虚拟激励法在汽车振动分析中的应用

虚拟激励法在汽车振动分析中的应用

由于车辆在路面上行驶，由于路面的高度和深度是随机的，因此车辆的行驶也是随机的。这种随机噪声直接影响到车辆的行驶平整度。而汽车行驶平顺性又是汽车主要使用性能之一,因此,汽车随机振动对汽车行驶平顺性的研究至关重要。以往的研究,是应用傅里叶分析方法研究汽车行驶平顺性。虽然这种方法已经发展得比较成熟,但存在着推导过于复杂的问题,既要推导汽车振动系统的频率响应特性,又要推导汽车振动响应量的频率响应特性。虚拟激励法是由我国学者提出的用于分析结构系统随机振动的新方法,是具有理论研究与工程应用前景的创新性成果。本文从工程应用角度出发,对虚拟激励法进行研究与论述,基于1/2汽车四自由度系统振动模型,应用虚拟激励法对汽车行驶平顺性进行研究。1虚拟激励法的基本理论1.1常系数线性系统频率响应特性的确定对于线性系统,频率响应特性是表征系统在频域的动态特性的函数,决定了系统响应(输出)与激励(输入)之间的关系,是频率的函数。在零初始条件下,对常系数线性系统,频率响应特性是响应和激励的复数之比,即Η(f)=Yf(t)Xf(t)(1)H(f)=Yf(t)Xf(t)(1)式中:H(f)为频率响应特性;f为频率;Yf(t)为响应y(t)的复数表示或傅里叶变换;Xf(t)为激励x(t)的复数表示或傅里叶变换。1.2虚拟激励和虚拟响应对于受到平稳随机激励的线性结构系统,如果平稳随机激励x(t)的自功率谱密度Sx(f)已知,则可以构造如下形式的虚拟激励˜x(t)x˜(t)˜x(t)=√Sx(f)ej2πft(2)x˜(t)=Sx(f)−−−−−√ej2πft(2)式中:j为虚数单位。由式(1),可得与虚拟激励对应的虚拟响应˜y(t)y˜(t)˜y(t)=Η(f)˜x(t)=Η(f)√Sx(f)ej2πft(3)y˜(t)=H(f)x˜(t)=H(f)Sx(f)−−−−−√ej2πft(3)由于结构系统受到的实际激励和响应是x(t)和y(t),因此,将式(2)和式(3)表示的激励和响应,称为虚拟激励和虚拟响应。在构造虚拟激励和获得虚拟响应的基础上,由两者求解实际响应自功率谱密度、实际激励与实际响应互功率谱密度的基本公式是Sy(f)=˜y(t)*˜y(t)(4)Syx(f)=˜y(t)*˜x(t)(5)Sxy(f)=˜x(t)*˜y(t)(6)Sy(f)=y˜(t)∗y˜(t)(4)Syx(f)=y˜(t)∗x˜(t)(5)Sxy(f)=x˜(t)∗y˜(t)(6)式中:Sy(f)为实际响应的自功率谱密度;Syx(f)为实际响应与实际激励的互功率谱密度;Sxy(f)为实际激励与实际响应的互功率谱密度;˜x(t)*x˜(t)∗、˜y(t)*y˜(t)∗为˜x(t)x˜(t)、˜y(t)y˜(t)的共轭函数。1.3平稳随机振动的虚拟激励法将式(2)和式(3)代入式(4)~式(6),得到的最后结果就是传统的单点激励和单点响应的功率谱密度公式,说明了式(2)~式(6)的正确性。但是,式(4)~式(6)的左边,是实际(真实)响应的自功率谱密度和实际(真实)响应与实际(真实)激励对应的互功率谱密度;右边却不是系统实际响应和实际激励,而是实际响应和实际激励的虚拟表达形式,而且这种形式不受实际响应和实际激励的真实表达式的影响与约束。因此,式(4)~式(6)最重要的意义是,只要知道实际激励的功率谱密度,不管实际激励和实际响应的表示形式如何以及如何复杂,都可以由虚拟激励和虚拟响应得到与实际响应和实际激励对应的功率谱密度。这种通过虚拟激励获得虚拟响应,求取实际响应的自功率谱密度、实际激励与实际响应互功率谱密度的方法,称为平稳随机振动的虚拟激励法,简称为虚拟激励法。(1)式(4)~式(6)是虚拟激励法规定的基本公式,不是通过数学推导得到的公式。(2)可以将虚拟激励既作为虚拟激励也作为虚拟响应代入式(4)~式(6),得到的就是实际激励的自功率谱密度。(3)应将式(4)~式(6)中的˜y(t)y˜(t)作为一个广义的响应,独立的响应、与激励和响应有关的各种非独立的响应,都可以按照式(4)~式(6)得到响应的各种功率谱关系。(4)如果激励为多点激励,响应为多点响应,则式(1)~式(6)是通过矩阵形式表示的,而且,激励分量与响应分量也分别满足式(1)~式(6)。(5)虽然虚拟激励是通过自功率谱密度还原为时域激励,但在求取实际响应的自功率谱密度、实际激励与实际响应的互功率谱密度时,又再一次还原为谱密度特性,还是只保存了幅值信息,不保存相位信息。因此,激励的自功率谱密度是与实际激励对应的,求得的实际响应的自功率谱密度、实际激励与实际响应的互功率谱密度也是与实际激励的自功率谱密度对应的,不会带来简化的问题。2虚拟路面和虚拟路面的高度2.1路面不清晰度的计算路面激励q(t)是路面对汽车振动系统的输入,是时间的函数,它既考虑了路面不平度的自然状态,也考虑了汽车的速度特性。设时间频率f内的路面激励的位移谱密度为Gq(f),汽车行驶速度为u,路面不平度空间频率谱密度为Gq(n),则有Gq(f)=1uGq(n)(7)Gq(f)=1uGq(n)(7)Gq(n)=Gq(n0)(nn0)-W(8)Gq(n)=Gq(n0)(nn0)−W(8)式中:n为空间频率;n0=0.1m-1为参考空间频率;Gq(n0)为参考空间频率n0下的路面不平度系数;W为频率指数。国际和国内标准按路面功率谱密度把路面不平度分为8级,给出了各级路面不平度系数Gq(n0)的范围及其几何平均值,而且规定分级路面谱的频率指数W=2。2.2时滞关系分析由式(2),可以构造出与路面激励q(t)对应的虚拟路面激励˜q(t)q˜(t)˜q(t)=√Gq(f)ej2πft(9)q˜(t)=Gq(f)−−−−−√ej2πft(9)在假设汽车结构左右对称和左右路面轮廓相同的前提下,可以将路面激励简化为只作用在汽车的前轮和后轮。进一步假设前轮与后轮路面激励的统计特性相同,且前轮与后轮轮迹完全重合,则前轮与后轮的路面激励q1(t)和q2(t)存在一定的时滞关系,即q2(t)=q1(t-τ),τ=l/u(10)q2(t)=q1(t−τ),τ=l/u(10)式中:u为车速,m/s;l为前轮与后轮之间的距离,m。由式(9)可知,前轮路面激励q1(t)对应的虚拟路面激励˜q1(t)q˜1(t)可以表示为˜q1(t)=√Gq(f)ej2πft=˜q(t)(11)q˜1(t)=Gq(f)−−−−−√ej2πft=q˜(t)(11)由式(10)可知,后轮路面激励q2(t)对应的虚拟路面激励˜q2(t)q˜2(t)可以表示为˜q2(t)=˜q1(t-τ)=√Gq(f)ej2πf(t-τ)=e-j2πfτ˜q(t)(12)q˜2(t)=q˜1(t−τ)=Gq(f)−−−−−√ej2πf(t−τ)=e−j2πfτq˜(t)(12)式(11)和式(12)可以表示成矩阵形式,即{˜q(t)}={˜q1(t)˜q2(t)}={1e-j2πfτ}˜q(t)={Ηq(f)}˜q(t)(13){q˜(t)}={q˜1(t)q˜2(t)}={1e−j2πfτ}q˜(t)={Hq(f)}q˜(t)(13)因此,当路面通过前轮和后轮对汽车产生激励时,可以简化为输入为˜q(t)q˜(t),输出为{˜q(t)}{q˜(t)}的线性系统,其频率响应特性为{Hq(f)},这样,就将两个激励作用问题转化为广义单点激励问题,使问题的处理得到简化。3虚拟激励法适用于1.2车辆四交叉系统的振动分析3.1求解参数2.[c],求解z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,kf,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,z3-t,k1/kf1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c1c11/2汽车四自由度系统,考虑了车身的俯仰和垂向运动及前后轴的垂向跳动,反映了汽车的基本行驶特性。因此,本文选取其作为研究对象,介绍虚拟激励法在汽车振动分析中的应用。1/2汽车四自由度系统力学模型如图1所示,图中各符号的意义见表1。对图1所示的力学模型,应用拉格朗日方程,可以得到系统的数学模型,即[m]{⋅⋅z(t)}+[c]{˙z(t)}+[k]{z(t)}={f(t)}(14){f(t)}={kf}{q(t)}(15)[m]{z⋅⋅(t)}+[c]{z˙(t)}+[k]{z(t)}={f(t)}(14){f(t)}={kf}{q(t)}(15)式中:{z(t)}={z1(t),z2(t),z3(t),z4(t)}Τ{q(t)}={q1(t),q2(t)}Τ[m]=[m1m200m3m4][c]=[c1+c2-ac1+bc2-c1-c2-ac1+bc2a2c1+b2c2ac1-bc2-c1ac1c10-c2-bc20c2]{z(t)}={z1(t),z2(t),z3(t),z4(t)}T{q(t)}={q1(t),q2(t)}T[m]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢m1m200m3m4⎤⎦⎥⎥⎥⎥[c]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢c1+c2−ac1+bc2−c1−c2−ac1+bc2a2c1+b2c2ac1−bc2−c1ac1c10−c2−bc20c2⎤⎦⎥⎥⎥⎥[k]=[k1+k2-ak1+bk2-k1-k2-ak1+bk2a2k1+b2k2ak1-bk2-k1ak1k1+ktf0-k2-bk20k2+ktr][k]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢k1+k2−ak1+bk2−k1−k2−ak1+bk2a2k1+b2k2ak1−bk2−k1ak1k1+ktf0−k2−bk20k2+ktr⎤⎦⎥⎥⎥⎥[kf]=[00ktf0000ktr]Τ[kf]=[0000ktf00ktr]T3.2单次运行状态对于多自由度系统,其频率响应特性是响应向量和激励向量的复数之比。对于1/2汽车四自由度系统,设其频率响应特性为[H(f)],则虚拟响应与虚拟激励的关系可以表示为{˜z(t)}=[Η(f)]{˜q(t)}(16){z˜(t)}=[H(f)]{q˜(t)}(16)将式(13)代入式(16)得{˜z(t)}=[Η(f)]{Ηq(f)}˜q(t)={hq(f)}˜q(t)(17){hq(f)}=[Η(f)]{Ηq(f)}(18){z˜(t)}=[H(f)]{Hq(f)}q˜(t)={hq(f)}q˜(t)(17){hq(f)}=[H(f)]{Hq(f)}(18)式(16)和式(17)分别说明,1/2汽车四自由度系统,属于两点激励与四点响应的振动问题,但最终可以转化为单点激励与四点响应振动问题,转化后的系统频率响应特性为{hq(f)}。对式(17)求导两次得{˙˜z(t)}={hq(f)}˙˜q(t)=(j2πf){hq(f)}˜q(t)(19){⋅⋅˜z(t)}={hq(f)}⋅⋅˜q(t)=-(2πf)2{hq(f)}˜q(t)(20){z˜˙(t)}={hq(f)}q˜˙(t)=(j2πf){hq(f)}q˜(t)(19){z˜⋅⋅(t)}={hq(f)}q˜⋅⋅(t)=−(2πf)2{hq(f)}q˜(t)(20)将上述两式代入式(14)和式(15)并采用虚拟形式,整理得[Η(f)]=([k]-4π2f2[m]+j2πf[c])-1{kf}(21)[H(f)]=([k]−4π2f2[m]+j2πf[c])−1{kf}(21)上式与应用傅里叶分析方法推导出的[H(f)]完全相同,但这里是完全独立于傅里叶分析方法,应用虚拟激励法进行推导的,只要掌握虚拟激励法的基本理论就可以进行推导,不必了解傅里叶分析方法。3.3两组相关系数,车轮相对动载聚乙二醇ffd,增加车轮相对动载,提高车轮相对动载,既移动悬架动挠度,既移动悬架动挠度,既移动悬架动挠度,既移动悬架动挠度,既移动悬架动挠度,既移动车轮相对动载,既移动悬架动挠度,既移动悬架动挠度,既移动悬架动挠度,既移动悬架动挠度,既移动悬架动载,既移动悬架动挠度,既移动悬架动载提高了发展空间在对汽车行驶平顺性进行分析时,一般将车身垂直加速度、悬架动挠度、车轮相对动载作为汽车行驶平顺性分析的系统振动响应量。对于1/2汽车四自由度系统,车身垂直加速度为⋅⋅z1(t)z⋅⋅1(t),前后悬架动挠度分别为ffd(t)和frd(t),而前后车轮相对动载分别为Ffd(t)/Gf和Frd(t)/Gr。ffd(t)=z1(t)-az2(t)-z3(t)(22)frd(t)=z1(t)+bz2(t)-z4(t)(23)Ffd(t)Gf=ktf[z3(t)-q1(t)]Gf(24)Ffd(t)Gf=ktf[z3(t)−q1(t)]Gf(24)Frd(t)Gr=ktr[z4(t)-q2(t)]Gr(25)Gf=(m3+m1ba+b)g(26)Gr=(m4+m1aa+b)g(27)式中:g为重力加速度。3.4求解系统振动响应量的虚拟量的确定汽车行驶在路面上,由于路面激励是具有统计特性的随机过程,因此,需要确定系统振动响应量的功率谱密度,以分析汽车受路面激励产生的随机振动。在汽车参数与路面激励参数已知的情况下,根据式(17)和式(20)可以分别求得虚拟响应{˜z(t)}和{⋅⋅˜z(t)}。由{˜z(t)}根据式(22)~式(27)可以分别求得虚拟的前后悬架动挠度˜ffd(t)和˜frd(t),以及虚拟的前后车轮相对动载˜Ffd(t)/Gf和˜Frd(t)/Gr,而由{⋅⋅˜z(t)}可以提取出虚拟车身垂直加速度为⋅⋅˜z1(t)。于是,描述汽车振动的系统振动响应量的虚拟量就可以全部确定。根据虚拟激励法的基本理论,由式(4)可得求取系统振动响应量的实际功率谱密度的公式Gp(f)=˜p(t)*˜p(t)(28)式中:˜p(t)为系统振动响应量p(t)对应的虚拟振