陕西省商洛市高三（上）期末数学试卷（理科）【含答案】

陕西省商洛市高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题1．（3分）设集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}，B＝{x|2﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞6} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|2＜x＜6}2．（3分）＝（）A． B．1 C． D．i3．（3分）某地有两个国家AAAA级旅游景区﹣﹣甲景区和乙景区．相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图．关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（）A．甲景区月客流量的中位数为12950人 B．乙景区月客流量的中位数为12450人 C．甲景区月客流量的极差为3200人 D．乙景区月客流量的极差为3100人4．（3分）若x，y满足约束条件且z＝x+2y，则（）A．z的最大值为6 B．z的最大值为8 C．z的最小值为6 D．z的最小值为85．（3分）已知两个单位向量，的夹角为60°，向量，则＝（）A． B． C． D．76．（3分）已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（3分）在等比数列{an}中a1+a2＝1，a4+a5＝27，则{an}的前5项和为（）A．29 B． C．30 D．8．（3分）若函数f（x）＝e2x+mx﹣m在[0，1]上为减函数，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣e2] D．（﹣∞，﹣2e2]9．（3分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（）A．（﹣∞，﹣3]，[0，3] B．[﹣3，0]，[3，+∞） C．（﹣∞，﹣5），[0，1） D．（﹣1，0]，（5，+∞）10．（3分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为（）A． B． C． D．11．（3分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的每个顶点都在球的O球面上，若球O的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为（）A． B． C．16 D．1812．（3分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，P为抛物线C上一点，且P在第一象限：当取得最小值时，点P的坐标为（）A． B．（1，2） C． D．（4，4）二、填空题13．（3分）（﹣3）5的展开式中x2的系数为．14．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线C的左支上，且|AF1|＝12，则|AF2|＝．15．（3分）已知f（x）为偶函数，当0≤x＜4时，f（x）＝2x﹣3，当x≥4时，f（x）＝21﹣2x，则不等式f（x）＞5的解集为．16．（3分）在数列{an}中，a1＝3，且．（1）{an}的通项公式为；（2）在a1、a2、a3、…、a2019这2019项中，被10除余2的项数为．三、解答题17．a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，已知atanB＝3bsinA．（1）求cosB；（2）若a＝3，，求△ABC的面积．18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图．（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率；（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率．①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为p（0＜p＜1），若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围．可能用到的参考数据：取0.364＝0.0168，0.164＝0.0007．19．已知椭圆的焦距为，短轴长为．（1）求Ω的方程；（2）若直线y＝x+2与Ω相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的标准方程．20．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，F为CD的中点，G在线段BC上，且BG＝3CG．将△ADE沿DE折起，使点A到A1的位置（如图2所示），且A1F⊥CD．（1）证明：BE∥平面A1FG；（2）求平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值．21．已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sinx+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：x≥1+lnx；（3）证明：f（x）≤（x+1）2esinx．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m＞0，n＞0，α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（1）求a，m，n的值；（2）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）＝3|x+1|﹣|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞3的解集；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）﹣|x﹣2|≤t2﹣8t恒成立，求t的取值范围．参考答案解析一、单选题1．（3分）设集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}，B＝{x|2﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞6} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|2＜x＜6}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：因为A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}＝{x|x＜1或x＞6}，B＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，所以A∩B＝{x|x＜1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）＝（）A． B．1 C． D．i【分析】利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数．【解答】解：．故选：A．【点评】本题考查复数的除法与加法计算，考查计算能力，属于基础题．3．（3分）某地有两个国家AAAA级旅游景区﹣﹣甲景区和乙景区．相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图．关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（）A．甲景区月客流量的中位数为12950人 B．乙景区月客流量的中位数为12450人 C．甲景区月客流量的极差为3200人 D．乙景区月客流量的极差为3100人【分析】利用茎叶图的性质直接求解．【解答】解：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人．根据茎叶图的数据，可知甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人，故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（3分）若x，y满足约束条件且z＝x+2y，则（）A．z的最大值为6 B．z的最大值为8 C．z的最小值为6 D．z的最小值为8【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，由图可知，当直线z＝x+2y经过点（2，2）时z取得最小值6，z无最大值．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（3分）已知两个单位向量，的夹角为60°，向量，则＝（）A． B． C． D．7【分析】根据条件可求出，，然后根据进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：∵两个单位向量，的夹角为60°，∴，，∴．故选：A．【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．6．（3分）已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由已知结合平面与平面垂直的性质及充分必要条件的判定方法得答案．【解答】解：由α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，m⊥l，利用面面垂直的性质可得m⊥β；由α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，m⊥β，利用面面垂直的性质可得m⊥l．∴α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．7．（3分）在等比数列{an}中a1+a2＝1，a4+a5＝27，则{an}的前5项和为（）A．29 B． C．30 D．【分析】设等比数列{an}的公比为q，根据题意得出关于a1和q的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列{an}的前5项和．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则，解得，因此，数列{an}的前5项和为．故选：D．【点评】本题考查等比数列求和，解题的关键就是求出等比数列的首项和公比，一般利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题．8．（3分）若函数f（x）＝e2x+mx﹣m在[0，1]上为减函数，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣e2] D．（﹣∞，﹣2e2]【分析】由题意得出f'（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，分析函数y＝f'（x）的单调性，得出该函数的最大值，可得出关于实数m的不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）＝e2x+mx﹣m，∴f'（x）＝2e2x+m．由于函数f（x）＝e2x+mx﹣m在[0，1]上为减函数，则不等式f'（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，又函数y＝f'（x）＝2e2x+m在区间[0，1]上单调递增，所以，，解得m≤﹣2e2．因此，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2e2]．故选：D．【点评】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题．9．（3分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（）A．（﹣∞，﹣3]，[0，3] B．[﹣3，0]，[3，+∞） C．（﹣∞，﹣5），[0，1） D．（﹣1，0]，（5，+∞）【分析】根据复合函数的单调性结合图形找出使得函数y＝f（x）单调递减以及满足f（x）＞0的对应x的取值范围即可．【解答】解：因为在（0，+∞）上为减函数，所以只要求y＝f（x）的单调递减区间，且f（x）＞0．由图可知，使得函数y＝f（x）单调递减且满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪[0，1）．因此，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣5）、[0，1）．故选：C．【点评】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，在利用复合函数法得出内层函数的单调区间时，还应注意真数要恒大于零．10．（3分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为（）A． B． C． D．【分析】利用辅助角公式将函数y＝f（x）的解析式化简为，根据题意得出，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值．【解答】解：∵，由于该函数的图象关于直线对称，则，得，∵ω＞0，当k＝0时，ω取得最小值．故选：C．【点评】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题．11．（3分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的每个顶点都在球的O球面上，若球O的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为（）A． B． C．16 D．18【分析】计算出球O的半径为R，可得出，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，可得出，然后利用基本不等式可得出该四棱柱侧面积的最大值．【解答】解：设球O的半径为R，则4πR2＝12π，得．设正四棱柱的底面边长为x，高为h，则正四棱柱的体对角线即为球O的直径，则有，即2x2+h2＝12，由基本不等式可得，∴，当且仅当时，等号成立，因此，该四棱柱的侧面积为．故选：A．【点评】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算，涉及了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要根据题意得出定值条件，考查计算能力，属于中等题．12．（3分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，P为抛物线C上一点，且P在第一象限：当取得最小值时，点P的坐标为（）A． B．（1，2） C． D．（4，4）【分析】根据题意，．因此可求tan∠PKF的最大值，表示出tan∠PKF，利用基本不等式的性质，求得tan∠PKF的最大值，即可求得P点坐标【解答】解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，．求cos∠PKF的最小值等价于求tan∠PKF的最大值，则，故．当且仅当，即y＝2时，等号成立，即P（1，2）．故选：B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查基本不等式的应用及成立条件，考查转化思想，属于中档题．二、填空题13．（3分）（﹣3）5的展开式中x2的系数为﹣15．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣3）r•，令5﹣r＝4，求得r＝1，可得展开式中x2的系数为，故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线C的左支上，且|AF1|＝12，则|AF2|＝20．【分析】利用双曲线的定义可求出|AF2|．【解答】解：∵A在双曲线C的左支上，由双曲线的定义可得，因此，|AF2|＝|AF1|+8＝20．故答案为：20．【点评】本题考查双曲线定义求焦半径，考查计算能力，属于基础题．15．（3分）已知f（x）为偶函数，当0≤x＜4时，f（x）＝2x﹣3，当x≥4时，f（x）＝21﹣2x，则不等式f（x）＞5的解集为（﹣8，﹣3）∪（3，8）．【分析】求出不等式f（x）＞5在x∈[0，+∞）的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式f（x）＞5在R上的解集．【解答】解：当0≤x＜4时，令f（x）＝2x﹣3＞5，可得2x＞8，解得x＞3，此时3＜x＜4；当x≥4时，令f（x）＝21﹣2x＞5，解得x＜8，此时4≤x＜8．所以，不等式f（x）＞5在x∈[0，+∞）的解为3＜x＜8．由于函数f（x）为偶函数，因此，不等式f（x）＞5的解集为（﹣8，﹣3）∪（3，8）．故答案为：（﹣8，﹣3）∪（3，8）．【点评】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题．16．（3分）在数列{an}中，a1＝3，且．（1）{an}的通项公式为an＝2n2﹣n+2；（2）在a1、a2、a3、…、a2019这2019项中，被10除余2的项数为403．【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）中的通项公式，进一步利用求整问题的应用整理出看和n的关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）数列{an}中，a1＝3，且（常数）．所以数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．所以，解得（首项符合通项）．故．（2）由于，所以被10除余2的数设为10k﹣8．故：．整理得：，由于k∈N，故n（2n﹣1）是10的倍数．所以：2n﹣1为正奇数，所以n为偶数．所以n＝8，10，18，20，…2008，2010，2018．一共有202+201＝403．故答案为：an＝2n2﹣n+2：403【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，求整问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题17．a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，已知atanB＝3bsinA．（1）求cosB；（2）若a＝3，，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cosB的值；（2）利用余弦定理求出c的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sinB的值，最后利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积【解答】解（1）因为atanB＝3bsinA，所以sinAtanB＝3sinBsinA，又sinA＞0，所以，因为sinB＞0，所以；（2）由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，则，整理得c2﹣2c﹣8＝0，∵c＞0，解得c＝4．因为，所以，所以△ABC的面积．【点评】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题．18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图．（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率；（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率．①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为p（0＜p＜1），若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围．可能用到的参考数据：取0.364＝0.0168，0.164＝0.0007．【分析】（1）根据条形统计图计算本届高三学生本科上线率即可；（2）①根据n次独立重复实验恰有k次发生的概率公式，计算恰有8名学生达到本科线的概率值；②由甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X、Y，由EY≥EX列方程求出p的取值范围，从而得出结论．【解答】解：（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率为×（4+6+7+8+5）＝60%；（2）①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由题意可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6；则P（A）＝×0.68×（1﹣0.6）2＝×0.364×0.42＝45×0.0168×0.16≈0.12，即恰有8名学生达到本科线的概率为0.12；②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X、Y，依题意可得，X～B（40000，0.6），Y～B（3600，p）；因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以EY≥EX，即3600p≥40000×0.6，解得p≥；又0＜p＜1，所以p的取值范围是[，1）．【点评】本题考查了条形统计图与分布列的计算问题，也考查了数据分析与处理能力，是中档题．19．已知椭圆的焦距为，短轴长为．（1）求Ω的方程；（2）若直线y＝x+2与Ω相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的标准方程．【分析】（1）根据题意求出a和b的值，即可求出椭圆Ω的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆Ω的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB的中点和|AB|，即可得出所求圆的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆Ω的焦距为2c（c＞0），则，，所以，，a2＝b2+c2＝8，所以Ω的方程为；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y，得5x2+16x+8＝0．由韦达定理得，，所以，线段AB的中点坐标为，，所以，所求圆的标准方程为．【点评】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题．20．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，F为CD的中点，G在线段BC上，且BG＝3CG．将△ADE沿DE折起，使点A到A1的位置（如图2所示），且A1F⊥CD．（1）证明：BE∥平面A1FG；（2）求平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）根据题意，以F为原点，直线FC为x轴，过F平行于BC的直线为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，求出设平面A1FG，平面A1BE的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值即可．【解答】解：（1）证明：取BC的中点M，连接DM，∵BG＝3CG，∴G为CM的中点，又F为CD的中点，所以FG∥DM，由DE∥BM，DE＝BM，∴平行四边形DMBE，∴BE∥DM，所以BE∥FG，又FG⊂平面A1FG，如图，所以BE∥平面A1FG；（2）根据题意，以F为原点，直线FC为x轴，过F平行于BC的直线为y轴，直线FA1为z轴，建立如图空间直角坐标系，则F（0，0，0），A1（0，0，），B（1，4，0），E（＝1，2，0），G（1，1，0），），，，，设平面A1FG的法向量为，由，得，故，设平面A1BE的法向量，由，得，故，∴＝，故平面A1FG与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为．【点评】考查直线与平面平行的判定定理，利用空间向量法求二面角的余弦值，注意运算的准确性，中档题．21．已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sinx+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：x≥1+lnx；（3）证明：f（x）≤（x+1）2esinx．【分析】（1）求出f（0）和f'（0）的值，利用点斜式可写出所求切线的方程；（2）构造函数g（x）＝x﹣lnx﹣1，利用导数求出函数y＝g（x）的最小值g（x）min，由g（x）min≥0可证明出x≥1+lnx；（3）证明出（x+1）2esinx＞0，利用（2）中的结论可得出（x+1）2esinx≥1+ln[（x+1）2esinx]，化简后可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）＝2ln（x+1）+sinx+1，∴，则f'（0）＝3，f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x+1；（2）设函数g（x）＝x﹣（1+lnx）＝x﹣lnx﹣1，则，令g'（x）＜0，得0＜x＜1；令g'（x）＞0，得x＞1．所以，函数y＝g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．则函数y＝g（x）在x＝1处取得极小值，亦即最小值，即g（x）min＝g（1）＝0，即x≥1+lnx；（3）证明：因为函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞），所以（x+1）2＞0，（x+1）2esinx＞0，由（2）知，（x+1）2esinx≥1+ln[（x+1）2esinx]，即（x+1）2esinx≥2ln（x+1）+sinx+1，又（0+1）2esin0＝1，所以