2023年江苏中考数学一轮复习专题训练第14讲四边形(解析版)

第14讲四边形2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）一、单选题1．（2022·南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC=4，∠ABC=60°，若EF过点O且与边ABA． B．C． D．2．（2022·无锡）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105∘，点E在AD上，∠EBAA．23 B．12 C．32 3．（2022·无锡）下列命题中，是真命题的有（）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形A．①② B．①④ C．②③ D．③④4．（2022·连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④5．（2022·海门模拟）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着E逆时针旋转60∘，得到EG，连接A．33 B．27 C．43 6．（2021·无锡）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（）A．△BDE和△DCFB．四边形AEDF是平行四边形C．若AB=BC，则四边形AEDFD．若∠A=90°，则四边形AEDF7．（2021·苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB'C，B'C交AD于点E，连接B'D，若∠B=60°，∠A．1 B．2 C．3 D．68．（2021·秦淮模拟）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD，BC=CD，则AC⊥BD；③若∠BCDA．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④9．（2021·仪征模拟）将一个边长为4cn的正方形与一个长，宽分别为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）A． B．C． D．10．（2021·天宁模拟）下列命题中，真命题是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形二、填空题11．（2021·徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E，F分别在线段AB，AD上.若BE=FD=2cm，矩形AEGF的周长为12．（2021·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上.若BC=3，则点A的坐标是13．（2021·南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB'C'D'的位置，使点B'落在BC上，B'C'与CD交于点E，若14．（2021·扬州）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=10，则▱ABCD15．（2021·连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC=8，BD=6，则OE的长为16．（2022·徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．17．（2022·无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝.18．（2022·泗洪模拟）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm19．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形20．（2022·宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是.三、综合题21．（2022·徐州）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．22．（2022·镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH（2）如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有（3）如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE：OF=4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为23．（2022·南通）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证（2）当AE=32时，求（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．24．（2022·无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF.求证：（1）△DOF≌△BOE；（2）DE=BF.25．（2022·无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC（1）求EF的长；（2）求sin∠CEF的值.26．（2022·无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？27．（2022·海陵模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．（1）求证：EG＝BG；（2）若m＝2．①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG-12AE＝AB2总成立？若存在，求出

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝90°-60°=30°，

∴AB＝2BC=8，

AC＝AB2-BC2=82-42=43，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO＝12AC＝23，

∴OM＝12AO＝3，

∴AM＝AO2-OM2＝3；

设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB−AM−BE＝8−3−x＝5−x，

∵OE2＝OM2＋EM2，

∴y＝（x−5）2＋3，

∵0≤x≤8，当x＝8时y＝12，

符合解析式的图象为C.

故答案为：C.

【分析】过O点作OM⊥AB于M，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长；利用平行四边形的性质可求出AO的长，从而可得到2．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴∠ADC+∠BAD=180°，∵∠∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=3x∴DE=DF-EF=（3-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-3）x，由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-3）2x2+x2=（8-43）x2，∴D∴DEAB=∵AB=CD，∴DECD故答案为：D.【分析】过点B作BF⊥AD于F，根据平行四边形的性质可得CD=AB，CD∥AB，由平行线的性质可得∠ADC+∠BAD=180°，结合∠ADC的度数可得∠A的度数，利用内角和定理可得∠AEB=45°，进而推出BF=FE，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠A=75°，则∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=3x，DE=DF-EF=(3-1)x，AF=(2-3)x，由勾股定理可得AB2，据此可得DEAB的值，然后结合AB=CD进行求解3．【答案】B【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理可判断③.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，

∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，

∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，

∴∠FGE+∠GEC＝180°，

∴GF∥CE，

∴①符合题意；

设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，

∴CG＝OG+OC＝3a，

在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，

在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，

在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，

（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，

整理，解得：b＝2a，

∴AB＝2AD，

∴②不符合题意；

设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝22a-x，

在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，

∴x2+（2a）2＝（2a-x）2，

解得：x＝22a，

∴OF＝DF＝22a，

∴6DF＝6×22a＝3a，

又∵GE2=a2+b2，

∴GE=3a，

∴GE=6DF，

∴③符合题意；

∵22OF＝22×22a＝2a，

∴OC=22OF，

∴④符合题意；

∵无法证明∠FCO＝∠GCE，

∴无法判断△COF∽△CEG，

∴⑤不符合题意；

∴正确的有①③④.

故答案为：B.

【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝2a，从而得AB＝2AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝22a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2a-x）2，解得x＝22a，从而得OF＝DF＝22a，进而求得GE=6DF；又22OF＝22×22a＝2a，从而可得∴OC=22OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE5．【答案】B【解析】【解答】解：取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE'的长就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM=12AE∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，∴MB=2，∠HMB=60°，∴HM=1，∴AE'=2，∴E点与E'点重合，∵∠AEB=∠MHB=90°，∴∠CBE=90°，在Rt△EBC中，EB=23，BC=4，∴EC=27，故答案为：B.【分析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；利用三角形的中位线定理可得到HM=12AE，可求出HM的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AE的长，利用勾股定理求出BE的长；然后利用勾股定理求出EC的长6．【答案】C【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，∴ED∥AC，且ED＝12AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝12AB＝∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；∴△BDE∽△BCA∴S△BDE=14S△BCA∴△BDE和△DCF的面积相等，故∵AB=BC∴DF＝12AB=AE∴四边形AEDF不一定是菱形，故C错误；∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；故答案为：C.【分析】根据三角形中位线定理可得ED∥AC，且ED＝12AC＝AF，DF∥AB，且DF＝12AB＝AE，可证四边形AEDF一定是平行四边形，由∠A=90°，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA，利用相似三角形的性质可得S△BDE=14S△BCA，S△CDF=14S△BCA，7．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，AC∴CE∵在Rt△DEC中，CE=3，∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴B'D故答案为：B【分析】由折叠的性质可得△AEC为等腰直角三角形，结合平行四边形的性质可证Rt△AEB′≌Rt△CDE，由全等三角形的性质可得EB′=DE，在等腰Rt△AEC中，用勾股定理可求得CE的值，解Rt△DEC可求得DE的值，在等腰Rt△DEB′中，用勾股定理可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：①如图1，连接AC并延长到点E.∵∠∠∴∠即∠所以结论①正确；②如图2，连接BD，作直线AC.∵∴点A在线段BD的垂直平分线上.∵∴点C在线段BD的垂直平分线上.∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.∴直线AC是线段BD的垂直平分线.∴所以结论②正确；③如图③，由①可知，∠当∠BCD=2∠A∴∠因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC.当AB=CD∵∴△∴∠1=∠4∴AB∥CD，BC∥DA.∴四边形ABCD是平行四边形.∵平行四边形是凸四边形，这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾.∴不存在凹四边形ABCD，使得AB所以结论④错误.故答案为：A.【分析】①如图1，连接AC并延长到点E，利用三角形外角和定理可得∠BCD=∠BAD+∠B+∠D；

②如图2，连接BD，作直线AC，根据线段垂直平分线的性质与判定，可得AC⊥BD；

③由①得∠BCD=∠BAD+∠B+∠D，结合∠BCD=2∠A，可得∠A=∠B+∠D，无法证明BC=CD；

④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC.证明四边形9．【答案】B【解析】【解答】解：A、重叠部分为矩形，长是4宽是2，所以面积为4×2=8；B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2，高是4，所以面积大于8；C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图B的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；D、如图，BD=42+42=42∴GH=42-∴S重叠部分=2×(42+42-4)故答案为：B.【分析】A、阴影部分是长方形，根据长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积=8；

B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2，高是4，根据平行四边形的面积公式即可求出阴影部分的面积＞8；

C、图C阴影部分的倾斜度比图B阴影部分的倾斜度小，得出图C中平行四边形的底比图B中平行四边形的底小，高是4，从而得出图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；

D、先求出BD的长，从而求出GH的长，利用梯形的面积公式求出阴影部分的面积＜8，即可得出重叠部分的面积最大的是图B.10．【答案】C【解析】【解答】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本选项说法是假命题；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项说法是真命题；D、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，本选项说法是假命题；故答案为：C.【分析】根据平行四边形的判定定理可判断A；根据菱形的判定定理可判断B；根据矩形的判定定理可判断C；根据正方形的判定定理可判断D.11．【答案】24【解析】【解答】∵矩形AEGF的周长为20cm，∴AE+AF设AE=x，则AF=10-x，AB=xS=(=12=24，故答案为24.【分析】由矩形的性质及周长，可求出AE+AF=10，设AE=x，则AF=10-x，AB=x12．【答案】（3，0）【解析】【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=3，∴点A的坐标是（3，0），故答案是：（3，0）.【分析】由平行四边形的性质可得OA=BC=3，据此不难得到点A的坐标.13．【答案】9【解析】【解答】解：过点C作CM//C'D'交B'C∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形A∴AB=AB'，AD∴∠BAB'=∠∴ΔAB∴B∵B∴D∴C===3-=∵∠∴∠C∵B∴B∵AB∴∠AB∵AB'//C∴A∴∠A∴∠A在ΔABB'和Δ∠BA∴ΔAB∴B∵CM∴△CME∴CM∴CE∴CE故答案为：98

【分析】过点C作CM//C'D'交B'C'于点M，利用旋转的性质可得AB=AB＇，AD=AD＇，同时可证得两平行四边形的对角相等，由此可推出∠BAB＇=∠DAD＇,∠B=∠D＇，可推出△ABB＇∽△ADD＇，利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出DD＇的值，即可求出CD＇，B＇C；再证明△CME∽△DC14．【答案】50【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=12BE=5∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四边形ABCD的面积=BC×EF=10×5故答案为：50.【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，由含30°角的直角三角形的性质得出EF=12BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠BCE=∠BEC，从而可得BE=BC=10，由平行四边形ABCD的面积=BC×15．【答案】12【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，∴AD=5，在Rt△ADO中，由等面积法得：1∴OE故答案为：125【分析】由菱形的性质得出AO=4，DO=3，∠AOD=90°，利用勾股定理求出AB=5，由△ADO的面积=12AO·DO16．【答案】4【解析】【解答】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴DF=所以AF=所以BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在Rt△AEF中：AE∴(3-x)2解得x=∴AE故答案为：43【分析】由折叠的性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质可得CD=AB=3，BC=AD=5，利用勾股定理可得DF，由AF=AD-DF可得AF，设BE=EF=x，则AE=3-x，利用勾股定理可得x，进而可得AE.17．【答案】1【解析】【解答】解：连接AG，EG，如图，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的边长为8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵点E是CD的中点，∴CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1.故答案为：1.【分析】连接AG，EG，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=EG，根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，由中点的概念可得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，然后在Rt△CEG、Rt△ABG中，利用勾股定理计算即可.18．【答案】4【解析】【解答】解：∵两个空白正方形的面积分别为12和3，∴边长分别为23和3∴大正方形的边长为23∴大正方形的面积为(33∴阴影部分的面积为27-12-3=12，∴米粒落在图中阴影部分的概率=12故答案为：49【分析】根据空白正方形的面积可得边长分别为23和3，则大正方形的边长为3319．【答案】10【解析】【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，∴AO=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠FAO=∠又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△∴AF=∵AF∥∴四边形AECF是平行四边形，∵MN垂直平分AC，∴EA=∴四边形AECF是菱形，∵AB⊥AC，∴EF∥∴BEEC∴E为BC的中点，Rt△ABC中，AB=3，∴BC=AE=1∴四边形AECF的周长为4AE故答案为：10.【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=12BC，据此求解20．【答案】5【解析】【解答】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，连接MN，则四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=12AD==4根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴ΔAQM∴NF∴NQ当点E与点A重合时，则NF=12∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴ΔABF是等腰直角三角形，∴∠∵BH⊥AF，∴∠由题意得，点H在以BQ为直径的HN⌢上运动，运动路径长为HN⌢长，取BQ中点O，连接HO，∴∠HON=90°，又∠∴BQ=∴ON=∴HN⌢的长为90π×5故答案为：52【分析】连接MN，则四边形ABNM是矩形，MN=AB=6，AM=BN=4，根据矩形的性质可得AD//BC，证明△AQM∽△FQN，根据相似三角形的性质可得NQ，当点E与点A重合时，则NF=2，BF=BN+NF=6，推出△ABF是等腰直角三角形，得到∠AFB=∠HBF=45°，由题意得：点H在以BQ为直径的HN⌢上运动，运动路径长为HN⌢长，取BQ中点O，连接HO，NO，利用勾股定理求出BQ，有ON=OH=OQ可得ON21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE又BE=∴△ABE≌△CDF（2）证明：∵△ABE∴AE∴∠∴AE∥∴四边形AECF是平行四边形.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，结合BE=DF，然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；

（2）根据全等三角形的性质可得AE=CF，∠AEB=∠CFD，结合邻补角的性质可得∠AEF=∠CFE，推出AE∥CF，然后根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠∴∠AEH+∠∵四边形EFGH为正方形，∴EH=EF，∠∴∠AEH+∠∴∠BEF=∠在△AEH和△BFE∵∠A=∠B=90°，∠AHE=∠∴△AEH≌△∴AH=BE∴AE+AH（2）AE=CF（3）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD∵AE=DG，AE∴四边形AEGD为平行四边形．∴AD∥EG∴EG∥BC过点H作HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N∴HNHM=∵OE：OF设OE=4x，OF=5x，HN=h∴h=4(4-x∴S=1∴当x=2时，△OEH∴OE=4x=8=12EG∴四边形EFGH是平行四边形．【解析】【解答】解：（2）AE=CF，证明如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠B=90°∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，∴AH=CG，∴△AEH≌△∴EH=FG．∵AE=CF，∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BEF=∠BFE=45°，∵AE=AH，CF=CG，∴∠AEH=∠CFG=45°，∴∠HEF=∠EFG=90°，∴EH∥FG，∴四边形EFGH是矩形.【分析】（1）根据正方形的性质可得∠A=∠B=90°，EH=EF，∠HEF=90°，根据同角的余角相等可得∠BEF=∠AHE，证明△AEH≌△BFE，得到AH=BE，据此证明；

（2）同理证明△AEH≌△FCG，得到EH=FG，根据线段的和差关系可得BE=BF，推出△EBF是等腰直角三角形，得到∠BEF=∠BFE=45°，易得∠AEH=∠CFG=45°，则∠HEF=∠EFG=90°，推出EH∥FG，然后根据矩形的判定定理进行解答；

（3）根据正方形的性质可得AB∥CD，易得四边形AEGD为平行四边形，则AD∥EG，过点H作HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N，设OE=4x，OF=5x，HN=h，根据平行线分线段成比例的性质可得h，由三角形的面积公式可得S，根据二次函数的性质可得S的最大值以及对应的x的值，进而求出OE、OF，然后结合平行四边形的判定定理进行解答.23．【答案】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵FM⊥AC，

∴∠B＝∠AMF＝90°，

∵旋转角等于∠BAC，

∴∠BAC＝∠EAF，AE=AF

∴∠BAE＝∠MAF，

在△ABE和△AMF中，

∠B＝∠AMF∠BAE＝∠MAFAE＝AF

∴△ABE≌△AMF（（2）解：解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，

AB＝4，AE＝32，

∴BE＝AE2-AB2＝(32)2-42＝2，

∵△ABE≌△AMF，

∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝2，

在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝AB2＋BC2＝42＋32＝5，

∴CM＝AC−AM＝5−4＝1，

∵∠CMF＝90°，

∴CF＝CM2＋FM2＝12＋(2)2＝3．

当点E在CD上时，过点F作FN⊥AC于点N，

∵∠BAC=∠EAF，

∴∠BAE=∠FAN，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠AED=∠FAN，

（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H，

∵△ABE≌△AMF，

∴AM＝AB＝4，

∵∠AMF＝90°，

∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，

∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，

∴△CMJ∽△CDA，

∴CMCD＝MJAD＝CJAC，

∴14＝MJ3＝CJ5，

∴MJ＝34，CJ＝54，

∴DJ＝CD-CJ＝4-54＝114；

∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，

∴△CMJ∽△DHJ，

∴CMDH＝CJDJ，

∴1DH＝54114，

∴DH＝115，

∴DF的最小值为115；

当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K，

∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，

∴∠DAE＝∠RAF，

在△ADE和△ARF中

AE＝AF∠DAE＝∠RAFAD＝AR

∴△ADE≌△ARF（SAS），

∴∠ADE＝∠ARF＝90°，

∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，

∵DQ⊥AR，DK⊥RF，

∴【解析】【分析】（1）作FM⊥AC，垂足为M，利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠B＝∠AMF＝90°，利用旋转角等于∠BAC，可证得∠BAE＝∠MAF，AE=AF，利用AAS证明△ABE≌△AMF，利用全等三角形的性质可证得结论.

（2）分情况讨论：当点E在BC上，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，利用全等三角形的性质可得到AB，FM的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，即可求出CM的长，利用勾股定理求出CF的长；当点E在CD上时，过点F作FN⊥AC于点N，易证∠BAE=∠AED=∠FAN，利用AAS证明△ADE≌△ANF，利用全等三角形的性质可证得AD=NF=3，AN=DE，利用勾股定理求出AN的长，即可得到CN的长；然后在Rt△CNF中，利用勾股定理求出CF的长，综上所述可得到CF的值.

（3）分情况讨论：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H，利用全等三角形的性质可得到AM的长，同时可得到点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CMJ∽△CDA，利用相似三角形的对应边成比例可求出MJ，CJ的长，由此可求出DJ；再证明△CMJ∽△DHJ，利用相似三角形的性质可求出DH的长；当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K，利用SAS证明△ADE≌△ARF，可得到∠ADE＝∠ARF＝90°，即可证得点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小；易证四边形DKRQ是矩形，利用矩形的性质可证得DK=QR，利用解直角三角形求出AQ的长，同时可求出DK的长，由此可得到DF的最小值，比较大小可求出DF的最小值.24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF.在△BOE和△DOF中，∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOF（ASA）（2）证明：∵△BOE≌△DOF，∴EO=FO，∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形.∴DE=BF.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC，由中点的概念可得OB=OD，根据平行线的性质可