2023-2024学年山东省济宁市任城区运河实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省济宁市任城区运河实验学校九年级第一学期第一次月考数学试卷（五四学制）一、选择题（每小题3分，共36分）1．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（）A．1：2 B．：2 C．1： D．：12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（）A．3 B． C． D．4．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．100m B．50m C．50m D．m5．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）A． B． C． D．6．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里7．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，sinA＝，则AC的长为（）A．6 B．2 C．3 D．28．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为（）A． B．12 C． D．9．如图，函数y＝﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．810．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点（﹣1，﹣3） B．图象在第一、三象限 C．当x＞1时，0＜y＜3 D．当x＜0时，y随着x的增大而增大11．如图，直线y＝x+2与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．函数y1＝x和y2＝的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1二、填空题（每小题3分，共18分）13．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3m，cos∠BAC＝，则墙高BC＝m．14．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为．15．如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，图中斜坡CD的坡度i＝1：，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，拦水坝的横断面ABCD的面积．16．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为A．17．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为6，则这个反比例函数的表达式为．18．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函数上的三点且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（按由小到大排列）．​三、解答题（共46分）19．求值：sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°．20．已知：如图，△ABC中，AC＝10，，求AB．21．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？22．如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）23．如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．24．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．（1）求m的值；（2）若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y＝kx+b的表达式．

参考答案一、选择题（每小题3分，共36分）1．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（）A．1：2 B．：2 C．1： D．：1【分析】坡度是坡角的正切值．解：因为tan30°＝，即坡度为1：．故选：C．【点评】此题主要考查学生对坡度的掌握情况．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，则sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝，故选：C．【点评】此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（）A．3 B． C． D．【分析】由已知条件可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，由此可以求出CE．然后根据勾股定理求出DE，最后在Rt△AED中利用余弦函数的定义即可求出AD．解：由已知可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，即，∴CE＝．根据勾股定理得DE＝＝．在Rt△AED中，cosα＝，即，∴AD＝．故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形、直角三角形性质和逻辑推理能力、运算能力．4．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．100m B．50m C．50m D．m【分析】首先根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，然后利用正切函数的定义求解即可求得答案．解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，在Rt△ABC中，BC＝＝＝100（m）．故选：A．【点评】本题考查了俯角的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想应用．5．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】先根据k的符号，得到反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣1都经过第一、三象限或第二、四象限，再根据一次函数y＝kx﹣1与y轴交于负半轴，即可得出结果．解：当k＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A、C选项错误；∵一次函数y＝kx﹣1与y轴交于负半轴，∴D选项错误，B选项正确，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．6．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．解：如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，∴∠DAB＝15°，∴∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝90°．又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA+∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，∴BC＝20海里．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．7．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，sinA＝，则AC的长为（）A．6 B．2 C．3 D．2【分析】先根据sinA＝和BC的长求出AB，然后根据勾股定理求出AC的长即可．解：∵∠C＝90°，∴，即，∴AB＝6，由勾股定理得，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．8．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为（）A． B．12 C． D．【分析】作三角形的高AD，在直角△ABD中，利用三角函数即可求得AD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．解：作AD⊥BC于点D，如图，∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝180°﹣120°＝60°，在直角△ABD中，AD＝AB•sin60°＝6×＝3，在△ABC的面积是：BC•AD＝×8×3＝12．故选：A．【点评】本题考查了三角形的面积公式以及三角函数，正确求得三角形的高是关键．9．如图，函数y＝﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|，得出S△AOC＝S△ODB＝2，再根据反比例函数的对称性可知：OC＝OD，AC＝BD，即可求出四边形ACBD的面积．解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC＝S△ODB＝|k|＝2，又∵OC＝OD，AC＝BD，∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2，∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×2＝8．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|；同时考查了反比例函数图象的对称性．10．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点（﹣1，﹣3） B．图象在第一、三象限 C．当x＞1时，0＜y＜3 D．当x＜0时，y随着x的增大而增大【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．解：∵反比例函数y＝，∴图象必经过点（﹣1，﹣3），故选项A不符合题意；k＝3＞0，图象位于第一、三象限，故选项B不符合题意；当x＞1时，0＜y＜3，故选项C不符合题意；当x＜0时，y随着x的增大而减小，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．如图，直线y＝x+2与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把A点的纵坐标代入直线解析式，即可求得A的坐标．再根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式．解：在y＝x+2中令y＝3，得到：3＝x+2，解得：x＝1，则A的坐标是（1，3）．设反比例函数的解析式y＝，把（1，3）代入得到：k＝3．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，同学们要重点掌握．12．函数y1＝x和y2＝的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1【分析】由两函数的交点横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．解：由图象得：y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．故选：C．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3m，cos∠BAC＝，则墙高BC＝m．【分析】在直角三角形ACB中利用锐角三角函数定义和勾股定理求解即可．解：由题意可知三角形ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∵cos∠BAC＝＝，AC＝3，∴AB＝4，∴BC＝＝＝（m），故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦函数和勾股定理的应用，题目比较简单．14．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为．【分析】cos∠B的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点A作AD垂直于BC的延长线于点D．在Rt△ABD中根据三角函数的定义求解．解：作AD⊥BC的延长线于点D．在Rt△ABD中，BD＝AD，则AB＝BD．故cos∠B＝．故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．15．如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，图中斜坡CD的坡度i＝1：，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，拦水坝的横断面ABCD的面积30．【分析】作AF⊥BC，垂足为F．求出AF的长、BF的长、FE的长、EC的长，根据梯形的面积公式解答即可．解：作AF⊥BC，垂足为F．∵AB＝6，∠B＝60°，∴DE＝AF＝AB•sin60°＝6×＝3，BF＝AB•cos60°＝6×＝3，∵AD＝4，∴FE＝AD＝4，∵tan∠C＝，∴＝，∴EC＝3×3＝9，∴BC＝BF+FE+EC＝3+4+9＝16，∴S梯形ABCD＝（4+16）×3×＝30．故答案为30．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，熟悉三角函数和梯形面积公式是解题的关键．16．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为1A．【分析】可设I＝，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入R＝6求得I的值即可．解：设I＝，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k＝3×2＝6，∴I＝．令R＝6，解得：I＝＝1．故答案为1．【点评】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．17．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为6，则这个反比例函数的表达式为y＝．【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积＝△ABP的面积＝6，然后根据反比例函数y＝中k的几何意义，知△AOB的面积＝|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式解：设反比例函数的解析式为y＝．∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝6，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝6，∴k＝±12；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝12．∴这个反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．18．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函数上的三点且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y3＜y1（按由小到大排列）．【分析】运用反比例函数的增减性，结合对应x的值，结合象限可以解决．解：∵的图象在二•四象限，每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵x1＜0＜x2＜x3，∵0＜x2＜x3，对应点在第四象限，∴y2＜y3＜0，∵x2＜0，∴y2＞0，∴y2＜y3＜y1．故答案为：y2＜y3＜y1．【点评】此题主要考查了反比例函数的增减性，有一定综合性，题目比较典型，应引起同学们的注意．​三、解答题（共46分）19．求值：sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．解：sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°＝×+2×﹣﹣1＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．已知：如图，△ABC中，AC＝10，，求AB．【分析】过A作AD垂直于BC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，由AC与sinC的值，利用正弦函数定义求出AD的长，在直角三角形ABD中，由AD与sinB的值，利用正弦函数定义即可求出AB的长．解：作AD⊥BC于D点，如图所示，在Rt△ADC中，AC＝10，sinC＝，∴AD＝ACsinC＝10×＝8，在Rt△ABD中，sinB＝，AD＝8，则AB＝＝24．【点评】此题考查了解直角三角形，以及锐角三角函数定义，作出辅助线AD是解本题的关键．21．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？【分析】（1）设p与V的函数的解析式为p＝利用待定系数法求函数解析式即可；（2）把v＝0.8代入p＝可得p＝120；（3）把p＝144代入p＝得，V＝．所以可知当气球内的气压＞144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于立方米．解：（1）设p与V的函数的解析式为p＝，把点A（1.5，64）代入，解得k＝96．∴这个函数的解析式为p＝；（2）把v＝0.8代入p＝得：p＝120，当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕；（3）把p＝144代入p＝得，V＝，故p≤144时，v≥，答：气球的体积应不小于立方米．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．22．如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．解：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．由题意可知：∠EAP＝60°，∠FBP＝30°，∴∠PAB＝30°，∠PBH＝60°，∵∠PBH＝∠PAB+∠APB，∴∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝120，在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，∴PH＝PB•sin60°＝120×≈103.80，∵103.80＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学