2021-2022学年沪教版必修一数学暑假提升第5讲 等式与不等式的性质（教师版）

第5讲等式与不等式的性质

【基础知识】

1.等式的性质

对于实数而言,等式明显具有以下性质：

(1)传递性设4”、「均为实数，

如果a=〃，且J那么a=u.

(2)加法性质设。、从「均为实数，

如果a那么a+r=〃+r.

(3)乘法性质设a、。、，均为实数，

如果那么adc.

当一个等式成立时,由上面的性质.在等式两边减去同一个

数•或除以同一个不等于零的数，该等式仍然成立.

2.方程的解集

含有未知数的等式称为方程.使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根

一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.

3.一元二次方程的解集

一般地，/=〃-4ac称为一元二次方程af+6x+c=0(aW0)的判别式.

当△>()时.解集为，口土包三亚二.一f1叫简

(2a2aJ

记为《二^雪运｝.

当A=0时.解集.一击｝.

当avo时,解集为空集0.

4.一元二次方程根与系数的关系

韦达定理若一元二次方程。/+研+r=0(。*0)的

bc

两个根为工、工，则工】+工，一•

122=a/1/2=a

5、不等式的性质：

(1)a>bb<a;

(2)a>b,b>c=a>c;

(3)a>b^>a+c>b+c\

(4)a>b,c>d=a+c>b+d;

(5)a>b,c>D=ac>bc;a>b,c=ac<be;

(6)a>b>0,c>clac>bd\

(7)a、力同号，且abw0,a>b=>工<—;

ah

定理对任意的实数”和。.总有2ab,且等号

当且仅当&=/，时成立.

注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：

其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。

其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；

二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法

作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；

第三步：定号，重点是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.最后得结论.概括为“三步，

一结论”，这里的“变形”一步最为关键.

注1:有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时,

再作差，予以比较；

注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断.注意分类合理恰当.

作商法：

注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.

作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.

【考点剖析】

考点一：等式的性质

设是实数.判断下列命题的真假：

(1)如果〃•且那么

(2)如果•且c=4.那么

(3>如果关。，那么：%

(4)如果,那么.其中〃是正整数；

(5)如果.那么a=〃；

(6)如果(a—+(A—C?=0.那么a=/?=<.

解(1)(2)(3)(4)(6)都正确.

(5)错误.因为当(=0时•即使aRb.仍有=仪=0.

考点二：方程的解集

设a、〃6R・求关于x的方程4]=/)的解集.

解当aWO时.解集为《5卜

当a=O,〃=0时,解集为R：

当a=O.时.解集为空集0.

K.的解奥

■Q设&SR•求方程组

解两式相减•得到(2一4)工=2.

26—A

当4关2时・才=^~-了•代人方程组中的第一式.得到v=5―7-

L-RL-R

此时,原方程组的解集为41T.

当氏=2时.方程(2-KH=2无解,从而原方程组无解.其解

集为空集0.

一元二次方程的解集及根与系数的关系

(1)方程根个数的判断及应用

[\]例1已知关于x的一元二次方程3f—2x+-0,根据下列条件，分别求出在的范围.

(1)方程有两个不相等的实数根；

(2)方程有两个相等的实数根；

(3)方程有实数根；

(4)方程无实数根.

【解】4=(-2)2-4X34=4(1-3〃).

(1)因为方程有两个不相等的实数根，

所以4>0,即4(1-3〃)>0,

所以

(2)因为方程有两个相等的实数根，

所以4=0,即4(1-3A)=0,

所以

O

(3)因为方程有实根，

所以420,即4(1一3公20,

所以

(4)因为方程无实根,

所以4<0,即4(1一3a<0,所以力『

［、1例2.不解方程，判断下列方程的实数根的个数.

(l)2?-3x+l=0；

(2)4/+9=12y；

(3)5(x+3)—6x=0.

解：(1)因为4=(-3)2-4X2Xl=l〉0,

所以原方程有两个不相等的实数根.

(2)原方程可化为4/-12y+9=0,

因为4=(-12)2-4X4X9=0,

所以原方程有两个相等的实数根.

(3)原方程可化为5Z—6x+15=0,

因为4=(一6产一4X5X15=-264<0,

所以原方程没有实数根.

(2)直接应用根与系数的关系进行计算

例3若小，用是方程x?+2x—2007=0的两个根,

试求下列各式的值:

(1)第+温

（2）1+1；

X\X-i

⑶（4一5）（，一5）；

（4）\xx-xt\.

【解】X\+X2=-2,X\X2=-2007,

（l）"+舄=（Xi+x2）2—2*1X2=（一2尸一2X（―2007）—4018.

1।1_必+人—―2_2

用型-x\xz一一2007-2007-

（3）（为-5）（在-5）=为及一5（为+加+25=-2007—5X（—2）+25=—1972.

（4）|xi-x2\='（丁一丁）2=yj（小+呢）。一4汨二=#4+4义2007=78032=4y502.

例4.已知％…是方程f+6x+3=。的两个实数根，琮+比的值.

解：由题知，4>0,xi+xz=—6,汨泾=3,

所蓝+1

（小+丁）2汨加

（—6）2—2X3

=3­

=10.

(3)应用根与系数的关系求字母系数的值或范围

5.已知关于X的方程V—(A+Dx+l2+inO,根据下列条件，求出4的值.

⑴方程两实根的积为5；

(2)方程的两实根不,Xi,满足|小|=及.

【解】△=[—（什1）]2—4X=2k—3,

3

A\>-

/eo,2,

(1)设方程的两个根为乂，期出版="/+1=5,

左2=16,k=4或4=—4(舍),

3

(2)①若占20,则汨=照，4=0,k=~.

方程为V—*Y+!|=0,汨=生=)〉0满足.

Z104

②若为＜0,则汨+眼=0,即衣+1=0,%=—1.

5

方程为/+：=(),而方程无解，

3

所以2—1,所以4=引.

6.已知关于x的一元二次方程V—(24—l)x+尸+A—1=0有实数根.

(1)求4的取值范围;

(2)若此方程的两个实数根小，生满足'=11,求4的值.

解：(D因为关于x的一元二次方程/-(2A-1)x+〃+4-1=0有实数根.

所以J20,

即［一（2A-DF—4X1X（〃+/~1）=-8衣+520,

5

解得个.

O

⑵由题知由+上=2左一1,由及=〃+4一1,

所以（汨+上）“一2小小=（2A—1）~—2（—+〃一1）=2k~—6A+3.

因为'=11,所以2〃-64+3=11,

解得〃=4或仁一L

5

因为所以左=一1.

o

考点四：不等式基本性质

设a和6都是非零实数，不等式a>6和'〉,同时成立的充要条件是一

□例L

ab

【难度】★【答案】。>0力<0

【解析】"0>0,根据。>力，可知要使两者同时成立，则a>0,6<0.

abab

例2.下列四个命题中，为真命题的是()

A.若a>b,则B.若a>b,则a-c>b-d

C.若Q>网，则片>〃D.若a>b,则一<不

【难度】★★【答案】C

【解析】此题是2016年模考题，较主流的一种出法，利用不等式基本性质即得，较常规

△2例3•设。。>0,下面四个不等式中，正确的是

®\a+h\>\a\®\a+b\<\b\®\a+b\<\a-b\®\a-\-h\>\a\-\b\

A、①和②B、①和③C、①和④D、②和④

【难度】★★【答案】C

【解析】•..必>(),所以。2同号，再根据不等式性质即可求得

0

例4.已知a<-l<b<O<c<l则下列不等式成立的是

11

-<-<D

22、2

A、b<c<aB、ab+—<cc>〃4b>ab—bc+ac

ah

【难度】★★【答案】C

【解析】本题a*,c,的范围均限制的非常具有区分度，此类问题可以采用赋值法的方式进行排除判断，本题

是此类方法较为典型的例题，赋值法也是考试中较为快捷的排除手段，准确率高

例5.已知三个不等式:

cd

(1)ab>0;(2)—>—;(3)bc>ad.

ab

以其中两个作为条件，余下一个作结论,则可以组成____个正确命题.

【难度】★★

【答案】3

ab>04

<cJ=>—•(ah)>——\ab)=>he>ad,

—>—ab

【解析】解法一：显然b

ab>01,1cd

1=be>aa=>—>—

be>adababab

第三个命题是"若£>且be>ad,贝布〃>0".下面证明这个命题也正确.

ab

首先，由£>4知a。。0,.若a。<0,则由巧>幺可得£•(a切<-•(。份,即。c<ad,这与bc>ad矛盾.因此

ababab

只能ab>0.

综上所述,可以组成3个正确命题.

解法二：由式(2)£>.=£-4>0=0>0,式(1)就是分母大于0,式(3)等价于分子大于

ahahah

0。显然(1)(2)n(3)；(1)(3)=(2)；(2)(3)=>(1),所以可以构成3个正确命题。

考点五：作差法/作商法比较大小

0^例1已知w(°，l)，记M=qa2，N=q+。2-1，则“，N的大小关系是______

【难度】★★【答案】M>N

【解析】作差法+%-1)=(4一1)(%-1)>0,,.・4，%£(0,1),二.M>N

2.设xcR,比较-----与1一%的大小.

1+X

X2

【难度】★★【答案】1)当x=0时,即——=0,

1+X

->

Y"

―--=1-x；2）当1+xvO,即％<—1时，——<0,---<1-X;

1+x1+X1+X

2

3）当l+x>0但X70,即一l<x<0或x>0时，工〉0,/.------〉1-x

\+x1+九

\X

【解析】作基------(l-x)=—,本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号,

1+X1+X

必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号.此时要注意分类合理恰当.

【反思总结】

不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式，基本

不等式等打基础。本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重基

础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯。

【真题演练】

一、单选题

1.（2021•上海市南洋模范中学高一期末）如果x+y<o,且y>0,那么下列不等式成立的是

A.y2>x2>xyB.x2>y2>-xyC.x2<-xy<y2D.x1>-xy>y2

【答案】D

【分析】由x+y<o,且y>0,可得x<-y<o.再利用不等式的基本性质即可得出—>-孙，

孙<-/•

【详解】•••x+y<0,且y>0,

.-.x<-y<0.

/.x~>-xy,xy<-y",

因此x2>-xy>y2.

故选O.

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题.

2.（2021•上海高一期末）若实数满足。>6,则下列不等式成立的是（）

A.同〉网B.a3>h3C.——D.ab~>h~

ab

【答案】B

【分析】对于选项A、C,可以举反例判断，对于选项B.可以利用函数的单调性判断，对于选项D,可以利用

作差法判断.

【详解】对于选项A,可以举反例，如：a=\,b=-3,a>b,但是|1|<|一3],所以该选项错误；

对于选项B,由于函数/（》）=丁是R上的单调增函数，所以/>〃，所以该选项正确；

对于选项C,可以举反例，如：。=1力=-3,。>6,但是;〉一；，所以该选项错误；

对于选项D,%—/=3—1）力2不一定大于零，所以该选项错误.

故选B

【点睛】本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3.（2021•上海市控江中学高一期末）若a>b>c,a+b+c=0,则下列各式正确的是（）

A.ab>bcB.ac>bcC.。网>网。D.ab>ac

【答案】D

【分析】已知a>6>c,且a+b+c=0,于是可以推出得到最大数”>0和最小数c<0,而b为正、负、

零均有可能，所以每个选项代入不同的从逐一验证.

【详解】•：a>b>cS.a+b+c-0.

当时,c<Z?<4,0,则a+b+c<0.与己知条件a+b+c=0矛盾，

所以必有a>（）,同理可得c<0.

A项，当a=l,1=0,c=—l时，而=/C,故A项错误；

B项,ac-bc=c（a—份<0,即ac<匕c，故B项错误；

C项,。=0时.4网=c瓦故C项错误；

D项,出?一ac=a（/?-c）>0,即a/?>ac，故D项正确.

故选：D

4.（2021•上海高一期末）下列不等式中，恒成立的是（）

4,,1

A.x+->4B.x-y+------22

xx—y

C.|x-y|>|x_z|+1y-z|D.H——~^x-\—

【答案】D

【分析】由特殊值法，可判断ABC错，根据不等式的性质，由作差法，可判断D正确.

4

【详解】A选项，若x=—l,则尤+—=-5<4,故A错；

x

B选项，若x-y=-l,则=0<2,故B错；

C选项,若x=3,y=2,z=-2,则卜一乂=1,卜一目+卜一目=5+4=9,此时,一乂<|%-z|+|y-z|,

故C错;

(xT)(3-1)

D选项,F++£Hi)+M(i)(T

+

(尤-l)(x-1)(尸+x+l)4显然恒成汇,

-!=---------------=t>0

X2x2

,11

所以XH-—^x-\--,即D选项正确.

xx

故选：D.

5.（2021•上海市大同中学高一期末）如果。<0<匕，那么下列不等式中成立的是（）

A.<\fbB.a2<b~C.o'<b3D.ab>b2

【答案】C

【分析】取特殊值可判断A,B选项，由函数y=d在R上为增函数可判断选项C,由。+办的符号不定，则

"一。2=。（。一》）的符号不定，可判断D,从而得出答案.

【详解】选项A中，取。=-3,人=2,则"〉血，所以A不正确.

选项B中，取。=-3/=2,则a2>〃2,所以B不正确.

选项C中，由函数y=d在R上为增函数，由。<0，则有/</成立，所以C1E确.

选项D中，由曲一〃=/?（。一/?）,因为b>0,a<Q<b-

所以％（a-b）<0,即曰<廿,所以D不正确.

故选：C

6.（2020・上海高一专题练习）若非空集合X={x|a+1WxW3a—5},丫={x|1WxW16},则使得Y^X\JY

成立的所有。的集合是（）

A.{a10<a<7}B,{a13<a<7}

C.{a\a<1}D.空集

【答案】B

【分析】山丫=乂11丫成立知x=y,结合非空集合x,y,列不等式式组求解集即可.

【详解】使y=xuy成立，则x=y,

a+l>l

.••由题设，知：ba-5<16,解得：3<«<7.

a+143a-5

故选：B

二、填空题

7.（2021・上海高一期末）若a/eR,且同W1,网W5,则卜+4的最大值是.

【答案】6

【分析】根据题中条件，由不等式的性质，求出G+力的范围，即可得出结果.

【详解】因为同VI,网45,即一14aKl,-5<b<5,

所以-6Wa+bW6,因此|。+可<6,

即|a+同的最大值是6.

故答案为：6.

8.（2021.上海高一期末）在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了X，%,鼻，与四项

多元评价指标，并通过经验公式S=五+受来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效果越好.若某城

工2%

区在自查过程中各项指标显示为0<七</<马（玉，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使

得S的值增加最多，那么该指标应为.（填入芭，*2，83，4中的一个）

【答案】%3

【分析】从分式的性质中寻找到S的变化规律，结合变化规律，即可求解.

【详解】因为花，*2，七，%都是整数，可得分子越大或分母越小时，S的值越大，

而分子增加1个单位时，分母越小时，S的值增长越多，

由0<七<%<X2<玉，可知分母七最小，所以均增大1个单位时会使得S的值增加最多.

故答案为：x3.

9.（2021.上海高一期末）已知方程2f+x-5=0的两个实根为X，W，则,一司=.

・rf-t.J41

【答案】—

2

【分析】由方程易知△>()，根据根与系数的关系写出玉+々、玉4，由?_尤2|=/芯+/)2_4%里即

可求值.

【详解】由题设知：A=F—4x2x(—5)=41>0,

.15

♦•西+工2=-5，％々=-5，

|%|一^21——J(X]+々)~-4%]——+1()——，2"•

故答案为：叵.

2

10.(2021・上海高一)若ac<(),则方程分2+床+c=o有个实数解

【答案】2

【分析】首先分析a。0,再利用判别式/的符号即可求解.

【详解】因为ac<0,所以awO，

方程办2+bx+c=0的判别式4=b2-4ac>0，

所以方程向法+c=。有2个实数解.

故答案为：2.

11.(2021•上海高一)已知方程以2+2公+4—9=0至少有一个整数根，则整数。的值为

【答案】1或9

【分析】先讨论a=0时，原方程不成立，当awO时，利用求根公式求出一元二次方程的根，分析为整数

的条件即可求解.

【详解】当。=0时.，原方程为—9=0不成立，

当a。()时，关于x的一元二次方程ax2+2ax+a-9=0

判别式A=4Q2—4xax(a-9)=36a,

LI-Ivl、EXLnr-ALn八rr1—2a—6JCl<3—2(1+6ylCl43

所以万程的两个根分别为％=-------=-1一一五，x=--------=+

2ayja22ayja

若方程ax2+2ax+a-9=0至少有一个整数根，

则G是3的因数，所以6=1或3,解得：。=1或9,

故答案为：。=1或9.

12.(2020・上海市嘉定区第一中学高一月考)若2x2+3x+5=a(2x+l)(x+l)+b恒成立，则a+力的值

【答案】5

【分析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.

【详解】因为2f+3x+5=a(2x+l)(x+l)+力，即+3x+5=2a?+3以+。+人恒成立,

’2=2。

所以“3=3。，所以a+Z?=5.

5=a+b

故答案为：5

【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.

13.(2020・上海高一专题练习)已知x，V，z是非负整数，且x+y+z=10,x+2y+3z=30,则x+5y+3z

的范围是

【答案】{30}

x+y+z=10①^

【分析】〈；c由①X3-②得到2x+y=0,结合x、y是非负整数，得到x=y=0,z=10,进

x+2y+3z=30②

而计算结果.

x+y+z=l0①

【详解】

x+2y+3z=30②

①x3-②得:

2x+y=0,

••"、y是非负整数,

/.x=y=0,z=10,

.*.x+5y+3z=30,

故答案为：{30}.

三、解答题

14.(2021•上海高一期末)已知是任意实数，求证：aA+b^^b+ab3,并指出等号成立的条件.

【答案】证明见解析：当且仅当4=8时，等号成立.

【分析】做差，然后因式分解，再进行配方，最后与0比较大小即可证明.

【详解】因为—+一々3人)+(人4_加)

(]Y3

=a3(a-h')+Z?3(h-a)-(a-h)(a3一=(«-ZJ)2(/+ab+b2^=(a-b)2a+—b+—b2

故+/?4)—(a%+a//)>0,即aA+b4>a'b+ab3-

当且仅当a=。时，等号成立.

15.(2021・上海高一期末)设。、〃为实数，比较/+〃与4a—e—8的值的大小.

【答案】a2+b2>4a-4b-S

【分析】利用作差、配方、判断符号，可得出a?+6与4a—4b—8的值的大小关系.

【详解】由于“、b为实数，则

+。2)_(44-4。-8)=。2_40+4+/+40+4=(a-2)2+(0+2)2

a=2

当且仅当匕c时，等号成立.

[b=-2

因止匕a?+人224a-40-8.

【过关检测】

一、单选题

1.(2020・上海高一单元测试)以下结论正确的是

A.若a<Z?且c<d,则ac<M

B.若a>6,则a?〉济

C.若“>/?且c<4,则a-c>Z?-d

D.若0<a<b,集合A=<XXNL},8=<xxN：},则A卫8

【答案】C

【分析】A.举反例即得解；B.c=0时显然错误；C.利用不等式的性质可以证明正确；D.利用集合的关系分

析判断得解.

【详解】人.设。=1,。=2,。=-2,4=-1，1<2且-2<-1,则ac=bd,所以该选项错误；

B.若a>b,。=0则的2>宜不成立，所以该选项错误;

C.若且cvd,则一c＞一d,所以所以该选项正确;

1

D.若0<a<〃，集合4="xx>—>,B=<xx>-则A=B,所以该选项错误.

ab

故选C

【点睛】本题主要考查不等式的性质和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2.（2020•上海市三林中学高一月考）已知a,0,cwR,若“＞人则下列不等式成立的是（）

1

224d

A<-Q>c>a>

力B.

【答案】C

【分析】利用不等式的性质即可求解.

【详解】对于A,当。＞0〉6时，不等式不成立，故排除A；

对于B,当。=0，匕=一1时，不等式不成立，故排除B；

对于C,由于/一＞0,又a＞。,ab

则c2+1>c2+1故C选;

c2+1

对于D,当c=0时，不等式不成立，故排除D.

故选：C

【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

3.（202。上海高一单元测试）若a,6,ceR,a＞b,则下列不等式成立的是（）

11

<

--B./“2C.D.a|c|〉"c|

A.力

47T

【分析】取特殊值可判断ABD错误；由不等式性质可判断C正确.

【详解】对于A,若。=1,人=一1，则!＞4，故A错误；

ab

对于B,若。=1/=—2,则/〈从，故B错误；

对于C,因为02+1＞0,即一一＞0,若4＞力，则4—＞/一,故C正确；

C+1C+1C+1

对于D,若c=0,则a|c|=b|c故D错误.

故选：C.

4.（2020•上海市金山中学高一月考）已知a、。为实数，且a＞6,则下列结论正确的是（）

11

2222

-<-4>c>机D

A.a力B.zc

【答案】D

【分析】根据反例可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.

【详解】取。=2/=-3,则且"〈尸，故AB错误.

ab

取C=0,则4<?2=6。2=0,故C错误.

根据不等式的性质可得成立，故D正确.

故选：D.

5.（2020.上海高一开学考试）若。、6、。为实数，则下列命题正确的是

A.若a>b,贝！|。。2>儿2B.若a<b<0，则">出?>尸

C.若a<匕<0,则,<[D.若”<。<0,则

abab

【答案】B

【分析】利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.

【详解】对于A选项，若c=0,则ac2=bW，故A不成立；

对于B选项，Qa<Z?<0.在不等式a<b同时乘以得a?>皿,

另一方面在不等式。两边同时乘以8,得a0>〃，...〃>必>层，故B成立；

对于选项c,在两边同时除以"（质>0）,可得:<：,所以C不成立；

对于选项D,令a=—2,b——l>则有@=——2,—,所以D不成立.

b-1a2ab

故选B.

【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在

实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.

6.（2020・上海高一单元测试）若a>人c>d,则下列不等关系中不一定成立的是（）

A.a-d>b—cB.a+d>b+c

C.a-c>b—cD.a—c<a—d

【答案】B

【分析】由不等式的性质，判断ACD,举出反例判断8

【详解】'.'a>b,c>d,.,.a-b>0,d-c<0,故a--c一定成立，即a—d>Z?—c一定成立；故A

正确；

又因为故在两边加-c可得，a-c>b-c,故C正确；

由c>d可得-c<-d,两边同时加。可得a-cVa-d,故O正确；

对8,当a=2,b=l,c=l,d=0.5时，〃+t/>b+c,

当a=2,》=l,c=l,d=-3时，a+d<b+c,

当。=2,匕=1,。=0,1=-1时，“+4=匕+°,故不一定成立，

故选:B.

【点睛】本题考查两式比较大小，涉及不等式性质及特值的应用，属基础题.

7.（2020・上海高一开学考试）下列命题正确的是（）

A.若a>Z?,则一<[B.若a>b,则

ab

C.若a>b,c<d,则。一c>Z?—dD.若a>h,c>d,则ac>bd

【答案】C

【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项.

【详解】若a>0>。，则故选项A不正确；

ab

若则故选项8不正确；

若cvd,则一c>-d,因为所以a-c>b-d,故选项C正确；

当a>h>0,c>d>0时，才有ac>hd成立，故选项D不正确；

故选：C

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.

8.（2020・上海高一单元测试）如果a<bvO,那么下列不等式中正确的是（）

Aa17-IICII

A.—•<lB.a2>abC.—<—D.—<—

barab

【答案】B

【分析】根据不等式的性质分析ABC,采用举例的方式分析D,由此得到正确的结果.

【详解】A.因为。<力<0,所以色>2,所以0〉1,故错误；

bhb

B.因为QV/?V0,所以。・。>。为，所以">以，故正确；

C.因为avbv。，所以a?〉/〉。，所以77〉一r，

ba

D.取。=-2/=-1,所以一,=！>—1=!，故错误，

a2b

故选：B.

9.(2020•上海高一单元测试)设a<匕<0,则下列不等式中不熟主的是()

A.—>—B.a2>b~C.---->—D.|司>网

aba-ba

【答案】C

【分析】利用不等式的基本性质可判断各选项中的不等式的正误.

【详解】Qa<b<0,则，活>0.

对于A选项，,即!>』，A选项中的不等式成立；

ababab

对于B选项，由a<匕<0可得一a>—b>0，由不等式的基本性质可得标>加，B选项中的不等式成立;

对于C选项，Qa<b<0,])^\a<a-b<0,所以，a(a—h)>(),

aa-b11

由不等式的性质可得一^~云<一~~小，即——<-.C选项中的不等式不成立；

a[a-b)a^a-b)a-ba

对于D选项，由a<6<0可得一a>—人>0,即时〉例，D选项中的不等式成立.

故选：C.

10.(2020・上海高一单元测试)若/>从，则下列不等式中成立的是()

A.a>0>hB.a>b>0C.时>网D.a>\b\

【答案】C

【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案.

【详解】解：因为/>从，故由不等式的性质得同〉例，故C选项」E确；

对于A选项，当a=2,b=l时满足片>^，但。>。>匕不成立，故A选项错误；

对于B选项，由于(―3)2>(—2>但一3<-2<0,故B选项错误；

对于D选项，由于(—3)2>(—2「但一3〈卜2|,故D选项错误.

故选：C.

11.(2020•上海市行知中学高一月考)如果匕<a<0,那么下列不等式中错误的是()

A.c+b<c+aB.a2<b2C.be2<ac1D.—<—

ah

【答案】C

【分析】逐一分析每•个选项判断得解.

【详解】对于选项A,根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确;

对于选项B,因为人<。<0,所以/<〃，所以该选项正确；

对于选项C,当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；

对于选项D,'-■1="@<（）所以2.<《，所以该选项正确.

ababab

故选：C

12.（2020・上海高一专题练习）若非空集合X={x|a+lWx43a—5},y={x|lWxW16},则使得

y=XUY成立的所有a的集合是（）

A.{«10<a<7}B,{«13<a<7}

C.{a\a<l}D.空集

【答案】B

【分析】由y=xuy成立知x=y,结合非空集合x,y,列不等式式组求解集即可.

【详解】使y=xuy成立，则x=y,

a+\>\

.•.由题设，知：J3«-5<16,解得：3Wa47.

a+143a—5

故选：B

二、填空题

13.（2019•上海市青浦高级中学高一月考）已知a>0>0,c<4<0,e<0,则」一，一.

a-cb-d

【答案】>

【分析】根据不等式的性质可求得a—c>人一d>0,进而得到」一匕，不等式左右两端同时乘以一

a—cb-d

个负数,不等号方向改变，从而得到结果.

【详解】Qc<d<0/.-c>>0,又:.a-c>b-d>0/.---<---

a-cb—d

ee

e<0/.----->------

a-cb—d

故答案为〉

【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.

14.（202。华东师范大学第一附属中学高一月考）已知方程2%2+4%-3=0的两个根为内、马，则

11

-----1------二

4

【答案】一

3

【分析】利用韦达定理代入求解即可.

【详解】由方程2/+4%一3=0的两个根为王、々,

%/=—2

利用韦达定理得：\3，

Xl-X2=--

11x,4

—I-----=----------=——

4

故答案为：一.

3

15.(2020・上海市复兴高级中学高一期中)若a、/是方程f+4x-1=0的两个实数根，则

11

—+—=_______.

a0

【答案】4

11

【分析】由于一+京=a-+B^,所以利用根与系数的关系直接求解即可

apap

【详解】解：因为a、4是一元二次函数V+4X—1=0的两个实数根,

a+/7=-4

所以＜

。夕=一1

11a+/3

所以£+济

ap

故答案为：4

16.(2020•上海市嘉定区第一中学高一月考)若2f+3x+5="(2x+l)(x+l)+。恒成立，则a+6的值

【答案】5

【分析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.

【详解】因为2丁+3%+5=。（2%+1）。+1）+6,即2/+3x+5=2⑪2+3ox+a+b恒成立，

’2=2。

所以<3=3。，所以。+力=5.

5-a+b

故答案为：5

【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.

17.（2019•上海曹杨二中高一月考）3<x<5,-2<y<-l,则工一V的取值范围是

【答案】[4,7]

【分析】先计算l«-y42,再利用不等式性质得到答案.

【详解】3<x<5,—24y4-l,则34x<5,lW-y<2.・.44x-y<7

故答案为[4,7]

【点睛】本题考查了不等式的性质，先确定-y42是解题的关键.

18.（2020・上海华师大二附中高一月考）已知0<“<4则且■（填“"或“<”）.

bb+\

【答案】<

【分析】利用作差法，结合条件，即