2023-2024学年江西省南昌市十校联考八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省南昌市十校联考八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列各组线段中，能构成三角形的是（）A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，103．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形4．到三角形各顶点距离相等的点是（）A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点5．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为．8．若点M（m﹣1，1）与点N（3，n﹣1）关于y轴成轴对称，则m+n＝．9．如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，若按图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于．10．如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件：，使得△ABD≌△ACD．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有个．12．如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为cm．三、解答题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝DF，BF＝EC，且AB∥DE．求证：AB＝DE．14．已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．15．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，∠C＝∠ABC＝2∠A．求∠DBC的度数．16．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．（1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝；（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，求线段AF的长度．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，说明你的理由．19．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？22．阅读并填空．将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）类比探索：求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由；（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由．六、解答题（本大题共1小题，共12分）23．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为．A.50B.62C.65D.68[深入探究]如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；

参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．2．下列各组线段中，能构成三角形的是（）A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10【分析】根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断．解：A、2+5＝7，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；C、4+5＞6，能组成三角形，符合题意；D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．3．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，2k°，3k°．则k°+2k°+3k°＝180°，解得k°＝30°，∴k°＝30°，2k°＝60°，3k°＝90°，所以这个三角形是直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了内角和定理．解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．4．到三角形各顶点距离相等的点是（）A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点【分析】根据线段垂直平分线的判定定理判断即可．解：∵到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，∴到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，故选：A．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．5．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据全等三角形性质求出EF＝BC＝5cm，求出CF，代入EF﹣CF即可求出答案．解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝5cm，∵BF＝7cm，BC＝5cm，∴CF＝7﹣5＝2（cm），∴EC＝EF﹣CF＝3cm，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，关键是求出BC和CF的长，注意：全等三角形的对应边相等．6．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为8．【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．8．若点M（m﹣1，1）与点N（3，n﹣1）关于y轴成轴对称，则m+n＝0．【分析】先根据点M（m﹣1，1）与点N（3，n﹣1）关于y轴成轴对称求出m、n的值，再计算m+n即可．解：∵点M（m﹣1，1）与点N（3，n﹣1）关于y轴成轴对称，∴m﹣1＝﹣3，n﹣1＝1，∴m＝﹣2，n＝2，∴m+n＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．9．如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，若按图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于270°．【分析】根据直角三角形性质求得∠A+∠C的度数，然后利用四边形的内角和即可求得答案．解：在三角形ABC中，∵∠B＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵四边形内角和为（4﹣2）×180°＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案为：270°．【点评】本题考查直角三角形的性质及四边形内角和，结合已知条件求得∠A+∠C的度数是解题的关键．10．如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件：AB＝AC（答案不唯一），使得△ABD≌△ACD．【分析】要判定△ABD≌△ACD，已知AD＝AD，∠1＝∠2，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加AB＝AC后可根据SAS判定△ABD≌△ACD．解：添加AB＝AC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有6个．【分析】分两种种情况，CA＝CB，BA＝BC．解：如图所示：分两种种情况：当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；当C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6，故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键．12．如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为1.5cm．【分析】过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，根据全等三角形的判定推出△BFC≌△DEC，根据全等三角形的性质得出BF＝DE，根据全等三角形的判定得出Rt△FAC≌Rt△EAC，根据全等三角形的性质得出AF＝AE，求出AD﹣AB＝2DE，再代入求出答案即可．解：过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，∵CF⊥AB，CE⊥AD，AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∠F＝∠CED＝90°，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠FBC＝∠D，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，在Rt△FAC和Rt△EAC中，，∴Rt△FAC≌Rt△EAC（HL），∴AF＝AE，∵AD＝10cm，AB＝7cm，∴AD﹣AB＝（AE+DE）﹣（AF﹣BF）＝AE+DE﹣AF+BF＝2DE＝10﹣7＝3（cm），解得：DE＝1.5cm，故答案为：1.5．【点评】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，能熟记角平分线的性质是解此题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝DF，BF＝EC，且AB∥DE．求证：AB＝DE．【分析】根据平行线性质可得∠E＝∠B＝90°，根据BF＝EC可得BC＝EF，结合已知易证Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），从而得到结论．【解答】证明：∵AB∥DE，∠B＝90°，∴∠E＝∠B＝90°，∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，即BC＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，．∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴AB＝DE．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键．14．已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．【分析】（1）根据非负数的性质得到a＝b＝c，得到△ABC为等边三角形；（2）根据三角形的三边关系得到a+b＞c，a+c＞b，根据绝对值的性质计算即可．解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|＝0，∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形；（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，a+c＞b，∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|＝a+b﹣c+[﹣（b﹣c﹣a）]＝a+b﹣c﹣b+c+a＝2a．【点评】本题考查的是三角形的三边关系、绝对值的性质，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．15．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，∠C＝∠ABC＝2∠A．求∠DBC的度数．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数，将其代入∠C＝2∠A中，可求出∠C的度数，由BD⊥AC，可得出∠BDC＝90°，再利用三角形内角和定理，即可求出∠DBC的度数．解：在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠A＝＝36°，∴∠C＝2∠A＝2×36°＝72°．∵BD⊥AC，垂足为点D，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠C＝180°﹣90°﹣72°＝18°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．16．如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．（1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝5；（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小．【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可．（2）取点B关于直线DE的对称点B'，连接B'C，交直线DE于点P，则点P即为所求．解：（1）△ABC的面积为＝5.故答案为：5．（2）如图，取点B关于直线DE的对称点B'，连接B'C，交直线DE于点P，连接BP，此时满足PB+PC最小．则点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，求线段AF的长度．【分析】利用AAS证明△BDF≌△ADC，得DF＝CD＝3，AD＝BD＝8，即可得出答案．解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CAD＝∠DBF，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝CD＝3，AD＝BD＝8，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣3＝5．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△BDF≌△ADC是解题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，说明你的理由．【分析】（1）根据三角形全等的判定得出答案；（2）由等腰三角形的性质，得出∠OBC＝∠OCB，又∠EBO＝∠DCO，得到∠ABC＝∠ACB，进而证出AB＝AC．解：（1）由①②或①③可以判定△ABC是等腰三角形；（2）由①②判定△ABC是等腰三角形，理由如下：在△BOE和△COD中，∵∠EBO＝∠DCO，BE＝CD，∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，即：∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．①③判定△ABC是等腰三角形，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵∠EBO＝∠DCO，∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，即：∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等等知识，利用三角形全等得出角相等，线段相等进而证出结论是常用的方法．19．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF．【分析】（1）由∠ACB＝100°，利用邻补角互补，可求出∠ACD的度数，由EH⊥BD，可得出∠CHE＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠ECH的度数，再结合∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH，即可求出∠ACE的度数；（2）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，由BE平分∠ABC，利用角平分线的性质，可得出EM＝EH，由∠ACE＝∠ECH＝40°，可得出CE平分∠ACD，，利用角平分线的性质，可得出EN＝EH，结合EM＝EH，可得出EM＝EN，进而可证出AE平分∠CAF．【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∴∠ECH＝180°﹣∠CHE﹣∠CEH＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH＝80°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、垂线以及邻补角，解题的关键是：（1）利用邻补角互补及三角形内角和定理，求出∠ACD及∠ECH的度数；（2）牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△DCE；（2）BE＝EC，BE⊥EC，证△ABE≌△DCE，推出BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，求出∠DEC+∠BED＝90°即可．【解答】（1）证明：∵∠EAD＝45°，∠BAC＝90°，∴∠BAE＝135°，∵∠EDC＝135°，∴∠BAE＝∠CDE，∵点D是AC的中点，∴AC＝2CD，又∵AC＝2AB，∴CD＝AB，在△ABE和△DCE中．∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）解：BE＝EC，BE⊥EC，理由如下：由（1）知，△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，∵∠AED＝90°，∴∠AEB+∠BED＝90°，∴∠DEC+∠BED＝90°，即：∠BEC＝90°，∴BE⊥EC．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【分析】（1）先根据等边三角形的性质得：AB＝6cm，∠B＝60°，当t＝2时，计算BP和BQ的长，根据等边三角形的判定可得结论；（2）若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根据直角三角形含30度角的性质列方程可解答．解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．22．阅读并填空．将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝90度；∠ABP+∠ACP＝40度；（2）类比探索：求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由；（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由．【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，故答案为：90，40；（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，理由是：设AB交PC于O，如图2：∵∠AOC＝∠POB，∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝