普朗克辐射公式的推导方法

普朗克辐射公式的推导方法

119能量子假定的配容和传递普朗克是第一个完成黑波辐射理论的人。他的工作通常可以假设三个步骤。第一步是基于经典电磁学理论获得空腔辐射的辐射能力和振动器的平均能量的关系。第二步是使用统计方法确定熵和概率之间的关系，第二步是引入能量子假设。1.11899年普朗克用经典电磁理论研究了理想空腔辐射体,采用赫兹((Hertz)振子模型,由运动方程m¨x+f.x-2e23c3x=eFcos2πωt(1)mx¨+fx.−2e23c3x=eFcos2πωt(1)出发,解出了单位体积和单位频率间隔的电磁辐射能与振子平均能的关系式ρ=8πv2c3U(2)ρ=8πv2c3U(2)1.2普朗克在1900年10月19日曾经用内插法得到经验辐射公式,这个经验辐射公式满足如下熵函数方程d2SdU2=αU(β+U)(3)d2SdU2=αU(β+U)(3)积分后得S0=-α{(1+Uβ′v)ln(1+Uβ′v)-Uβ′vlnUβ′v}(4)S0=−α{(1+Uβ′v)ln(1+Uβ′v)−Uβ′vlnUβ′v}(4)普朗克的目标就是寻找(4)式的理论依据.他曾经试图只利用热力学的和电动力学的论证,但是没有成功.逼得他无路可走,只好转向了玻尔兹曼的统计方法.去研究熵与几率的关系.S=klnW(5)式中的k就是玻兹曼常数.普朗克接着考虑一个给定的能量E在频率为v的N个空腔共振子中间的分配问题.假设这一系统具有总能量E,每一个振子的能量的情况交替变换决定了不同的配容.但是配容是分立,有限的.这样,就要求把总能量分配在这N个振子中的方式是有限的,便不得不要求能量E只能作有限的划分,譬如只能划分为至多是p个相等的小部分ε,也即E=pε,(6)然后把这些小部分依照不同的比例nε(n=0,1,2,……p)分配于单个振子.于是配容的组成就如同在N个容器(振子)中放置p个全同的物件(ε),配容数等于多少呢?普朗克从玻尔兹曼的伟大论著中找到了他所要的配容数表达式J=(p+Ν-1)!(Ν-1)!Ρ!(7)J=(p+N−1)!(N−1)!P!(7)此处J就是总的配容数.由于N和p都是很大的数目,因此普朗克借助于史特灵公式limn→∞n!nn+1/2e-n=(2π)1/2(8)limn→∞n!nn+1/2e−n=(2π)1/2(8)把(7)式改写成了J=1(2π)1/2(p+n-1)p+n-1/2(n-1)n-1/2pp+1/2(9)J=1(2π)1/2(p+n−1)p+n−1/2(n−1)n−1/2pp+1/2(9)于是在和N及p相比略去了-1和正负1/2以后,J的对数将采取下列形式:lnJ=n[(pn+1)ln(pn+1)-pnlnpn](10)lnJ=n[(pn+1)ln(pn+1)−pnlnpn](10)把(1)式代入(5)式,N个共振子的熵则有SN=k[(N+P)ln(N+P)-NlnN-PlnP](11)由UN=N·U=Pε故(11)式可转化SN=kN{(1+U/ε)ln(1+U/ε)-U/εlnU/ε}(12)再考虑到SN=NS即得到单个谐振子熵的表达式为:S=Sn/N=k({1+U/ε)ln(1+U/ε)-U/εlnU/ε}(13)再利用热力学关系式ΙΤ=dSdU=kε{ln(1+Uε)-lnUε(14)IT=dSdU=kε{ln(1+Uε)−lnUε(14)则有ΙΤ=kεlnε+UU(15)或U=εeε/kΤ-1(16)由于维恩定理正确,所以函数U的形式必须是维恩定理的形式:U=v·《v(vΤ)(17)1.3要满足(17)式kS的条件,更由于符合实验结果的普朗克经验辐射公式的启发,便要求能量子ε非满足条件ε=hv(18)不可,式中h是一个与频率无关的恒量.将式(18)代入式(16),即得U=hvehv/kΤ-1(19)把上面所得的U值再代回能量密度式(2),就获得了在能量子假定下的黑体辐射公式——普朗克辐射公式F(v,Τ)dv=8πhv3c3dvehv/kΤ-1(20)或F(λ,Τ)dλ=8πchλ-5dλech/kλΤ-1(21)普朗克的理论推导有三个关键环节,一是考虑了熵与几率的关系,当他导出了与实验事实相符的经验辐射公式后,普朗克决定再从理论上导出上述辐射公式.在完成这个任务的过程中,他面临严峻的考验:是坚持自己认为统计方法是不可靠的偏见?还是采取统计方法去探求辐射公式的理论基础?在这个问题上,他采取了严肃的态度:除了维护热力学的两条定律(它们已有充分的实验依据)外,准备牺牲自己以前对物理定律所抱的任何一个信念.由此采取了玻尔兹曼的统计方法,从而最终导致作用量子的发现.二是引入能量子假说.发现了h,h是一个与频率无关的恒量,它源于普朗克公式中的积分常数,但它意义却很重大.式(18)式说明,不同频率的振子具有不同的能量子,但是任何振子的能量子与其频率之比却总是要等于恒量h,h的普适性在此已可见一斑.为了纪念普朗克,人们把h称为普朗克常数,显然它并不是纯数而是有量纲的,它的量纲是[能量×时间],也就是作用的量纲,实际它是作用的最小单元.只须记得作用的定义就是相积分∫pdq(p,q)分别是振子的广义动量和相应的广义坐标),根据能量子假定,很容易看出,一个谐振子在一个周期内的作用只能是能量h的整数倍,也就是说作用也是量子化的,所以h又被称为作用量子.也正是如此,才建立了玻尔的量子条件,从而第一次树立起“量子化了的力学”,为研究微观世界打开门户.虽然作用量子最初在式(18)中,是以比例恒量的姿态出现的,它的意义却不能看成仅止于此,它是从宏观世界过渡到微观世界的关键,在现代物理学中占有极其重要的地位.三是在经验公式的建立中他天才地用内插法得到了熵函数的公式(2).这对他发现普朗克经验公式起了关键作用.十九世纪后期,在研究黑体辐射的这个问题上,大家都是企图直接找到辐射能量与温度的关系,但一直未得到满意的结果.普朗克坚持自己独创的科学研究思路,通过熵与能量、温度之间的双重关系,求得了辐射能量与温度的关系.后来又通过熵这个概念,把宏观状态和微观状态联系了起来,为普朗克发现作用量子找到了道路.根据气体分子运动论,玻尔兹曼已经发现,除了一个常数因子之外,熵等于我们所考察的状态的几率的对数,通过这种见解,他认识到在热力学意义上的“不可逆”过程的本质.然而从分子力学的观点来看,一切过程都是可逆的.如果人们把分子论定义的状态称为微观状态,那么,属于一个宏观状态就有很多个微观状态.于是微观状态就是一个所考察的宏观状态的几率的一种量度.这种观念,还由于它的适用范围并不局限于以力学为基础的微观描述,而显得格外重要.普朗克看到了这一点,并且把玻尔兹曼原理应用于一种由很多个具有同样频率v的振子所组成的体系.宏观状态是由所有这些振子振动的总量来决定的,而微观状态则由每一个振子的(瞬时)能量来决定的.因此,为了能用一个有限的数来表示属于一个宏观状态的微观状态的数目,他把总能量分为数目很大但还是有限个数的相同的能量元ε,并问:在振子之间分配这些能量元的方式能有多少.于是,这个数目的对数就提供这体系的熵,并因此(通过热力学的方法)提供这体系的温度.当普朗克为他的能量元ε选取ε=hv的值时,他就得到了他的辐射分式.在这样做时,决定的因素在于只有为ε选取一个确定的有限值,也就是不使它趋于极限ε=θ,才有这一结果.这种思考方式不是一下了就能看出它同推导过程的其它方面所依据的力学和电动力学的基础是相矛盾的.可是,实际上,这种推导暗中假定了单个振子只能以大小为hv的“量子”吸收和发射能量,也就是说,不论是可振动的力学结构的能量,还是辐射的能量,都只能以这种量子方式进行转换,这是同力学定律和电动力学定律相违背的.在这里同力学的矛盾是基本的;而同电动力学的矛盾可能没有那么根本.因为辐射能量密度的表示式虽然同麦克斯韦方程是相容的,但它并不是这些方程的必然结果.以这个表示式为基础的斯忒藩—波尔兹曼定律和维恩定律是同经验相符合的这一事实,就显示了这个表示式提供着重要的平均值.普朗克有一个严重的缺陷,幸而当初他没有注意到.由于同样的考虑应当要求E=kT这一关系对于低的温度也必须同样有效.然而,在这种情况下,普朗克公式和普朗克常数也就不存在了.因此,从现有的理论所得出的正确结论应当是:要么由气体理论给出的振子的平均动能是错误的,那就意味着驳斥了(统计)力学;要么,由麦克斯韦理论求得的振子的平均动能是错误的,那就意味着驳斥了麦克斯韦理论.在这样的处境下,最可能的是,这两种理论都只有在极限情况下是正确的,而在其它情况下不是不正确的;我们往后会看到,情况确实是如此.如果普朗克得出了这样的结论,那么,他也许就不会作出他的伟大发现了.219德拜推导的能量函数c这是早期最简洁、最清晰的推导.德拜仿效瑞利—金斯用经典统计和热力学方法简洁作出推导:在边长l的立方辐射体中,振动频率在v→v+dv间的状态数为:Νdv=8πl3v2C3dv(1)分配每一状态以基本量子hv,并假定存在一个分布函数f(v),以使单位体积中频率间隔为v→v+dv间的能量为uvdv=8πhv3C3f(v)dv(2)为求出f(v),效仿普朗克的处理方法,写出状态几率W=(Νdv+Νfdv)!(Νdv)!(Νfdv)!(3)从而得熵S=klgW=k∑lg(Νdv+Νfdv)!(Νdv)!(Νfdv)!(4)利用渐近关系lgP!=PlgP-P,并将求和化为积分,得到单位体积的熵S=∫∞08πk/C3{(1+f)lg(1+f)-flgf}v2dv(5)平衡时,熵S在给定能量u=∫∞0uvdv=8πh/C3∫∞0v3fvv(6)情况下达到极大.利用求条件极值的方法,对S/k和u两式变分得:lg(1+f)-lgf=ahv(7)由此得到f=1eahv-1(8)再利用热力学可证明,于是得到结果uvdv=8πv2/C3hvehv/kΤ-1(9)这就是普朗克辐射公式.德拜推导方法的核心,也是比普朗克方法进步的地方,是避免动用辐射强度和振子平均能量的联系.他所要作的只是求出分配给每个自由度的平均能量,由此直接获得普朗克公式.1910年3月2日德拜在致索末菲的信中,对自己的思想、方法作了如下说明和评论:“每个自由度分配到的不再是等量的能量;而是如果每个自由度给定的振动频