广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量，则（）A.9 B.3 C.6 D.2.直线的倾斜角是（）A.135° B.120° C.60° D.45°3.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，若，则（）A.1 B.0 C. D.24.已知圆关于直线m对称，且直线m与直线平行，则直线m的方程为（）A. B. C. D.5.已知点，，若，则点C的坐标为（）A. B. C. D.6.已知点，，，且点C在线段AB的垂直平分线上，则（）A. B.2 C.8 D.7.已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（）更多优质支援请嘉威鑫MXSJ663A. B. C. D.8.17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局而，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面.那么，过点且为法向量的平面的方程为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知直线l：，其中，则（）A.当时，直线l与直线垂直 B.若直线l与直线平行，则C.直线l过定点 D.当时，直线l在两坐标轴上的截距相等10.已知，，，则（）A.直线与线段AB有公共点B.直线AB的倾斜角大于135°C.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为D.△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为11.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则12.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190年）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆。后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，平面内的动点P满足：，则下列关于动点P的结论正确的是（）A.点P的轨迹方程为B.当P、A、B三点不共线时，△PAB面积的最大值是12C.当A、B、P三点不共线时，若点P的轨迹与线段AB交于M，则D.若点，则的最小值为7三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知点，，若直线AB的斜率为2，则.14.已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为.15.已知点，直线l：（），则点P到直线l的距离的最大值为.16．如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是.（把所有正确结论的序号填写在横线上）①存在点Q，使得；②存在点Q，使得；③对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为④对于任意点Q，都是钝角三角形四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知直线：，：，在上任取点A，在上任取点B，过线段AB的中点作的平行线。（1）求直线与之间的距离；（2）求直线的方程。18.（12分）已知平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？请说明理由。19.（12分）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于1，E，F，G分别是棱AB，AD，BC的中点。（1）求；（2）求直线GE，GF夹角的余弦值。20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E、F分别为CD、PB的中点，，。（1）证明：平面ADP；（2）求点P到平面AEF的距离。21.（12分）已知△ABC的顶点，边AB上的中线CM所在直线的方程为，边BC上的高AH所在直线的方程为。（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积。22.（12分）如图1，四边形ABCD是梯形，，，M是AB的中点，将△ADM沿DM折起至△A＇DM，如图2，点N在线段A＇C上。 图1 图2（1）若点N是线段A＇C的中点，求证：平面平面DMN；（2）若，且平面DNM与平面CDM夹角的余弦值为，求直线DN与平面A＇BC所成角的余弦值。2023—2024学年度第一学期期中考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CABBDCCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACBCADABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.0；14.；15.；16.②③3.解：∴，，∴7.分析：设平面ABE的法向量为，然后由，可求出其法向量，【解答】由题意可得，，，所以，设平面ABE的法向量为，所以，令，则，所以平面ABE的一个法向量为，所以是平面ABE的法向量.8.【答案】【分析】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为，且平面过点，那么平面方程为计算可得；【详解】解：设是该平面内的任意一点，则过点且法向量为的平面的方程为，整理得9.【答案】AC【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1，不相等，所以D错误，故选：AC．10【答案】BC【解析】如图所示：所以直线与线段无公共点，A错误；因为，所以直线的倾斜角大于135°，B正确．因为，且边上的高所在直线过点A，所以的边上的高所在直线的方程为，即，C正确，因为线段的中点为，且直线的斜率为，所以上的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误，故选BC.11.【答案】AD【解析】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；若，则，即有，可得，，，解得，，，则，故B错误，D正确．故选AD12．答案：ABC【分析】应用两点距离公式求P的轨迹方程为，即可判断A，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B，根据，结合角平分线的性质判断C，由已知有，利用三点共线求最小值判断D.【详解】设，因为，整理得点P的轨迹方程为．A：点P的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，正确；B：圆的半径为4且，当△PAB的底边AB上的高最大时，面积最大，所以△PAB面积的最大值是12，正确；C：点M的坐标为，当A，B，P不共线时，由，由角平分线定理的逆定理知：射线PM是∠APB的平分线，正确；D：因为，即，则，又P在圆上，如图所示，所以当P，Q，A三点共线时，取最小值，此时，错误.故选：ABC．【点睛】关键点点睛：利用两点距离公式及比例关系求动点轨迹，再利用圆的性质求面积，应用等比转化求线段和最值.15.【答案】【分析】根据直线过定点的求法可求得直线所过定点，当直线与PQ垂直时，点P到直线的距离最大.【详解】直线方程可化为：，由得：，∴直线恒过定点，所以点P到直线l的距离的最大值为.故答案为：.16.【答案】②③【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．所以，，，设，其中，所以，，当，即，所以，显然方程组无解，所以不存在使得，即不存在点，使得，故①错误；当时，解得，故②正确；因为，其中，所以点到的距离为，故③正确；因为，，其中，所以，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故④错误．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】解：（1）两平行直线与间的距离为（2）设的方程为.由题意知与之间的距离为，所以有，解得或（舍去）所以的方程为解法2：在取一点，在上取一点，AB的中点为，则与平行且过点，设的方程为，则，所以.所以的方程为18.【答案】四点在同一个圆上.【分析】根据不共线的三点确定一个圆，求出圆的方程，再把第四个点的坐标代入，如果满足方程，则四点在同一个圆上，否则，不在同一个圆上。【详解】设经过，，三点的圆的方程为，则，即，解得所以过A、B、C三点的圆的方程为，把点的坐标代入圆的方程，得即点的坐标满足圆的方程，所以点在该圆上，所以这四点在同一个圆上。解法二：AB的垂直平分线为，AC的中点为，直线AC的斜率为2，所以线段AC的垂直平分线为，即解方程组得三角形ABC的外接圆圆心为，半径为，所以三角形ABC的外接圆为，把点D的坐标代入方程的左边得所以点D也在圆上.所以A，B，C，D四点在同一个圆上。19.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据空间向量基本定理，以三个不共面的向量为基底，表示出向量，利用即可得；（2）利用向量的数量积求直线的方向向量的夹角即可.【详解】（1）.因为四面体的所有棱长都等于1，所以，所以.所以.∴（2），所以，GE，GF夹角的余弦值为。20．【答案】（1）略；（2）【分析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明平面ADP.（2）利用空间向量法可求得点P到平面AEF的距离．【解答】（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，所以以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系：则、，所以因为DC⊥平面ADP，所以是平面ADP的法向量.因为，所以，又因为平面PAD，所以平面PAD（2）由题意知，，得，设是平面AEF的法向量，则即得，取.所以点P到平面AEF的距离为答案：（1） （2）5【分析】根据BC过点且与AH垂直，可求BC的方程，求BC与CM的交点得点C的坐标；利用AB的中点M在直线CM上可求点A的坐标，再求点A到BC的距离求得三角形ABC的高，即可求面积。【详解】（1）因为，，所以，BC的方程为，即，解方程组得，所以点C的坐标为.（2）设，因为AB的中点M在直线CM上，所以，得，所以点A的坐标为，点A到BC的距离为，.所以的面积是22.【分析】（1）利用等腰三角形的性质找DM、DN的垂线，证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）利用空间向量法可求得直线DN与平面所成角的正弦值，再求余弦值.【详解】（1）证明：因为，，点是线段的中点，所以.取中点，连接，CO，四边形是梯形，，是的中点，且，可得，所以，又由，且是的中点，可得，所