《数学建模》考试试卷与参考答案

《数学建模》试卷第4页共4页密线密线封层次报读学校专业姓名317题号一二三四总分得分一、填空题（每题5分，满分20分）：1.设开始时的人口数为，时刻的人口数为，若人口增长率是常数，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为.2.设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为.3.所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为.4.其中.二、分析判断题（每题10分，满分20分）：1.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。2.某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？表1 单位：元/件客户利润工厂1234123656362646867656263605960上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。三、计算题（每题20分，满分40分）：1.有一批货物要从厂家A运往三个销售地B、C、D，中间可经过9个转运站从A到的运价依次为3、8、7；从到的运价为4、3；从到的运价为2、8、4；从到的运价为7、6；从到的运价为10、12；从到的运价为13、5、7；从到的运价为6、8；从到的运价为9、10；从到的运价为5、10、15；从到的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。2.试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：表2 单位：百元/吨销地运价产地B1B2B3B4产量A1A2A3352947512691011201525销量10201515四、综合应用题（本题满分20分）：试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。（提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。）数学建模》试题参考答案一、填空题：1、2.、3、问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析；4.、80.二、分析判断题（每题10分，满分20分）：1、1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益……..2分2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等……….5分3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料8分4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型………10分2.可以转化为运输模型，具体做法如下：首先确定总的产销量.总产量显然为12000件；总需求量中，客户3的需求量在保证已承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件。因此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题…4分其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件……………6分再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M（M是一个充分大的正数）8分综合上述讨论得产销平衡运价表如下：10分表1 单位：元/件客户利润工厂1233‘4供给量1234656362626468676565626360595960-M-M-M003000500040004000需求量40003000100040004000三、计算题（每题20分，满分40分）：1.建立图模型如图1-1.AEAE2E3E1G2G3G1F2F3F1CDB738342847610121357689105101587图1-1…….10分AE2AE2E3E1G2G3G1F2F3F1CDB738342847610121357689105101587202116131112176773801913图1-2…15分再利用逆向搜索法便可得到运输路线有：，；或.…20分（注意，到C的路线只给出一条者扣2分）2.易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题。我们有(1)利用最小元素法可得初始方案如表1，表1销地运价产地B1B2B3B4产量1515A11515A2A33⑤5294⑤7⑩51269⑩1011201525销量10201515…..5分（2）使用闭回路法可得负检验数为=-1，故令进基……………...10分（3）使用闭回路法进行调整知出基，便得新的运输方案如表2……15分表215销地15运价产地B1B2B3B4产量15A115A2A335⑤294⑩7⑤51269⑩1011201525销量10201515（4）再进行检验知，所有检验数，故得最优运销图如图1-3：……………20分A3BA3B4B21015A2B2B1105A1B3B2515图1-3最小费用为385（百元）。四、综合应用题（本题满分20分）：1.问题分析………………..5分所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的。2.模型假设………………..10分(1)四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；(2)地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；(3)地面是相对平坦的，在任何位置，至少有三个桌腿同时着地。ABDC(A)ABDC(A)(B)(C)(D)xyo如图1-4，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A、C两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度有关。注意到假设3，设A、B两个桌脚与地面距离之和为，另外两个桌脚与地面距离之和为则与中至少有一个为零，当时不妨假设图1-4。又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：已知则，使得上述命题即为所建立的数学模型。