2021百校联盟全国高考数学理科模拟I卷含答案解析

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2021百校联盟全国高考数学理科模拟I卷含答案解析

7及留族学2021届普通高中教育教学质量监测考试

全国I卷理科数学

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择d）两部分.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考低号填写在本试卷相应的位■.

3.全部答案写在答胸卡上，耳在本试卷上无效.

4.本试卷痔分150分,费试时间120分怦.

5.寿试危圉：高考全部内容.

第I卷

一、选择题：本大题共12小诲小・5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A-《川，一则AR（CaBJ-

A.[-Uy]B.（-©o.l]C.[y,l]D.[-l,+oo）

2.设复数z满足!■为纯虚数《在复平面内所对应的点的坐标为.则

A.X-y-0B.工+产0

C.（X—＞）（x4-y）=0D.n'+3'=1

3.数据显示2021年3月以来文化类旅游的市场占比显著提升,某旅讷服

每日订单fit及增长情况

务平台收集并整理了2021年3月1口至7日期间某文化类景区门票日

订单fiH单位：万张）和增长速度的数据.绘制「右边的统计图.则卜.列结

论正确的是（增长速度=（本期数一上期数）/上期数）

A.7天的增长速度逐日增加

B.7天中有3天的增长速度为正

C.7天的增长速度的平均值为负

D.3月6H的订单R约为3.19（万张）

5.《九章算术》是中国古代张莅,耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了故国，秦,汉时期的数学成就中

有如下问题：“今有五人分五钱.令上二人所得与下三人等,问各得几何？”其意思为「今有5人分5钱•各人

所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱则第4人所得钱数

为

A.{ttB.c.於D.I钱

6.已知a=々，6=3+,c=log,2,则

\,a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

7及&腺幺2021届普通高中教育软学质.监利考试（全国1»）理科数学第1页共4页

7.巳知点D・O分别为0B健的厦点和底面IB心,△ABC为隗谯底面的内接正三角形・AD=AB,则异面直线AD

与BO所成角的余弦值为

A.-B&C,­D—

人6壮6。3U-3

8.巳知A・B是彼打线上的点.C是_r轴上的点・AC_Lr轴./XABC为等边三角形.则A的横坐标为

AfB-fC.3D.学

9.已知点A,B,C在园O上，1期+加|・|现一仍|・八或一〃区二说,则严+*=

A.yB.1C.yD.2

10.10个不同的数持成4行,第1行】个数,第2行2个数,第3行3个数,第4行4个数.设为是第£"=1・2,

3,4)行中的最大数，则即Va,V，Va,的微率为

A$BE仁吉Dn

II.设函数，(公是奇函数义工》(I工0)的导函数=当1>0时・，(公>1•则使得成立的

x的取值范序是

A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-1.0)U(l.+°°)

C.(-oot-l)U(h+«>)D.(-1,0)11(0.1)

12.已知正方体木块ABCD-A&G。的校长为4.P.Q.R分别是校AB・AD,AA上的点，△PQR是边长为

2々的等边三角形，若将正方体木块切割成以△PQR为底面的直三检柱,则三校柱的高的最大值为

A.2B.2MC.2GD.4

第11卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13黑~第21・为必考玛，每个试■考生都必31作答.第22・〜第23

・为选考题,考生根据要求作答.

二、填空■:本大■共4小题,每小・5分.

0<N+2

13.设x.>满足约束条件”22x，则r=x+y的■小值为________.

[酎+3、2—6

(x,»

】4.已知函数八工)-,，若对于任意的lER.|/"(z)])0x,则a-

】5上知双曲线=lQ>0,6>0)的左焦点为F,O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|一

|PO|=》•则双曲线C的离心率的取值范围是..

16.已知数列储.｝篇足见=l,a・r=。：+。・，数列也,)的前n项和为S..a12・=a..若S.VMAWZ),则k的最

小值为_____.

三、II答金：解答应写出文字说明、证明过程或演算步■.

】7.(本小题满分12分)

△ABC的内角A,B・C的对边分别为a»,c,设々csin(B+£)=a.

⑴求a

(2)若。=2,<1=々6,求aABC的面枳.

72021届普通高中敏国载学防・施利考试(全国1卷)理科数学第2页共4页

18.（本小•横分】2分）

加图.三蝮柱ABC-AtBtC,的底面是等18直角三角形,NACB-NBCC-90••四边形ACQA,是菱形.

ZACCi«120\

（D证明：4iC_LABn

（2）求二面角A-BBi-C的余弦值.

19.（本小■■分12分）

中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失蠹,可耕地面枳不断缩小•对中国工农业生

产和人民生活带来产重影响.周看燎合国力逐步增强,西北某地区大力兴建防风林带•引水拉沙•引洪淤地，

开展「改造沙漠的巨大工程,该地区于2017年投入即漠治理经费2亿元,从2018年到2020年连续3年每

年增加沙漠治理注费1亿元.近4年沙漠治理经费投入工（亿元）和沙漠治理面枳乂万卤）的相关数据如下

（2）建立y关于工的回归方程,

（3）若保持以往的沙漠治理经费增加帼度•请fit测到骞一年沙漠治理面积突破100万亩.

参考数据：枝;口,一力,=21.4屋=2.2,

£《工.一z）（y一夕）及5—7）6,一夕）

叁考公式：式关累敲r-不a—，.一二・工--------------.a-5-&T.

J冬5—工厂与G,—"与《工・一方

20.（本小题濡分12分）

巳知标浜孑+£=l（a>b>0）的离心率为考,过左焦点F且与I轴垂友的弦长为

C）求888。的方程；

《2》已知A.B为.BIC上两点Q为坐标原点.斜率为A的直线/经过点p《o］）,若A,B关于/对称,且

3_LO8.求/的方程.

7«■般占2021届普通高中叙育教学质・施潸考试（全国I卷）理科数学第3页共4页

21.(小小题满分12分)

已知嘀散/(I)+lnx.

(I)判断函数八I)的单调性•并证明人工)有且仅有一个零点।

(2)若上(1—a)，ln(er).求a的取值范困.

说考生从第22、23・中任选一■作答•并用2B18第将答・卡上所选・目对应的方框米黑,接所透涂・号

迸行评分；多涂、鬣答，按所涂的■■进行评分；不*,按本选才■的首■进行再分.

22.(本小题濡分10分)【选修4一4：坐标系与参数方裳】

iNa+cosa

人上Q为参数)•以坐标原点为极点，工轴的正半轴为

(ss

1yb+sina

极轴建立极坐标系,曲城G的极坐标方程为p・2coM.

(1)若与C?有且只有】个公共点•求a；

⑵若a-g冬曲线GC交于A，B西点，求IABIL

23.(本小0濡分10分)【选修4一51不等式选讲】

已知。.6为正数•函数/(*)=|工一巧|+|n+6|的值域为［1—一十8).

(1)若c—-1.证明：a+b>2a6,

(2)若c>0,证明；.二6(,二斗9一、>8.

7〃■伊•2021癌■通高中敏胃敏学员・痣澳试(全51卷)理科数学第4页共4M

7成剧棘g2021届普通高中教育教学质量监测考试

全国I卷理科数学参考答案

1.A1解析］八=>f.«昇则,\n<C.B>=<T|

L-咛.

2.C1解析】由题意可知==，+v，.「［、［则三=±±g=,+-普i•若为纯/数•

£jr-yi（x-jl）（.r-+-^i）j-4-yjr-by

则"—y：=（）,即（］―>）（/+丫）=（）.

3.D【解析】结合统计图可知.3日.1日和7日的增长速度比前一天均下降・A选项不正确；7天中・2日・5日・6

日和7日的增长速度均为正.B选项不正确；根据统计图可知7天的增长速度的平均值为正.C选项不正确；3

月5日的订单盘约为2.2（万张）.则3月6日的订单盘约为2.2X（l+0.45）=3.19（万张）・【）选项正确.

4.C【解析】八一」）=|一x|（eeD=#<d-e，）=-/（*）•故/J）为奇函数•函数图象关于蟆点中心

对称.排除B选项：当工>0时,e，>l.OVe，Vl.e，-e,0・旦|”|>0.故，（工）=|#（e，-e，）>0.排除

A.D选项.

5.C【解析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为小•公差为d的等差数列；a.则仃”+小+

m+8</=o

.“i+a：+a.»+s+a-=5•故，•解得，

lai+2</=1

d=

6.C【解析】由a&>16=3+>3=1.可得a-（2^）*21S,b=（3+）'-3：=9.则有/V〃.所以IVaV

Aic=log,2<!ogj3=1•wc<a<.b.

7.B【解析】如图所示.连接CD.8D•延长BO交AC于点E・取CD中点F・连接EF,义

BF.因为△ABC为正三角形•且O为△ABC的外心•所以E为AC的中点,故EF///X

AD,则4EF即为异面自线AD与BO所成的角.设AD=AB=2•则EF=1.BE=/

G.由题意可知ZXBCD为等边三角形•则BF=J?，在△BEF中,co§NBEF=/

际+E尸-8产4%三赤:强S

-2BE•EF-=T*---Si^gg

8.B【解析】设八（M・w）・3（y.山》•因为△A3C为等边三角形.所以点3为线段AC的中庭线与抛物线E的

交点.即加=9，且15—川=哼f1•解得1g1=孚•从而5=£.

9.B【解析】由+加（H加得（审+05）（T）AD/b.则有审+2次•DB+OB二审

26・。方+万乔.即示・「或（）.依意意得示HTCT.把八DX〃济力T两边平方得I和

4-//OB2A//OX-o5-of.即ii示+〃二百.所以大十〃1.

io.B【解析】最大一个数在第I行的概率为5=看・在任意排好第I行后•余下的6个数排在前3行•符合要求

的排列的假率为■•在任堂推好第3行后•余卜的3个数排在前2行•符合要求的排列的概率为《故

oLo

《VaiVaiVa,的做率为产二；乂亍=看

U.B【解析】由/（1）>1（1>0）.可得/（1）-1>0・令月《，）八］）一上・则?'3）=八］>一1>。・故g（i）在

Z及黑低幺2021届普通高中教育教学质・监测考试（全国I卷）理科数学答案第1页

（0.十,）上单调递增.因为-1）=一1•所以小一】）八一1）+1=0•又因为/（/）为奇函数•所以小上）

一/（.r）/为奇函数,所以g（l）=O・且住区间（・0）上，g《.r）单调递增.所以使得/（X）〉.，•即gJ>>0

成立的」的取值范围是（-1,0）11（1・+8）.

12.C【解析】由题意可知.P・Q・R分别是核AB.AD.4Ai的中点.如图所示,连接

AiG・BG・CD・并分别取它们的中点Ri.Pi.Q：•连接RR・PP-QQ・R,H.

PiQ,.QK,则RR,〃AC.PH〃AC.QQ,/ZAC,,flRRPPQQ,=yAC,.

因为八平面PQR•所以RR」平面PQK.PP一平面PQR.QQ」平面

PQR•故校住PQKHQ4为立：棱住•高%RR=苧=2伍•且此时校

住的高最大.

13.-y【解析】作出可行域如图中阴影部分所示•结合图形可知.当直线：z+y过点A

（一^..•^^时一取最小值——二—^―-r-=-4r.

11,0【解析】当上20时."I）|=JNai,即/（『一a）》0恒成立•则有。40:当工<0

时・IfCr）I=>>ax•即彳恒成立♦则有•所以“=0.

15.[2・+,）【解析】设双曲线C的右焦点为曰.由双曲线的定义可知PF|-PH

2a•故/"IPF.设,一十匕则P点的横坐标为》因为点P在双曲线上•显然有看2a•即，

LZa

2•所以离心率，的取值疱围是[2•十«）.

16.1t解析】由a.—-u..可得，.|||a.a：+a.•可得必-----上■•故仇3••因为」一工

a—】a.Ta.~rla・+la.-i

------=-L―-!—.所以一J_=所以s=--—।—!—（-•・•-!—!-—-L—J-+J—L

a.（u.4-l）a.%+1•“-a.+la.u,Sm+1a-\小，+1小«a：a

+…+」----L=1--L.由图意可知%>0,剜％.|一%=小>0•故｛a.｝为递增数列.因为5=1.所以OV

<2|0«fllola101

」-VL故$-I」一£(0・1).所以A的最小值为I.

"lolO10I

17.【解析】(I)由建设可得“(sinB+co、B)=a・

由正弦定理•可得sin3sinC+cosBsinC=sirtA・....................................................................................2分

又因为A=X-(B4-C)・所以sin.A=sin<B+C>=sinBcosC+cosBsinC.

所以sinBsinC=sinBcosC.............................................................................................................................4分

因为B・C6(0・*).

所以得sinC=cosC.则C=4......................................................................................................................6分

4

(2)因为c=2・a=&■乩

由余弦定理得•《笈6尸+•一2•图・6cos子=I,......................................................................................8分

•I

整理得6?=4・

取b=2,Q=2&..........................................................................................................................................10分

△AEC的面枳S=ya/»sinC=2..................................................................................................................12分

I&【解析】(D连接AG.因为四边形AACC为菱形.所以AC_LAC.......................................................1分

因为BC±AC.BC±CCt.ACnCC,=C.

所以BCJ_平面ACGA,.且ACU平面人CG・%,所以A>C±BC.

因为BC〃J3iG.所吸AULBC..............................................................................................................3分

7aM快¥2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国I卷）理科数学答案第2页

又因为ACnBC=c•所以ACL平面AB,Ci............................................................................................1分

又ABiU平面八BiC.所以AC_LA氏........................................................5分

(2)由(1)知加工平面AACC・

所以平面A|ACC_L平面ABC.

作八Q_AC于点O.则AQ.平面43c.

因为四边形AACG为菱形，NAAC=6(T.所以△AiAC为等边三角形.

所以O为AC的中点.

以O为坐标原点,乐的方向分别为x轴.、轴・：轴的正方向・叶

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz..............................................................6分尢一卅

设AC=3C=CC=2•则A(1,O.O)・B(-1.2・O)・B(-2・2・")・C(-I・O.O).'怜]/

A5=(-2,2.0).CB=(0,2,0).BBT=(-1,0,73).JR

设平面ABB的一个法向量为HI=5.V,NI)・左相二

14・R5=0[―2©+2yl=0

所以，一.则「-

1/»•BBi=0I—xj4-V3ci=0

可取n(#.73.1).8分

设平面CB及的个法向后为〃=(rm).

in..上0则|2*=。

所以

In：

•西=0|-x;+V3e：=0

可取〃=(73.0.1).

cosn./»►>

所以二面角A—BB-C的余弦值为手■......................................................12分

19.【解析】(1)由已知数据和参节数据得

产2+3甘+5=3.5,产26+39：49+54=42...........................................................................................

因为y与l的相关系数近似为。.998.说明y与/的线性相关程度相当高.从而可以用线性|可/I模型拟合力

与工的关系...............................................................................6分

2(x,-x)(y,—y)

(2)6=-^―；----------------------=^=9.4..........................................................................................................7分

。一方

a=^-tu=42-9.4X3.5=9.1....................................................................................................................8分

所以回归方程为&=9.1r+9.L........................................................................................................................9分

(3)当工=9时J=9.4X9+9.1=93.7V100................................................................................................10分

当了=10时6=9.4X10+9.1=103.1>100................................................................................................11分

所以.到2025年沙漠治理面积可突破100万亩...............................................12分

2。.1析。”设「GT.则F—,=一,冽丁吟.从而等=反即〃=⑸,.

又因为卜冬即..................................................................

2分

7a6S驻学2021届普通高中教育教学质量应测考试(全国I卷)理科数学答案第3页

解.得a=g,6=1.

故椭I网的方程为9•+/=1.............................................................................................................................4分

⑵设直线/的方程为产—+十•当4=0时•不符合题意.......................................5分

当AW0时♦设直线AB：y=一"r+m・

K

（x2+2y2=2

由！1联立•整理得（：+））>一筌1+标-1=0，

|y=一工k+〃1CkR

A=-^74（—亲〃，“二一1）=-2〃，：+2+亲>0.即1+看>，〃：①..............................6分

设A（.r,）.B（.r：,y：）•则口+^丁“察""。

V+启=y（r>+"：）+2，〃=•

”於=(一+/1+m)(一如：+m)=*412-,5+/)+加=工；［卜：2..............................7分

A8的中点K《券%•2~1^)在直线/上•

则,心：*=kX+y•整理得ni二之索②......................8分

②式代人①式整理得3公+4A-4>0.

解得号或AV-专.......................................................................9分

因为次.枳5=0.即X,壬+A.V：="黑n+驾/2=0.

整理得3AoM—2公一2=0③.........................................................................................................................10分

将②式代入③得弘’一伏？-1204=士々满足亭或4〈一亭..........................11分

所以4=土々.故比线/的方程为y=/;r+}.或3=一々I+}........................................................12分

21.【解析】⑴八外=(\+2**+十。>03

由H>0.可知有/(x)>0»

故人力在(0,+8)上单调递增..............................................................2分

因为/(D=e>0,/(y)=^-ln2<0,

所以函数f(i)有唯一零点八,且/VivVl.................................................................................................4分

(2)ft].r(e“)2ln(ej，)・整理得a&e，—-y---

•n，.、In(ex)，.._,,In.r_j-:e#+lru

lxgCr)—e—,g(a-)-</I------------.

由(1)可知/Q)/e’+lna在(0,+。)上单调递增.

存在唯一零点r,，且■|<r.VI.

当/6(0.]“)时•八外〈0・1(工)〈0・屋口)单调递减.

当丁£《网，+8》时./《#>0・『0)>0.爪,)单调递增.........................................6分

7〃8!豫》2021届普通高中教育教学质量监测考试(全国I卷)理科数学答案第1页

即以工）为45》在定义域内的以小值.所以

因为"力〉=0•所以H'C'8分

令/»J)=xe'・JvjrVl.

方程①等价于-K-l3）4ViV）・

而『⑺（工+1*在（0,+工）上恒大于零.所以在（0・+oo）单调递增.

故h（jce）=h《Tru\,）等价于J=-ln.r.c'---...................................................................................10分

•T。

故屋外的最小值）=e-L=J-----——-=1.

Xojr9jr9JOX®

所以a&l.

所以。的取例翘闱为（一8・口・.............................................................12分

22.【解析】（1）根据曲殁。的参数方程可御Jr”）：+《丁一/八1.

因为小+6=1•所以曲线C是经过坐标蟆点且半径为1的动■・...........