浅谈抽象代数的应

浅谈抽象代数的应用1引言代数学作为数学的一种重要分支，有着悠久的历史。早期代数学的研究对象是具体的,以方程根的计算为研究中心。那时人们已经能够用根式来求解四次下列的方程的根。此后几乎经历了三百年的时间，数学家们企图用用根式解普通的五次方程而没有成功。阿贝尔(N.H.Abel)在1824年证明了高于四次的普通方程不能用根式求解。伽罗瓦(E.Galois)在1829-1831年间完毕的论文中,基于其提出的群(置换群)的概念,建立了代数方程可用根式求解的充要条件。从而彻底解决了代数方程用根式求解这一近三百年的数学难题。伽罗瓦提出的“群”概念,造成了代数学在研究对象、研究办法上的深刻变革,一系列新的代数领域被建立起来。1930—1931年范·德·瓦尔登(B．L．vanderWaerden，1903—)的《近世代数学》一书问世，在数学界引发轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流。一种集合及其上的代数运算构成一种代数构造(代数系统),抽象代数的重要研究内容是研究多个代数构造,它是在从较高层次上,撇开形式上很不相似的代数构造的个性,抽象出其共性,用统一的办法描述、研究与推理,从而得到某些反映事物本质的结论,再把它们应用到具体的系统中去。由于代数构造中运算的个数以及对运算性质规定的不同,从而产生了多个各样的代数构造,这就形成了抽象代数的不同分支,其中最基本、最重要的分支是群、环和域。由于代数运算贯穿于任何数学理论与应用中,以及代数运算和其中元素的普通性,抽象代数的研究在数学里是基础性的,其研究办法与结论已渗入到与之相近的数学学科中去。不仅如此,抽象代数还为当代物理学、当代化学以及计算机科学、当代通信与密码学提供了语言,其研究办法与重要结论在上述领域都有重要应用。抽象代数不仅是计算机科学中广泛使用的数学工具,并且成为计算机科学的理论基础之一,如自动机理论、形式语言、数据构造、密码学以及逻辑电路设计、编码理论等。作为量子力学的奠基人之一，狄拉克曾经说过“当代物理学日益需要抽象数学及对其基础的探讨。因此，非欧几何与非交换代数曾被视为只是一种虚构的成果或只含有逻辑推理的魅力，而现在已被人们认识到，它们是描绘物理世界普通图画的不可缺少的工具。”本文首先介绍了某些抽象代数的基本概念，然后重点分析了它在数学及其它学科的应用，以掌握其核心的思维办法。2基本概念简朴来说，抽象代数涉及基本概念重要涉及代数构造、群、环、域。下面我们就从这些概念的来源、定义和实例等几个方面来逐个介绍。2.1代数构造代数构造是在一种或多个\o"运算"运算下封闭的一种或多个\o"集合"集合，它包含\o"集合"集合及符合某些\o"公理"公理的\o"运算"运算或\o"关系"关系。它重要研究集合上的抽象运算及运算的性质和构造。研究抽象代数的基本特性和基本构造，不仅能深化代数构造的理论研究，也能扩展其应用领域。定义设S是一种非空集合,f1,f2,…,fn是S上的n个代数运算,则S与n个运算所构成的构造称为代数构造(AlgebraicStructure)或代数系统(AlgebraicSystem),记为<S;f1,f2,…,fn>。根据上述定义,一种代数构造需满足以下两个条件：1)有一种非空集合S,称为载体;2)某些定义在载体S上的运算。设S为一非空集合,*为S上满足结合律、交换律的二元运算,那么<S;*>为代数构造,称为抽象代数构造,即为一类具体代数构造的抽象,例如<N;+>,<Z;*>,<P(A);∪>等都是<S;*>的具体例子。其中，N,Z分别位自然数集合、整数集合，+，*为普通加与乘运算。代数构造是多个多样的，如何识别哪些代数构造在本质上是同样的，哪些代数构造在本质上是不同的？这样，对于本质相似的一类代数构造只需要研究其中一种就能够理解其它的代数构造。这就涉及到代数构造的鉴定问题，这里就不在具体叙述。2.2群群是抽象代数中发展最早、内容最广泛、应用最充足的一部分，是建立其它代数构造的基础。群论的研究来源于对置换群的研究，随即，发现大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而应当是集合在代数运算下的性质，因而提出了普通群的概念，这扩大了群论研究的对象与应用，丰富了群论研究的办法。定义设<G；*>为代数构造，其中G是一种非空集合，*是G上的一种二元运算，若1)运算*满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)，∀a，b，c∈G，2)运算*存在单位元e∈G：e*a=a*e=a，∀a∈G，3)对任意a∈G，存在逆元a-1∈G，使得则称代数构造<G；*>是一种群(Group)。例如整数集Z有关数的加法均构成群，常称为整数加群。有理数集Q、实数集R有关数的加法也构成群。这三个群均是交换群。整数集Z对于数的乘法不构成群，尽管数的乘法是Z上的代数运算且满足结合律，也有单位元1，但除1、-1外的其它任何整数在Z中均没有逆元。实数集R对普通乘法不能构成群，但R-{0}对普通乘法构成群。2.3环环的概念的原始雏形是整数集合。这个概念重要来源于三个方面。一是数论、整数的推广；二是19世纪对数系的多个推广；三是代数数论和代数几何学及它们造成的交换环理论．定义设A是一种非空集合,在A中定义两种二元运算,一种叫加法,记作+,另一种叫乘法,记作·。且满足(1)(A,+)是一种可换群;(2)(A,·)是一种半群;(3)左、右分派律成立:对任何a,b,c∈A有a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc,则称代数系(A,+,·)是一种环(ring)。例如整数集合Z对普通加法是群且可交换,对普通乘法是半群,也可交换,并且对加法和乘法适合分派律,因此(Z,+,·)是环,且是可换环。2.3域从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法．这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分派律，并且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数)．全部有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也懂得实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是域．除了这些最熟悉的域之以，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域．简朴来说，域是含有双重群构造的代数系统，它既是一种加法群，又是一种乘法交换群（0除外），并且加法和乘法由分派率联系起来。域的几个典型例子有有理数域、实数域、复数域、代数函数域等。3抽象代数的应用前面已经提到，抽象代数在当代物理学、当代化学、通信和编码等方面有着广泛的应用。下面就具体叙述应用抽象代数解决的几个问题。开关线路的计数问题一种含有两种状态的电子元件称为一种开关。它可由普通的一种开关或联动开关构成。每一种开关的状态由一种开关变量来表达,例如用A表达一种开关变量,用0,1表达一种开关的两个状态,则开关变量A的取值是0或1。由若干个开关构成的一种线路称为开关线路,一种开关线路也有两个状态,接通用1表达,断开用0表达,它的状态由各个开关(i=1,2,⋯,k)的状态决定,因而可用一种函数f()来表达,f的取值是0或1,称f为开关函数,每一种开关线路对应一种开关函数。设S={0,1},则开关函数f()是S到S的一种映射。不难得出,k个开关变量的开关函数共有个。例如当k=2时共有16个开关函数,列于下表中:k=2的开关函数但是不同的开关函数可能对应于相似的开关线路.因此,我们的问题是由n个开关可构成多少种本质上不同的开关线路?设X={},是X上的对称群。令Ω={},m=是X上的全部开关函数的集合。定义σ∈G对f∈Ω的作用为σ(f)=,对任何∈X有σ(f)()=f(σ()),则由σ(f1)=σ(f2)可得f1=f2,故G是作用Ω上的置换群。f1和f2对应于本质上相似的开关线路的充要条件是它们在G的作用下在同一轨道上,因而有本质上不同的开关线路的数目=Ω在G作用下的轨道数。可用Burnside定理解决此问题。3.2基于换位子的密钥交换合同定义1设x,y为群G的两个元素，称元素为x,y的换位子．定义2共轭问题是指与否存在算法来判断群G中给定的任意两个元素是共轭元素，两个元素x,y，共轭是指存在G中的元素w，使得成立．基于换位子的密钥交换合同设计以下：(1)顾客A和顾客B分别公布两个系列={}和SB={}.(2)顾客A选择一种由中的元素生成的私钥X，并对每个进行共轭运算，产生m个新元素，使得．然后对每个进行伪装，写成的形式，Be能够完全掩盖住中有关的秘密信息．顾客A再通过公共信道把传给顾客B．(3)顾客B选择一种由生成的私钥Y，对每一种进行共轭运算，产生n个新元素，使得．然后对每个进行伪装，写成的形式，使和表达相似的元素．顾客B再把传送给顾客A．顾客A和顾客B运用所接受到的信息，根据定理可分别计算出公共密钥，即换位子．对于竞争敌手(Oscar)来说，即使他懂得顾客A和顾客B之间传输的内容，也无法懂得和y