8,—1)U(1,+<»)B.—1,-Ju(0,1]

C.(一8,0)U(1,+8)D.-1,U(0,1)

解析：选B①当一1WK0时，0〈一后1,

此时，f{x}=-X—1,/■(—X)=—(―x)+l=x+1,

可化为一2x—2>—l,

解得K—

则-1WK-

②当0<xWl时，一1〈一点0,

此时，F(x)=—x+1,f{—x)=—(—x)—1=^—1,

3

/./(%)一/'(—x)>—1可化为一2x+2>—1,解得

则(KxWL

故所求不等式的解集为一1，一，U(0,1].故选B.

11.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10

的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关

系用取整函数y=U]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()

A.尸B.y=[不二

「*+4]「矛+5]

CT,-----D----

v

解析：选B解法一：当x除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知了=[m],且

x才-J-3

易验证此时而=-jy-.

xxx~\~3

当x除以10的余数为7,8,9时，由题设知y=-+1,且易验证此时—+1=.

-x+3-

综上知，必有y=.故选B.

解法二：由题意知：若x=16,则尸1,由此检验知选项C,D错误；若x=17,则y

=2,由此检验知选项A错误.故由排除法知，本题应选B.

12.(2020•广东东莞东华中学高三期中)若定义在R上的函数/Xx)满足：对任意为,

xzGR,有/■(小+*)=/'(小)+/'(就+2匕为非零常数)，则下列说法一定正确的是()

A./Xx)为偶函数B.f(x)为奇函数

C.f(x)+a为偶函数D.f(x)+a为奇函数

解析：选D,对任意小，x?WR有/Xxi+xz)=f(xi)+f(*)+a,

••.令m=X2=0,得/'(0)=-a,.*.令E=X,X2=—x,得f(0)=F(x)+f(—x)+a,

/(%)+a——f(—x)—a——[f(—x)+a],...f(x)+a为奇函数.故选I).

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13.若函数fCOMU+q汨则/tr)的定义域是________.

X-1V

fxTWO,Q「3、

解析:由《可得心一万且灯中，故函数的定义域为一3iju(i,+8).

2x+3N0

答案：一|,l)u(l,+8)

14.已知f(x)为奇函数，g(x)=F(x)+9,g(—2)=3,则F(2)=..

解析：由题意得g(—2)=f(—2)+9=—f(2)+9=3,

.,.F(2)=6.

答案：6

x,后一2,

15.函数/'(x)=«x+l,-2<K4,若/1(a)〈一3,则a的取值范围是.

、3x,x24.

解析：当a<一2时，Aa)=a<-3,此时不等式的解集是(一8,-3)；

当一2〈a<4时，/"(a)=a+l〈一3,此时不等式无解；

当aN4时，f(a)=3a〈一3,此时不等式无解.

所以a的取值范围是(一8,-3).

答案：(-8,-3)

16.设函数/•(设=殳七"生+'为奇函数,则实数a=.

解析：Ax)=".+-=x+2+a+1,因此有F(—x)=-^+―+a+1.又f(x)

XX-X

为奇函数，所以/1(—x)+f(x)=0,即2a+2=0,所以a=-1.

答案：一1

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分10分)设4={x|2f+ax+2=0},8={x|』+3x+2a=0},且4(18=

{2}.

(D求a的值及集合4B；

(2)设全集U=AUB,求((加U(C曲；

(3)写出((MU(［曲的所有子集.

解：(1)由交集的概念易得2是方程2f+ax+2=0和f+3x+2a=0的公共解，则a=

-5,此时1=已，2b8={-5,2}.

(2)由并集的概念易得〃=4U8=1—5,2L

由补集的概念易得Ld={-5},［但视

所以(［MU(「而=1-5,1j.

(3)(［MU(［/的所有子集即为集合1—5,法的所有子集：。，出{—5},1—5,

18.(本小题满分12分)若函数F(x)=f+4x+a的定义域和值域均为［-2,6］(力-2),

求实数a,6的值.

解：因为函数f(x)的对称轴方程为*=一2,所以函数f(x)在定义域［-2,加上单调递

增，

所以函数F(x)的最小值为f(—2)=a—4=-2,

所以a—2.

函数f(x)的最大值为/l(〃=4+46+2=4

所以4+36+2=0,

解得6=—1或6=—2(舍去)，所以6=-1.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)

x+1

(1)判断函数在区间［1,+8)上的单调性，并用定义证明你的结论;

(2)求函数/Xx)在区间［1,4］上的最大值和最小值.

解：(1)函数/Xx)在［1,+8)上是增函数.证明如下：

任取Xi,%2G［1,+°°).且Xi〈物

力、“、2汨+12-+1为一生

fM-f(x2)-A)+1-尼+1一(为+1)(刖+1).

/.Xi—^2<0,(汨+1)(加+1)>0,

/.f(xi)—f(X2)<0,即f(x)<『(X2)>

・・・函数F(x)在［1,+8)上是增函数.

⑵由(1)知，函数Mx)在［1,4］上是增函数，

Q3

故最大值A4)=>,最小值A1)=*

D乙

20.(本小题满分12分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，

特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16

次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次.

(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；

(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营

人数最多？并求出每天最多运营人数.

解：(1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设尸履+8(20),当x=4时,

y=16,当x=7时、y=10,得到16=4%+6,10=7々+6,解得4=-2,%=24,2%

+24.

(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数

最多，设每天拖挂S节车厢，则S=xy=x(—2x+24)=-2f+24x=—2(x—6尸+72,所以

当x=6时，&”=72,此时y=12,则每天最多运营人数为110X72=7920(人).

故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.

21.(本小题满分12分)己知a,6为常数，且aWO,f(x)=af+6x,f(2)=0,方程

f(x)=x有两个相等实根.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当xW［1,2］时,求F(x)的值域;

(3)若尸(x)=F(x)—f(—x),试判断P(x)的奇偶性，并证明你的结论.

解:(1)由『(2)=0,得4a+26=0,即

2a+b—0.①

方程f(x)=x,即ax+bx=x,

即af+(b